数学必修22.2 直线、平面平行的判定及其性质练习

A级　基础巩固

一，选择题

1．若AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则过它们中点的平面和直线AC的位置关系是(　A　)

A．平行　　　　　　　　 B．相交

C．AC在此平面内  D．平行或相交

[解析]　利用中位线性质定理得线线平行，进而得直线与平面平行．

2．已知平面α∥平面β，P∉α，P∉β，过点P的两直线分别交α，β于A，B和C，D四点，A，C∈α，B，D∈β，且PA＝6，AB＝2，BD＝12，则AC之长为(　C　)

A．10或18　　 B．9

C．18或9　　 D．6

[解析]　由PA＝6，AB＝2知，P点不可能在α与β之间，∴点P在两平行平面所夹空间外面，∴＝或＝，∴AC＝9或AC＝18，∴选C．

3．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，过点B的所有直线中(　D　)

A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线

D．有且只有一条与a平行的直线

[解析]　∵α∥β，B∈β，a⊂α，∴B∉a，

∴点B与直线a确定一个平面γ，

∵γ与β有一个公共点B，

∴γ与β有且仅有一条经过点B的直线b，

∵α∥β，∴a∥b．

故选D．

4．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列推理正确的是(　D　)

A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥b

B．α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥β

C．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥β

D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b

[解析]　选项A中，α∩β＝a，b⊂α，则a，b可能平行也可能相交，故A不正确；

选项B中，α∩β＝a，a∥b，则可能b∥α且b∥β，也可能b在平面α或β内，故B不正确；

选项C中，a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，根据面面平行的判定定理，再加上条件a∩b＝A，才能得出α∥β，故C不正确；

选项D为面面平行性质定理的符号语言，故选D．

5．已知两条直线m，n两个平面α，β，给出下面四个命题：

①α∩β＝m，n⊂α⇒m∥n或者m，n相交；

②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；

③m∥n，m∥α⇒n∥α；

④α∩β＝m，m∥n⇒n∥β且n∥α．

其中正确命题的序号是(　A　)

A．①  B．①④

C．④  D．③④

6．平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在α，β之间．若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为(　C　)

A．  B．

C．  D．

[解析]　如图∵α∥β，

∴BC∥B′C′，AB∥A′B′，AC∥A′C′，∴△ABC∽△A′B′C′，

且由＝＝知相似比为，

又由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，

知S△ABC＝AB·CD＝AB·(AC·sin60°)＝，

∴S△A′B′C′＝．

二，填空题

7．如右图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为__平行四边形__.

[解析]　∵平面ABFE∥平面CDHG，

又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，

平面EFGH∩平面CDHG＝HG，

∴EF∥HG．

同理EH∥FG，

∴四边形EFGH的形状是平行四边形．

三，解答题

8．如图，四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．

求证：CE∥平面PAD．

[解析]　解法一：如图所示，取PA的中点H，连接EH，DH．

因为E为PB的中点，

所以EH∥AB，EH＝AB．

又AB∥CD，CD＝AB，

所以EH∥CD，EH＝CD．

因此四边形DCEH是平行四边形，

所以CE∥DH．

又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，

因此CE∥平面PAD．

解法二：如图所示，取AB的中点F，连接CF，EF，

所以AF＝AB．

又CD＝AB，所以AF＝CD．

又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，

因此CF∥AD．

又CF⊄平面PAD，所以CF∥平面PAD．

因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA．

又EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD．

因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD．

又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD．

9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？

[解析]　当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．

连接BD，由题意可知，BD∩AC＝O，

O为BD的中点，又P为DD1的中点，

∴OP∥BD1，又BD1⊄平面PAO，

PO⊂平面PAO，

∴BD1∥平面PAO，连接PC．

∵PD1∥CQ，且PD1＝CQ，∴D1Q∥PC．又PC⊂平面PAO，D1Q⊄平面PAO，∴D1Q∥平面PAO．

又D1Q∩BD1＝D1，∴平面D1BQ∥平面PAC．

B级　素养提升

一，选择题

1．已知直线a∥平面α，a∥平面β，α∩β＝b，则a与b(　B　)

A．相交  B．平行

C．异面  D．共面或异面

[解析]　∵直线a∥α，a∥β，∴在平面α，β中必分别有一直线平行于a，不妨设为m，n，∴a∥m，a∥n，∴m∥n.又α，β相交，m在平面α内，n在平面β内，∴m∥β，∴m∥b，∴a∥b.故选B．

2．如图，在多面体ABC－DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，则(　A　)

A．BF∥平面ACGD  B．CF∥平面ABED

C．BC∥FG  D．平面ABED∥平面CGF

[解析]　取DG的中点为M，连接AM，FM，如图所示．

则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形∴DE＝FM且DE∥FM．

∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，

平面DEFG∩平面ADEB＝DE，∴AB∥DE，∴AB∥FM．

又AB＝DE，∴AB＝FM，

∴四边形ABFM是平行四边形，即BF∥AM．

又BF⊄平面ACGD，∴BF∥平面ACGD．故选A．

3．设平面α∥平面β，点A∈α，点B∈β，C是AB的中点，当点A，B分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点C(　B　)

A．不共面

B．不论A，B如何移动，都共面

C．当且仅当A，B分别在两直线上移动时时才共面

D．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面

[解析]　如图，不论点A，B如何移动，点C都共面，且所在平面与平面α，平面β平行．

4．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是(　D　)

A．平行 　　　　　 B．异面

C．相交    D．平行或异面或相交

[解析]　如图(1)，(2)，(3)所示，a与b的关系分别是平行，异面或相交．

二，填空题

5．如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是__平行四边形__.

[解析]　∵平面AC∥α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，∴AB∥A1B1，同理可证CD∥C1D1，又A1B1∥C1D1，∴AB∥CD，同理可证AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．

6．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列结论中正确的为__①②④__.

①AC⊥BD；

②AC∥截面PQMN；

③AC＝BD；

④异面直线PM与BD所成的角为45°．

[解析]　∵MN∥PQ，∴PQ∥平面ACD，又平面ACD∩平面ABC＝AC，∴PQ∥AC，从而AC∥截面PQMN，②正确；同理可得MQ∥BD，故AC⊥BD，①正确；又MQ∥BD，∠PMQ＝45°，∴异面直线PM与BD所成的角为45°，故④正确．根据已知条件无法得到AC，BD长度之间的关系．故填①②④．

C级　能力拔高

1．如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是菱形，M为OA的中点，N为BC的中点．证明：直线MN∥平面OCD．

[解析]　解法一：如图(1)，取OB的中点G，连接GN，GM．

∵M为OA的中点，∴MG∥AB．

∵AB∥CD，∴MG∥CD．

∵MG⊄平面OCD，CD⊂平面OCD，

∴MG∥平面OCD．

又∵G，N分别为OB，BC的中点，

∴GN∥OC．

∵GN⊄平面OCD，OC⊂平面OCD，

∴GN∥平面OCD．

又∵MG⊂平面MNG，GN⊂平面MNG，MG∩GN＝G，

∴平面MNG∥平面OCD．

∵MN⊂平面MNG，

∴MN∥平面OCD．

解法二：如图(2)，取OD的中点P，连接MP，CP．

∵M为OA的中点，∴MP＝AD且MP∥AD．

∵N为BC的中点，∴CN＝AD且CN∥AD，

∴MP＝CN且MP∥CN，∴四边形MNCP为平行四边形，

∴MN∥PC．

又∵MN⊄平面OCD，PC⊂平面OCD

∴MN∥平面OCD．

2．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E．

求证：EC∥A1D．

[解析]　因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，

所以BE∥平面AA1D．

因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，

所以BC∥平面AA1D．

又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，

所以平面BCE∥平面AA1D．

又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，

所以EC∥A1D．