数学必修22.1 空间点、直线、平面之间的位置关系教案设计

§2.1.3  空间中直线与平面之间的位置关系

一、教材分析

    空间中直线与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，直线与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中直线与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理1的基础上会判断直线与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中直线与平面之间的位置关系.

二、教学目标

1．知识与技能

（1）了解空间中直线与平面的位置关系；

（2）培养学生的空间想象能力.

2．过程与方法

（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；

（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.

3．情感、态度与价值

让学生感受到掌握空间直线与平面关系的必要性，提高学生的学习兴趣.

三、教学重点与难点

    正确判定直线与平面的位置关系.

四、课时安排

    1课时

五、教学设计

（一）导入新课

思路1.(情境导入)

    一支笔所在的直线与我们的课桌面所在的平面,可能有几个交点?可能有几种位置关系?

思路2.(事例导入)

    观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面所在平面有几种位置关系？

图1

（二）推进新课、新知探究、提出问题

    ①什么叫做直线在平面内？

    ②什么叫做直线与平面相交?

    ③什么叫做直线与平面平行?

    ④直线在平面外包括哪几种情况?

    ⑤用三种语言描述直线与平面之间的位置关系.

活动：教师提示、点拨从直线与平面的交点个数考虑，对回答正确的学生及时表扬.

讨论结果：①如果直线与平面有无数个公共点叫做直线在平面内.

②如果直线与平面有且只有一个公共点叫做直线与平面相交.

③如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行.

④直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.

⑤

（三）应用示例

思路1

例1  下列命题中正确的个数是(    )

①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α

②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行

③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行

④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点

A.0                B.1                C.2                D.3

分析：如图2,

图2

    我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；

    A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确；

    A1B1∥AB,A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB平面ABCD,所以命题③不正确；

    l与平面α平行,则l与α无公共点,l与平面α内所有直线都没有公共点,所以命题④正确.

答案：B

变式训练

    请讨论下列问题：

    若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系.

图3

解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交.

点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面.

例2  已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.

已知直线a∥b∥c，直线l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C.

求证：l与a、b、c共面.

证明：如图4,∵a∥b,

图4

∴a、b确定一个平面，设为α.

∵l∩a=A，l∩b=B,∴A∈α，B∈α.

又∵A∈l，B∈l,∴ABα，即lα.

同理b、c确定一个平面β，lβ,

∴平面α与β都过两相交直线b与l.

∵两条相交直线确定一个平面,

∴α与β重合.故l与a、b、c共面.

变式训练

    已知aα,bα,a∩b=A,P∈b,PQ∥a，

求证：PQα.

证明：∵PQ∥a，∴PQ、a确定一个平面，设为β.

∴P∈β，aβ，Pa.又P∈α，aα，Pa,

由推论1：过P、a有且只有一个平面,

∴α、β重合.∴PQα.

点评：证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法.

思路2

例1  若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.

解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.

图5

用符号语言表示为：若a∩b=A,bα,则aα或a∩α=A.

变式训练

    若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.

分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.

图6

用符号语言表示为：若a与b异面,aα,则b∥α或b∩α=A.

点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面.

例2  若直线a不平行于平面α,且aα,则下列结论成立的是(    )

A.α内的所有直线与a异面               B.α内的直线与a都相交

C.α内存在唯一的直线与a平行           D.α内不存在与a平行的直线

分析：如图7,若直线a不平行于平面α,且aα,则a与平面α相交.

图7

    例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB与直线A′B相交，直线CD与直线A′B异面，所以A、B都不正确；平面ABCD内不存在与a平行的直线，所以应选D.

答案：D

变式训练

    不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且Aα,给出以下三个命题：

①△ABC中至少有一条边平行于α;②△ABC中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交.

其中真命题是_____________.

分析：如图8,三点A、B、C可能在α的同侧，也可能在α两侧，

图8

其中真命题是①.

答案：①

变式训练

    若直线aα,则下列结论中成立的个数是(    )

(1)α内的所有直线与a异面  (2)α内的直线与a都相交  (3)α内存在唯一的直线与a平行  (4)α内不存在与a平行的直线

A.0                  B.1                  C.2                   D.3

分析：∵直线aα,∴a∥α或a∩α=A.

如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.

图9

答案：A

点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外考虑问题要全面即注意发散思维.

（四）知能训练

已知α∩β=l,aα且aβ,bβ且bα,又a∩b=P.

求证：a与β相交,b与α相交.

证明：如图10,∵a∩b=P,

图10

∴P∈a,P∈b.

又bβ,∴P∈β.

∴a与β有公共点P,即a与β相交.

同理可证,b与α相交.

（五）拓展提升

    过空间一点，能否作一个平面与两条异面直线都平行？

解：(1)如图11,

C′D′与BD是异面直线，可以过P点作一个平面与两异面直线C′D′、BD都平行.

如图12,

             图11                    图12                    图13

显然，平面PQ是符合要求的平面.

(2)如图13,当点P与直线C′D′确定的平面和直线BD平行时，不存在过P点的平面与两异面直线C′D′、BD都平行.

点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外考虑问题要全面即注意发散思维.

（六）课堂小结

    本节主要学习直线与平面的位置关系，直线与平面的位置关系有三种：

①直线在平面内——有无数个公共点,

②直线与平面相交——有且只有一个公共点,

③直线与平面平行——没有公共点.

    另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点.

（七）作业

    课本习题2.1  A组7、8.