高中数学人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质巩固练习

A级　基础巩固

一，选择题

1．在长方体ABCD－A′B′C′D′中，下列结论正确的是(　D　)

A．平面ABCD∥平面ABB′A′

B．平面ABCD∥平面ADD′A′

C．平面ABCD∥平面CDD′C′

D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′

[解析]　长方体ABCD－A′B′C′D′中，上底面ABCD与下底面A′B′C′D′平行，故选D．

2．下列命题正确的是(　D　)

①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；

②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；

③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；

④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．

A．①③　　 B．②④　　

C．②③④　　 D．③④

[解析]　如果两个平面没有任何一个公共点，那么我们就说这两个平面平行，也即是两个平面没有任何公共直线．

对于①：一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在．

对于②：一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，同①．

对于③：一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的定义．

对于④：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的判定定理．

所以只有③④正确，选择D．

3．已知一条直线与两个平行平面中的一个相交，则它必与另一个平面(　B　)

A．平行  B．相交

C．平行或相交  D．平行或在平面内

[解析]　如图所示．

4．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作(　B　)

A．1个或2个  B．0个或1个

C．1个  D．0个

[解析]　若平面α外的两点所确定的直线与平面α平行，则过该直线与平面α平行的平面有且只有一个；若平面α外的两点所确定的直线与平面α相交，则过该直线的平面与平面α平行的平面不存在．

5．如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是(　A　)

A．平行  B．相交

C．异面  D．不确定

[解析]　∵E1和F1分别是A1B1和D1C1的中点，

∴A1D1∥E1F1，又A1D1⊄平面BCF1E1，E1F1⊂平面BCF1E1，

∴A1D1∥平面BCF1E1．

又E1和E分别是A1B1和AB的中点，

∴A1E1与BE平行且相等，∴四边形A1EBE1是平行四边形，∴A1E∥BE1，

又A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1，

∴A1E∥平面BCF1E1，

又A1E⊂平面EFD1A1，A1D1⊂平面EFD1A1，A1E∩A1D1＝A1，

∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1．

6．已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是(　D　)

A．l∥β，l⊂α⇒α∥β

B．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥β

C．l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥β

D．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β

[解析]　如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB∥CD，则直线AB∥平面DC1，直线AB⊂平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以选项A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，B1C1∥平面AC．又EF⊂平面BC1，B1C1⊂平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以选项B错误；直线AD∥B1C1，AD⊂平面AC，B1C1⊂平面BC1，但平面AC与平面BC1不平行，所以选项C错误；很明显选项D是两个平面平行的判定定理，所以选项D正确．

二，填空题

7．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为__平行或相交__.

[解析]　三条平行线段共面时，两平面可能相交也可能平行，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行．

8．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是__平行__(填“平行”或“相交”).

[解析]　假若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a.故α∥β．

三，解答题

9．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点．求证：平面AFH∥平面PCE.

[解析]　因为F为CD的中点，H为PD的中点，

所以FH∥PC，所以FH∥平面PCE．

又AE∥CF且AE＝CF，

所以四边形AECF为平行四边形，

所以AF∥CE，所以AF∥平面PCE．

由FH⊂平面AFH，AF⊂平面AFH，FH∩AF＝F，

所以平面AFH∥平面PCE．

10．已知正四棱锥P－ABCD如图所示.

(1)若其正视图是一个边长分别为，，2的等腰三角形，求其表面积S，体积V；

(2)设AB中点为M，PC中点为N，证明：MN∥平面PAD．

[解析]　(1)过P作PE⊥CD于E，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，

则PE⊥CD，E为CD的中点，O为正方形ABCD的中点，

∵正四棱锥的正视图是一个边长分别为，，2的等腰三角形，

∴PE＝，BC＝CD＝2，

∴OE＝BC＝1，∴PO＝＝．

∴正四棱锥的表面积S＝S正方形ABCD＋4S△PCD＝22＋4××2×＝4＋4．

正四棱锥的体积V＝S正方形ABCD·PO＝×22×＝．

(2)过N作NQ∥CD，连结AQ，

∵N为PC的中点，∴Q为PD的中点，

∴NQ＝CD，且NQ∥CD，

又AM＝CD，且AM∥CD，∴AM＝NQ，且AM∥NQ，

∴四边形AMNQ是平行四边形，

∴MN∥AQ，

又MN⊄平面PAD，AQ⊂平面PAD，

∴MN∥平面PAD．

B级　素养提升

一，选择题

1．a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，现给出六个命题.

①a∥c，b∥c⇒a∥b；②a∥γ，b∥γ⇒a∥b；

③α∥c，β∥c⇒α∥β；④α∥γ，β∥γ⇒α∥β；

⑤α∥c，a∥c⇒α∥a；⑥a∥γ，α∥γ⇒α∥a．

其中正确的命题是(　C　)

A．①②③  B．①④⑤

C．①④  D．①③④

[解析]　①平行公理．

②两直线同时平行于一平面，这两条直线可相交，平行或异面．

③两平面同时平行于一直线，这两个平面相交或平行．

④面面平行传递性．

⑤一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平面或平行或直线在平面内．

⑥一直线和一平面同时平行于另一平面，这直线和平面可平行也可能直线在平面内．故①④正确．

2．下列结论中：

(1)过不在平面内的一点，有且只有一个平面与这个平面平行；

(2)过不在平面内的一条直线，有且只有一个平面与这个平面平行；

(3)过不在直线上的一点，有且只有一条直线与这条直线平行；

(4)过不在直线上的一点，有且仅有一个平面与这条直线平行．

正确的序号为(　C　)

A．(1)(2)  B．(3)(4)

C．(1)(3)  D．(2)(4)

3．若a，b，c，d是直线，α，β是平面，且a，b⊂α，c，d⊂β，且a∥c，b∥d，则平面α与平面β(　D　)

A．平行  B．相交

C．异面  D．不能确定

4．若平面α∥平面β，直线a∥α，点B∈β，则在平面β内过点B的所有直线中(　A　)

A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线

D．存在唯一一条与a平行的直线

[解析]　当直线a⊂β，B∈a上时满足条件，此时过B不存在与a平行的直线，故选A．

二，填空题

5．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：

①平面EFGH∥平面ABCD；

②平面PAD∥BC；

③平面PCD∥AB；

④平面PAD∥平面PAB．

其中正确的有__①②③__.(填序号)

[解析]　把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，所以EH∥平面ABCD．同理可证EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交．∵AB∥CD，∴平面PCD∥AB．同理平面PAD∥BC．

6．如右图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足__点M在FH上__时，有MN∥平面B1BDD1.

[解析]　∵FH∥BB1，HN∥BD，FH∩HN＝H，

∴平面FHN∥平面B1BDD1，

又平面FHN∩平面EFGH＝FH，

∴当M∈FH时，MN⊂平面FHN，

∴MN∥平面B1BDD1．

C级　能力拔高

1．已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB边AB上的高，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.

[解析]　解法一：连接CG交DE于点H，

∵DE是△ABC的中位线，

∴DE∥AB．

在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H是CG的中点．

∴FH是△SCG的中位线，

∴FH∥SG．

又SG⊄平面DEF，FH⊂平面DEF，

∴SG∥平面DEF．

解法二：∵EF为△SBC的中位线，

∴EF∥SB．

∵EF⊄平面SAB，SB⊂平面SAB，

∴EF∥平面SAB．

同理：DF∥平面SAB，EF∩DF＝F，

∴平面SAB∥平面DEF，

又∵SG⊂平面SAB，∴SG∥平面DEF．

2．如图，在正方形ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是棱B1C1，BB1，C1D1的中点，是否存在过点E，M且与平面A1FC平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由.

[思路分析]　由正方体的特征及N为BB1的中点，可知平面A1FC与直线DD1相交，且交点为DD1的中点G．

若过M，E的平面α与平面A1FCG平行，注意到EM∥B1D1∥FG，则平面α必与CC1相交于点N，结合M，E为棱C1D1，B1C1的中点，易知C1N∶C1C＝.于是平面EMN满足要求．

[解析]　如图，设N是棱C1C上的一点，且C1N＝C1C时，平面EMN过点E，M且与平面A1FC平行．

证明如下：设H为棱C1C的中点，连接B1H，D1H．

∵C1N＝C1C，∴C1N＝C1H．

又E为B1C1的中点，∴EN∥B1H．

又CF∥B1H，∴EN∥CF．

又EN⊄平面A1FC，CF⊂平面A1FC

∴EN∥平面A1FC．

同理MN∥D1H，D1H∥A1F

∴MN∥A1F．

又MN⊄平面A1FC，A1F⊂平面A1FC

∴MN∥平面A1FC．

又EN∩MN＝N

∴平面EMN∥平面A1FC．