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初中数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用当堂检测题
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这是一份初中数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用当堂检测题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1.【中考·广西北部湾经济区】扬帆中学有一块长30 m，宽20 m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x m，则可列方程为( )
A．(30－x)(20－x)＝eq \f(3,4)×20×30
B．(30－2x)(20－x)＝eq \f(1,4)×20×30
C．30x＋2×20x＝eq \f(1,4)×20×30
D．(30－2x)(20－x)＝eq \f(3,4)×20×30
丁
丙
乙
甲
第1题图 第3题图 第4题图 第5题图
2.同一根细铁丝可以折成边长为10 cm的等边三角形，也可以折成面积为50 cm2的矩形．设所折成的矩形的一边长为x cm，则可列方程为( )
A．x(10－x)＝50 B．x(30－x)＝50 C．x(15－x)＝50 D．x(30－2x)＝50
3.如图所示，点阵M的层数用n表示，点数总和用S表示，当S＝66时，n的值为( )
A．10 B．11 C．12 D．13
4.如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7 644平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为 ( )
A．100×80－100x－80x＝7644 B．(100－x)(80－x)＋x2＝7644
C．(100－x)(80－x)＝7644 D．100x＋80x＝356
5.如图，六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和。若丙的一股长（注：直角三角形较短的直角边为勾，较长的直角边为股）为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？( )
A． EQ \F( 1 , 2 ) B． EQ \F( 3 , 5 ) C．2 EQ \r(,3 ) D．42 EQ \r(,3 )
6.如图，为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分？( )
A．11 B．12 C．13 D．14
第6题图 第7题图 第8题图 第10题图
7.如图,学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形.为便于管理,要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道,使种植面积为600米2,则小道的宽为多少米?若设小道的宽为x米,则根据题意,列方程为( )
A.35×20－35x－20x＋2x2＝600 B.35×20－35x－2×20x＝600
C.(35－2x)(20－x)＝600 D.(35－x)(20－2x)＝600
8.如图,在一块长为32米、宽为20米的矩形地面上修建三条宽度相等的小路,每条小路的两边互相平行.若使剩余面积为570米2,则小路的宽度x为( )
A.0.5米B.1米C.2米D.3米
9.从一块正方形木板上锯掉3 m宽的长方形木条,剩下的面积是54 m2,则原来这块木板的面积是( )
A.9 m2B.64 m2C.81 m2D.121 m2
10.一块四周镶有宽度相等的花边地毯如图所示,它的长为8 m,宽为5 m.如果地毯中央长方形图案的面积为28 m2,则花边的宽是( )
A.2 mB.1.5 m
C.1 mD.0.5 m
11.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.若苗圃园的面积为72米2,则x＝( )
A.15B.12
C.10D.8
第11题图 第12题图
12.为把我市创建成全国文明城市,某社区积极响应市政府号召,准备在一块正方形的空地上划出部分区域栽种鲜花,如图中的阴影“”带.鲜花带一边宽1 m,另一边宽2 m,剩余空地的面积为18 m2,设原正方形空地的边长为x m,则可列方程为( )
A.(x－1)(x－2)＝18
B.x2－3x＋16＝0
C.(x＋1)(x＋2)＝18
D.x2＋3x＋16＝0
二、填空题
13.如图是一无盖长方体铁盒的平面展开图，若铁盒的容积为3，则根据图中的条件，可列出方程为______________________．
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
14.【2020·济南】如图，在一块长15 m、宽10 m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为126 m2，则修建的路宽应为________m.
15.准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，(如图所示)四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为________米．
16.如图，ABCD为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动，P，Q两点从出发开始到________秒时，点P和点Q的距离是10 cm.
17.如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝25 cm.动点P从点C出发，沿CA方向在CA上运动，速度是2 cm/s；动点Q同时从点B出发，沿BC方向在BC上运动，速度是1 cm/s，一点到达终点后，另一点也停止运动，则开始运动后，经过________s，P，Q两点之间相距25 cm.
18.【中考·宁夏】你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2＋5x－14＝0，即x(x＋5)＝14为例加以说明．数学家赵爽(公元3～4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是构造图(如图甲)中大正方形的面积是(x＋x＋5)2，
其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14＋52，据此易得x＝2.那么在如图乙(矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上)中，能够说明方程x2－4x－12＝0的正确构图是____________．(只填序号)
三、解答题
19.【中考·徐州】如图，有一块矩形硬纸板，长30 cm，宽 20 cm.在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200 cm2?
20.如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动．问：
(1)几秒时△PBQ的面积等于8 cm2?
(2)几秒时△PDQ的面积等于28 cm2?
21.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点P从B点出发以1 cm/s的速度向C点运动，同时Q从C点出发以相同的速度向A点运动，当其中一个点到达目的地时另一点自动停止运动，设运动时间为t s.
(1)用含t的代数式表示CP，CQ的长，并直接写出t的取值范围；
(2)多长时间后，△CPQ的面积为6 cm2?
(3)多长时间后，点P、点Q的距离为5eq \r(2) cm?
22.如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用25米长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边CD上留一个1米宽的门．
(1)若a＝12，问长和宽分别为多少时，鸡舍面积为80平方米？
(2)问a的值在什么范围时，(1)中的解有两个？一个？无解？
(3)若墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到90平方米？
23.如图,在矩形ABCD中,AB＝6 cm,BC＝8 cm.点P从点B出发沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动,点Q从点C出发沿边CD向点D以1 cm/s的速度移动.如果P,Q两点同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的111?
24.要在一块长52 m、宽48 m的矩形绿地上修建同样宽的两条互相垂直的甬路．如图分别是小亮和小颖的设计方案．
(1)求小亮设计方案中甬路的宽度；
(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积．
(友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中x的取值相同)．
参考答案
一、选择题
1.【中考·广西北部湾经济区】扬帆中学有一块长30 m，宽20 m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x m，则可列方程为( )
A．(30－x)(20－x)＝eq \f(3,4)×20×30 B．(30－2x)(20－x)＝eq \f(1,4)×20×30
C．30x＋2×20x＝eq \f(1,4)×20×30 D．(30－2x)(20－x)＝eq \f(3,4)×20×30
【答案】D
丁
丙
乙
甲
第1题图 第3题图 第4题图 第5题图
2.同一根细铁丝可以折成边长为10 cm的等边三角形，也可以折成面积为50 cm2的矩形．设所折成的矩形的一边长为x cm，则可列方程为( C )
A．x(10－x)＝50 B．x(30－x)＝50 C．x(15－x)＝50 D．x(30－2x)＝50
【点拨】折成的矩形的一边长为x cm，则相邻一边长为(15－x)cm，根据题意得x(15－x)＝50.
3.如图所示，点阵M的层数用n表示，点数总和用S表示，当S＝66时，n的值为( )
A．10 B．11 C．12 D．13
【点拨】根据题意得S＝eq \f(1,2)n(n＋1)．
∵S＝66，∴eq \f(1,2)n(n＋1)＝66，解得n1＝11，n2＝－12(舍去)．
∴n的值为11.
4.如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7 644平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为 ( C )
A．100×80－100x－80x＝7644 B．(100－x)(80－x)＋x2＝7644
C．(100－x)(80－x)＝7644 D．100x＋80x＝356
5.如图，六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和。若丙的一股长（注：直角三角形较短的直角边为勾，较长的直角边为股）为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？
A． EQ \F( 1 , 2 ) B． EQ \F( 3 , 5 ) C．2 EQ \r(,3 ) D．42 EQ \r(,3 )
【点拨】设丁的一股长为a，且a＜2，∵甲面积＋乙面积＝丙面积＋丁面积，
∴2a＋2a＝eq \f(1,2)×22＋eq \f(1,2)×a2， 4a＝2＋eq \f(1,2)a2， a2－8a＋4＝0，
a＝ EQ \F(8EQ \r((－8)2－4×1×4 ),2)＝ EQ \F(84EQ \r(3 ),2)＝42EQ \r(3 )，∵4＋2EQ \r(3 )＞2，不合，4－2EQ \r(3 )＜2，合，
∴a＝4－2EQ \r(3 )。故选(D)。
6.如图，为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分？（B）
A．11 B．12 C．13 D．14
第6题图 第7题图 第8题图 第10题图
7.如图,学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形.为便于管理,要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道,使种植面积为600米2,则小道的宽为多少米?若设小道的宽为x米,则根据题意,列方程为(C)
A.35×20－35x－20x＋2x2＝600 B.35×20－35x－2×20x＝600
C.(35－2x)(20－x)＝600 D.(35－x)(20－2x)＝600
8.如图,在一块长为32米、宽为20米的矩形地面上修建三条宽度相等的小路,每条小路的两边互相平行.若使剩余面积为570米2,则小路的宽度x为(B)
A.0.5米B.1米C.2米D.3米
9.从一块正方形木板上锯掉3 m宽的长方形木条,剩下的面积是54 m2,则原来这块木板的面积是( C )
A.9 m2B.64 m2C.81 m2D.121 m2
10.一块四周镶有宽度相等的花边地毯如图所示,它的长为8 m,宽为5 m.如果地毯中央长方形图案的面积为28 m2,则花边的宽是(D)
A.2 mB.1.5 mC.1 mD.0.5 m
11.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.若苗圃园的面积为72米2,则x＝(B)
A.15B.12C.10D.8
第11题图 第12题图
12.为把我市创建成全国文明城市,某社区积极响应市政府号召,准备在一块正方形的空地上划出部分区域栽种鲜花,如图中的阴影“”带.鲜花带一边宽1 m,另一边宽2 m,剩余空地的面积为18 m2,设原正方形空地的边长为x m,则可列方程为(A)
A.(x－1)(x－2)＝18B.x2－3x＋16＝0
C.(x＋1)(x＋2)＝18D.x2＋3x＋16＝0
二、填空题
13.如图是一无盖长方体铁盒的平面展开图，若铁盒的容积为3，则根据图中的条件，可列出方程为______________________．
【答案】x(x＋1)＝3
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
14.【2020·济南】如图，在一块长15 m、宽10 m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为126 m2，则修建的路宽应为________m.
【点拨】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的绿地是一个矩形，根据矩形的面积公式列方程求解即可．
【答案】1
15.准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，(如图所示)四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为________米．
【答案】54
16.如图，ABCD为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动，P，Q两点从出发开始到________秒时，点P和点Q的距离是10 cm.
【答案】85或245
17.如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝25 cm.动点P从点C出发，沿CA方向在CA上运动，速度是2 cm/s；动点Q同时从点B出发，沿BC方向在BC上运动，速度是1 cm/s，一点到达终点后，另一点也停止运动，则开始运动后，经过________s，P，Q两点之间相距25 cm.
【答案】10
18.【中考·宁夏】你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2＋5x－14＝0，即x(x＋5)＝14为例加以说明．数学家赵爽(公元3～4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是构造图(如图甲)中大正方形的面积是(x＋x＋5)2，
其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14＋52，据此易得x＝2.那么在如图乙(矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上)中，能够说明方程x2－4x－12＝0的正确构图是____________．(只填序号)
【点拨】∵x2－4x－12＝0，即x(x－4)＝12，∴构造大正方形的面积是(x＋x－4)2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×12＋42，据此易得x＝6.故填②.
【答案】②
三、解答题
19.【中考·徐州】如图，有一块矩形硬纸板，长30 cm，宽 20 cm.在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200 cm2?
解：设剪去正方形的边长为x cm，则制成的无盖长方体盒子的长为(30－2x) cm，宽为(20－2x) cm，高为x cm，
依题意，得2×[(30－2x)＋(20－2x)]x＝200，
整理，得2x2－25x＋50＝0，解得x1＝eq \f(5,2)，x2＝10.
当x＝10时，20－2x＝0，不合题意，舍去．
答：当剪去正方形的边长为eq \f(5,2) cm时，所得长方体盒子的侧面积为200 cm2.
20.如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动．问：
(1)几秒时△PBQ的面积等于8 cm2?
解：设x s时△PBQ的面积等于8 cm2，
则AP＝x cm，QB＝2x cm，PB＝(6－x)cm.
∴eq \f(1,2)×(6－x)×2x＝8，解得x1＝2，x2＝4，
答：2 s或4 s时△PBQ的面积等于8 cm2.
(2)几秒时△PDQ的面积等于28 cm2?
解：设t s时△PDQ的面积等于28 cm2.
∵S矩形ABCD－S△APD－S△BPQ－S△CDQ＝S△PDQ，
∴12×6－eq \f(1,2)×12t－eq \f(1,2)×2t(6－t)－eq \f(1,2)×6×(12－2t)＝28，
整理得t2－6t＋8＝0，
解得t1＝2，t2＝4，
答：2 s或4 s时△PDQ的面积等于28 cm2.
21.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点P从B点出发以1 cm/s的速度向C点运动，同时Q从C点出发以相同的速度向A点运动，当其中一个点到达目的地时另一点自动停止运动，设运动时间为t s.
(1)用含t的代数式表示CP，CQ的长，并直接写出t的取值范围；
解：CP＝(8－t) cm，CQ＝t cm.t的取值范围为0≤t≤6.
(2)多长时间后，△CPQ的面积为6 cm2?
解：根据题意，得eq \f(1,2)(8－t)t＝6，
解得t＝2或t＝6.
答：2 s或6 s后，△CPQ的面积为6 cm2.
(3)多长时间后，点P、点Q的距离为5eq \r(2) cm?
解：根据题意，得(8－t)2＋t2＝(5eq \r(2))2，
解得t＝1或t＝7(不合题意，舍去)．
答：1 s后，P点、Q点的距离为5eq \r(2) cm.
22.如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用25米长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边CD上留一个1米宽的门．
(1)若a＝12，问长和宽分别为多少时，鸡舍面积为80平方米？
解：设AB＝x米，则BC＝(26－2x)米．
依题意，得x(26－2x)＝80，
解得x1＝5，x2＝8.
当x＝5时，26－2x＝16＞12，不符合题意，舍去；
当x＝8时，26－2x＝10＜12.
答：长为10米，宽为8米时，鸡舍面积为80平方米．
(2)问a的值在什么范围时，(1)中的解有两个？一个？无解？
解：由(1)知，边BC的长为10米或16米，
∴当a≥16时，(1)中的解有两个；
当10≤a＜16时，(1)中的解有一个；
当a＜10时，无解．
(3)若墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到90平方米？
解：令x(26－2x)＝90，
整理得x2－13x＋45＝0，
∴Δ＝b2－4ac＝169－180＝－11＜0，
∴鸡舍面积不能达到90平方米．
23.如图,在矩形ABCD中,AB＝6 cm,BC＝8 cm.点P从点B出发沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动,点Q从点C出发沿边CD向点D以1 cm/s的速度移动.如果P,Q两点同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的111?
解:设x s后,可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的111.
根据题意,得CP＝(8－2x) cm,CQ＝x cm,
∴S△PCQ＝12CP·CQ＝12(8－2x)·x,
∴S五边形ABPQD＝6×8－12(8－2x)·x,
∴6×8－12(8－2x)·x＝11×12(8－2x)·x,
解得x＝2,
∴2 s后,可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的111.
24.要在一块长52 m、宽48 m的矩形绿地上修建同样宽的两条互相垂直的甬路．如图分别是小亮和小颖的设计方案．
(1)求小亮设计方案中甬路的宽度；
解：根据小亮的设计方案列方程得(52－x)(48－x)＝2 300，
解得x＝2或x＝98(舍去)．
∴小亮设计方案中甬路的宽度为2 m.
(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积．
(友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中x的取值相同)．
解：过A作AI⊥CD，垂足为I.
∵AB∥CD，∠1＝60°，∴∠ADI＝60°.∴∠IAD＝30°.
∵BC∥AD，∴四边形ADCB为平行四边形．
∴BC＝AD.
由(1)得x＝2，∴BC＝HE＝2 m＝AD.
在Rt△ADI中，AD＝2 m，∠IAD＝30°，
∴ID＝1 m.
∴AI＝eq \r(3) m.
∴小颖设计方案中四块绿地的总面积为52×48－52×2－48×2＋(eq \r(3))2＝2 299(m2)．
一、选择题
1.【中考·广西北部湾经济区】扬帆中学有一块长30 m，宽20 m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x m，则可列方程为( )
A．(30－x)(20－x)＝eq \f(3,4)×20×30
B．(30－2x)(20－x)＝eq \f(1,4)×20×30
C．30x＋2×20x＝eq \f(1,4)×20×30
D．(30－2x)(20－x)＝eq \f(3,4)×20×30
丁
丙
乙
甲
第1题图 第3题图 第4题图 第5题图
2.同一根细铁丝可以折成边长为10 cm的等边三角形，也可以折成面积为50 cm2的矩形．设所折成的矩形的一边长为x cm，则可列方程为( )
A．x(10－x)＝50 B．x(30－x)＝50 C．x(15－x)＝50 D．x(30－2x)＝50
3.如图所示，点阵M的层数用n表示，点数总和用S表示，当S＝66时，n的值为( )
A．10 B．11 C．12 D．13
4.如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7 644平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为 ( )
A．100×80－100x－80x＝7644 B．(100－x)(80－x)＋x2＝7644
C．(100－x)(80－x)＝7644 D．100x＋80x＝356
5.如图，六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和。若丙的一股长（注：直角三角形较短的直角边为勾，较长的直角边为股）为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？( )
A． EQ \F( 1 , 2 ) B． EQ \F( 3 , 5 ) C．2 EQ \r(,3 ) D．42 EQ \r(,3 )
6.如图，为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分？( )
A．11 B．12 C．13 D．14
第6题图 第7题图 第8题图 第10题图
7.如图,学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形.为便于管理,要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道,使种植面积为600米2,则小道的宽为多少米?若设小道的宽为x米,则根据题意,列方程为( )
A.35×20－35x－20x＋2x2＝600 B.35×20－35x－2×20x＝600
C.(35－2x)(20－x)＝600 D.(35－x)(20－2x)＝600
8.如图,在一块长为32米、宽为20米的矩形地面上修建三条宽度相等的小路,每条小路的两边互相平行.若使剩余面积为570米2,则小路的宽度x为( )
A.0.5米B.1米C.2米D.3米
9.从一块正方形木板上锯掉3 m宽的长方形木条,剩下的面积是54 m2,则原来这块木板的面积是( )
A.9 m2B.64 m2C.81 m2D.121 m2
10.一块四周镶有宽度相等的花边地毯如图所示,它的长为8 m,宽为5 m.如果地毯中央长方形图案的面积为28 m2,则花边的宽是( )
A.2 mB.1.5 m
C.1 mD.0.5 m
11.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.若苗圃园的面积为72米2,则x＝( )
A.15B.12
C.10D.8
第11题图 第12题图
12.为把我市创建成全国文明城市,某社区积极响应市政府号召,准备在一块正方形的空地上划出部分区域栽种鲜花,如图中的阴影“”带.鲜花带一边宽1 m,另一边宽2 m,剩余空地的面积为18 m2,设原正方形空地的边长为x m,则可列方程为( )
A.(x－1)(x－2)＝18
B.x2－3x＋16＝0
C.(x＋1)(x＋2)＝18
D.x2＋3x＋16＝0
二、填空题
13.如图是一无盖长方体铁盒的平面展开图，若铁盒的容积为3，则根据图中的条件，可列出方程为______________________．
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
14.【2020·济南】如图，在一块长15 m、宽10 m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为126 m2，则修建的路宽应为________m.
15.准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，(如图所示)四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为________米．
16.如图，ABCD为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动，P，Q两点从出发开始到________秒时，点P和点Q的距离是10 cm.
17.如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝25 cm.动点P从点C出发，沿CA方向在CA上运动，速度是2 cm/s；动点Q同时从点B出发，沿BC方向在BC上运动，速度是1 cm/s，一点到达终点后，另一点也停止运动，则开始运动后，经过________s，P，Q两点之间相距25 cm.
18.【中考·宁夏】你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2＋5x－14＝0，即x(x＋5)＝14为例加以说明．数学家赵爽(公元3～4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是构造图(如图甲)中大正方形的面积是(x＋x＋5)2，
其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14＋52，据此易得x＝2.那么在如图乙(矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上)中，能够说明方程x2－4x－12＝0的正确构图是____________．(只填序号)
三、解答题
19.【中考·徐州】如图，有一块矩形硬纸板，长30 cm，宽 20 cm.在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200 cm2?
20.如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动．问：
(1)几秒时△PBQ的面积等于8 cm2?
(2)几秒时△PDQ的面积等于28 cm2?
21.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点P从B点出发以1 cm/s的速度向C点运动，同时Q从C点出发以相同的速度向A点运动，当其中一个点到达目的地时另一点自动停止运动，设运动时间为t s.
(1)用含t的代数式表示CP，CQ的长，并直接写出t的取值范围；
(2)多长时间后，△CPQ的面积为6 cm2?
(3)多长时间后，点P、点Q的距离为5eq \r(2) cm?
22.如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用25米长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边CD上留一个1米宽的门．
(1)若a＝12，问长和宽分别为多少时，鸡舍面积为80平方米？
(2)问a的值在什么范围时，(1)中的解有两个？一个？无解？
(3)若墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到90平方米？
23.如图,在矩形ABCD中,AB＝6 cm,BC＝8 cm.点P从点B出发沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动,点Q从点C出发沿边CD向点D以1 cm/s的速度移动.如果P,Q两点同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的111?
24.要在一块长52 m、宽48 m的矩形绿地上修建同样宽的两条互相垂直的甬路．如图分别是小亮和小颖的设计方案．
(1)求小亮设计方案中甬路的宽度；
(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积．
(友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中x的取值相同)．
参考答案
一、选择题
1.【中考·广西北部湾经济区】扬帆中学有一块长30 m，宽20 m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x m，则可列方程为( )
A．(30－x)(20－x)＝eq \f(3,4)×20×30 B．(30－2x)(20－x)＝eq \f(1,4)×20×30
C．30x＋2×20x＝eq \f(1,4)×20×30 D．(30－2x)(20－x)＝eq \f(3,4)×20×30
【答案】D
丁
丙
乙
甲
第1题图 第3题图 第4题图 第5题图
2.同一根细铁丝可以折成边长为10 cm的等边三角形，也可以折成面积为50 cm2的矩形．设所折成的矩形的一边长为x cm，则可列方程为( C )
A．x(10－x)＝50 B．x(30－x)＝50 C．x(15－x)＝50 D．x(30－2x)＝50
【点拨】折成的矩形的一边长为x cm，则相邻一边长为(15－x)cm，根据题意得x(15－x)＝50.
3.如图所示，点阵M的层数用n表示，点数总和用S表示，当S＝66时，n的值为( )
A．10 B．11 C．12 D．13
【点拨】根据题意得S＝eq \f(1,2)n(n＋1)．
∵S＝66，∴eq \f(1,2)n(n＋1)＝66，解得n1＝11，n2＝－12(舍去)．
∴n的值为11.
4.如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7 644平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为 ( C )
A．100×80－100x－80x＝7644 B．(100－x)(80－x)＋x2＝7644
C．(100－x)(80－x)＝7644 D．100x＋80x＝356
5.如图，六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和。若丙的一股长（注：直角三角形较短的直角边为勾，较长的直角边为股）为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？
A． EQ \F( 1 , 2 ) B． EQ \F( 3 , 5 ) C．2 EQ \r(,3 ) D．42 EQ \r(,3 )
【点拨】设丁的一股长为a，且a＜2，∵甲面积＋乙面积＝丙面积＋丁面积，
∴2a＋2a＝eq \f(1,2)×22＋eq \f(1,2)×a2， 4a＝2＋eq \f(1,2)a2， a2－8a＋4＝0，
a＝ EQ \F(8EQ \r((－8)2－4×1×4 ),2)＝ EQ \F(84EQ \r(3 ),2)＝42EQ \r(3 )，∵4＋2EQ \r(3 )＞2，不合，4－2EQ \r(3 )＜2，合，
∴a＝4－2EQ \r(3 )。故选(D)。
6.如图，为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分？（B）
A．11 B．12 C．13 D．14
第6题图 第7题图 第8题图 第10题图
7.如图,学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形.为便于管理,要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道,使种植面积为600米2,则小道的宽为多少米?若设小道的宽为x米,则根据题意,列方程为(C)
A.35×20－35x－20x＋2x2＝600 B.35×20－35x－2×20x＝600
C.(35－2x)(20－x)＝600 D.(35－x)(20－2x)＝600
8.如图,在一块长为32米、宽为20米的矩形地面上修建三条宽度相等的小路,每条小路的两边互相平行.若使剩余面积为570米2,则小路的宽度x为(B)
A.0.5米B.1米C.2米D.3米
9.从一块正方形木板上锯掉3 m宽的长方形木条,剩下的面积是54 m2,则原来这块木板的面积是( C )
A.9 m2B.64 m2C.81 m2D.121 m2
10.一块四周镶有宽度相等的花边地毯如图所示,它的长为8 m,宽为5 m.如果地毯中央长方形图案的面积为28 m2,则花边的宽是(D)
A.2 mB.1.5 mC.1 mD.0.5 m
11.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.若苗圃园的面积为72米2,则x＝(B)
A.15B.12C.10D.8
第11题图 第12题图
12.为把我市创建成全国文明城市,某社区积极响应市政府号召,准备在一块正方形的空地上划出部分区域栽种鲜花,如图中的阴影“”带.鲜花带一边宽1 m,另一边宽2 m,剩余空地的面积为18 m2,设原正方形空地的边长为x m,则可列方程为(A)
A.(x－1)(x－2)＝18B.x2－3x＋16＝0
C.(x＋1)(x＋2)＝18D.x2＋3x＋16＝0
二、填空题
13.如图是一无盖长方体铁盒的平面展开图，若铁盒的容积为3，则根据图中的条件，可列出方程为______________________．
【答案】x(x＋1)＝3
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
14.【2020·济南】如图，在一块长15 m、宽10 m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为126 m2，则修建的路宽应为________m.
【点拨】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的绿地是一个矩形，根据矩形的面积公式列方程求解即可．
【答案】1
15.准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，(如图所示)四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为________米．
【答案】54
16.如图，ABCD为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动，P，Q两点从出发开始到________秒时，点P和点Q的距离是10 cm.
【答案】85或245
17.如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝25 cm.动点P从点C出发，沿CA方向在CA上运动，速度是2 cm/s；动点Q同时从点B出发，沿BC方向在BC上运动，速度是1 cm/s，一点到达终点后，另一点也停止运动，则开始运动后，经过________s，P，Q两点之间相距25 cm.
【答案】10
18.【中考·宁夏】你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2＋5x－14＝0，即x(x＋5)＝14为例加以说明．数学家赵爽(公元3～4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是构造图(如图甲)中大正方形的面积是(x＋x＋5)2，
其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14＋52，据此易得x＝2.那么在如图乙(矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上)中，能够说明方程x2－4x－12＝0的正确构图是____________．(只填序号)
【点拨】∵x2－4x－12＝0，即x(x－4)＝12，∴构造大正方形的面积是(x＋x－4)2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×12＋42，据此易得x＝6.故填②.
【答案】②
三、解答题
19.【中考·徐州】如图，有一块矩形硬纸板，长30 cm，宽 20 cm.在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200 cm2?
解：设剪去正方形的边长为x cm，则制成的无盖长方体盒子的长为(30－2x) cm，宽为(20－2x) cm，高为x cm，
依题意，得2×[(30－2x)＋(20－2x)]x＝200，
整理，得2x2－25x＋50＝0，解得x1＝eq \f(5,2)，x2＝10.
当x＝10时，20－2x＝0，不合题意，舍去．
答：当剪去正方形的边长为eq \f(5,2) cm时，所得长方体盒子的侧面积为200 cm2.
20.如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动．问：
(1)几秒时△PBQ的面积等于8 cm2?
解：设x s时△PBQ的面积等于8 cm2，
则AP＝x cm，QB＝2x cm，PB＝(6－x)cm.
∴eq \f(1,2)×(6－x)×2x＝8，解得x1＝2，x2＝4，
答：2 s或4 s时△PBQ的面积等于8 cm2.
(2)几秒时△PDQ的面积等于28 cm2?
解：设t s时△PDQ的面积等于28 cm2.
∵S矩形ABCD－S△APD－S△BPQ－S△CDQ＝S△PDQ，
∴12×6－eq \f(1,2)×12t－eq \f(1,2)×2t(6－t)－eq \f(1,2)×6×(12－2t)＝28，
整理得t2－6t＋8＝0，
解得t1＝2，t2＝4，
答：2 s或4 s时△PDQ的面积等于28 cm2.
21.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点P从B点出发以1 cm/s的速度向C点运动，同时Q从C点出发以相同的速度向A点运动，当其中一个点到达目的地时另一点自动停止运动，设运动时间为t s.
(1)用含t的代数式表示CP，CQ的长，并直接写出t的取值范围；
解：CP＝(8－t) cm，CQ＝t cm.t的取值范围为0≤t≤6.
(2)多长时间后，△CPQ的面积为6 cm2?
解：根据题意，得eq \f(1,2)(8－t)t＝6，
解得t＝2或t＝6.
答：2 s或6 s后，△CPQ的面积为6 cm2.
(3)多长时间后，点P、点Q的距离为5eq \r(2) cm?
解：根据题意，得(8－t)2＋t2＝(5eq \r(2))2，
解得t＝1或t＝7(不合题意，舍去)．
答：1 s后，P点、Q点的距离为5eq \r(2) cm.
22.如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用25米长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边CD上留一个1米宽的门．
(1)若a＝12，问长和宽分别为多少时，鸡舍面积为80平方米？
解：设AB＝x米，则BC＝(26－2x)米．
依题意，得x(26－2x)＝80，
解得x1＝5，x2＝8.
当x＝5时，26－2x＝16＞12，不符合题意，舍去；
当x＝8时，26－2x＝10＜12.
答：长为10米，宽为8米时，鸡舍面积为80平方米．
(2)问a的值在什么范围时，(1)中的解有两个？一个？无解？
解：由(1)知，边BC的长为10米或16米，
∴当a≥16时，(1)中的解有两个；
当10≤a＜16时，(1)中的解有一个；
当a＜10时，无解．
(3)若墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到90平方米？
解：令x(26－2x)＝90，
整理得x2－13x＋45＝0，
∴Δ＝b2－4ac＝169－180＝－11＜0，
∴鸡舍面积不能达到90平方米．
23.如图,在矩形ABCD中,AB＝6 cm,BC＝8 cm.点P从点B出发沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动,点Q从点C出发沿边CD向点D以1 cm/s的速度移动.如果P,Q两点同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的111?
解:设x s后,可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的111.
根据题意,得CP＝(8－2x) cm,CQ＝x cm,
∴S△PCQ＝12CP·CQ＝12(8－2x)·x,
∴S五边形ABPQD＝6×8－12(8－2x)·x,
∴6×8－12(8－2x)·x＝11×12(8－2x)·x,
解得x＝2,
∴2 s后,可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的111.
24.要在一块长52 m、宽48 m的矩形绿地上修建同样宽的两条互相垂直的甬路．如图分别是小亮和小颖的设计方案．
(1)求小亮设计方案中甬路的宽度；
解：根据小亮的设计方案列方程得(52－x)(48－x)＝2 300，
解得x＝2或x＝98(舍去)．
∴小亮设计方案中甬路的宽度为2 m.
(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积．
(友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中x的取值相同)．
解：过A作AI⊥CD，垂足为I.
∵AB∥CD，∠1＝60°，∴∠ADI＝60°.∴∠IAD＝30°.
∵BC∥AD，∴四边形ADCB为平行四边形．
∴BC＝AD.
由(1)得x＝2，∴BC＝HE＝2 m＝AD.
在Rt△ADI中，AD＝2 m，∠IAD＝30°，
∴ID＝1 m.
∴AI＝eq \r(3) m.
∴小颖设计方案中四块绿地的总面积为52×48－52×2－48×2＋(eq \r(3))2＝2 299(m2)．
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