初中数学人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程习题

这是一份初中数学人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程习题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1.如图,学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形.为便于管理,要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道,使种植面积为600米2,则小道的宽为多少米?若设小道的宽为x米,则根据题意,列方程为( )
A.35×20－35x－20x＋2x2＝600
B.35×20－35x－2×20x＝600
C.(35－2x)(20－x)＝600
D.(35－x)(20－2x)＝600
2.如图,在一块长为32米、宽为20米的矩形地面上修建三条宽度相等的小路,每条小路的两边互相平行.若使剩余面积为570米2,则小路的宽度x为( )
A.0.5米B.1米C.2米D.3米
3.从一块正方形木板上锯掉3 m宽的长方形木条,剩下的面积是54 m2,则原来这块木板的面积是( )
A.9 m2B.64 m2C.81 m2D.121 m2
4.一块四周镶有宽度相等的花边地毯如图所示,它的长为8 m,宽为5 m.如果地毯中央长方形图案的面积为28 m2,则花边的宽是( )
A.2 mB.1.5 mC.1 mD.0.5 m
5.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.若苗圃园的面积为72米2,则x＝( )
A.15B.12C.10D.8
6.为把我市创建成全国文明城市,某社区积极响应市政府号召,准备在一块正方形的空地上划出部分区域栽种鲜花,如图中的阴影“”带.鲜花带一边宽1 m,另一边宽2 m,剩余空地的面积为18 m2,设原正方形空地的边长为x m,则可列方程为( )
A.(x－1)(x－2)＝18B.x2－3x＋16＝0
C.(x＋1)(x＋2)＝18D.x2＋3x＋16＝0
二、填空题
7.(2020·济南)如图，在一块长15 m、宽10 m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为126 m2，则修建的道路宽应为________m.
8.(2020·山西)如图是一张长12 cm、宽10 cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm2的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为________ cm.
9.若一个矩形的长边的平方等于短边与其周长一半的积,则称这样的矩形为“优美矩形”.某公园在绿化时工作人员想利用如图所示的直角墙角(两边足够长)和长为38 m的篱笆围成一个“优美矩形”形状的花园ABCD,其中边AB,AD为篱笆且AB大于AD.设AD为x m,则可列方程为 .
10.如图,丁丁家用总长24米的篱笆围了一个面积为45米2的长方形鸡鸭园(长方形ABCD),鸡鸭园的一面靠墙.为了隔开鸡和鸭,在长方形内用篱笆做了一个竖直的隔断(EF).已知墙长为12米,则长方形鸡鸭园的宽(AD)为 米.
11.如图,在Rt△ABC中,AB＝6,BC＝8.点P从点A出发,以1个单位/秒的速度向点B移动,同时,点Q从点B出发,以2个单位/秒的速度向点C移动,运动到点C后P,Q两点都停止,则运动 秒后,△PBQ的面积为5个平方单位.
12.如图,在一个长20 m、宽10 m的矩形草地内修建宽度相等的小路(阴影部分).若剩余草地(空白部分)的面积为171 m2,则小路的宽度为 m.
13.有一块长方形的土地,宽为120 m,建筑商把它分成甲、乙、丙三部分,甲和乙均为正方形,现计划甲地建住宅区,乙地建商场,丙地开辟成面积为3200 m2的公园.设这块长方形的土地长为x m,根据题意列出的方程是 .(把结果化成一般式)
14.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,动点P从点A开始以每秒1个单位长度的速度沿边AC向点C运动,同时动点Q从点C开始,以每秒2个单位长度的速度沿C→B→A的折线在CB,BA边上向点A运动,当点P到达点C时,两点同时停止运动,连接PQ.在运动过程中(Q点在C,B,A三点除外),线段PQ将△ABC分成一个三角形和一个四边形,若四边形的面积为三角形面积的2倍,则运动的时间为
秒.
三、解答题
15.某驻村工作队为带动群众增收致富,巩固脱贫攻坚成效,决定在该村山脚下围一块面积为600 m2的矩形试验茶园,便于成功后大面积推广.如图所示,茶园一面靠墙,墙长35 m,另外三面用69 m长的篱笆围成,其中一边开有一扇1 m宽的门(不包括篱笆).求这个茶园的长和宽.
16.如图,在矩形ABCD中,AB＝6 cm,BC＝8 cm.点P从点B出发沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动,点Q从点C出发沿边CD向点D以1 cm/s的速度移动.如果P,Q两点同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的111?
17.某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚,其中一面靠墙,这堵墙的长度为12米.计划建造车棚的面积为80米2,已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米.
(1)为了方便学生出行,学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门,那么这个车棚的长和宽分别为多少米?
(2)如图,为了方便学生取车,施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路,使得停放自行车的面积为54米2,那么小路的宽度是多少米?
18.如图,若要建一个长方形鸡场,鸡场的一边靠墙,墙对面有一个2米宽的门,另三边用竹篱笆围成.篱笆总长为33米,围成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.
(1)若墙长为18米,要围成鸡场的面积为150平方米,则鸡场的长和宽各为多少米?
(2)能围成面积为200平方米的鸡场吗?
19.小明是一位动手能力很强的学生,他用橡皮泥做成了一个棱长为4 cm的正方体.
(1)如图1所示,在顶面中心位置处从上到下打一个边长为1 cm的正方形孔,打孔后的橡皮泥块的表面积为 cm2.
(2)如果在(1)的条件下打孔后,再在正面中心位置(如图2所示)从前到后打一个边长为1 cm的正方形通孔,那么打孔后的橡皮泥块的表面积为 cm2.
(3)如果把(2)中的边长为1 cm的正方形通孔均改为边长为a cm(a≠1)
的正方形通孔,能否使橡皮泥块的表面积为118 cm2?如果能,求出a;如果不能,请说明理由.
20.一家广告公司制作广告的收费标准是：按面积收费，在不超过规定面积a(m2)的范围内，每张广告收费100元，若超过a(m2)，则除了要收取100元的基本广告费以外，超过部分还要按每平方米5a元收费．下表是该公司为两家用户制作广告的面积及相应收费情况的记录：
红星公司要制作一张大型公益广告， 制作广告的材料形状是矩形，并且四周各留0.5 m宽的空白，空白部分的面积为49 m2.已知矩形材料的长与宽之比为3∶2，并且空白部分不收广告费，那么这张广告的费用是多少？
21.要在一块长52 m、宽48 m的矩形绿地上修建同样宽的两条互相垂直的甬路．如图分别是小亮和小颖的设计方案．
(1)求小亮设计方案中甬路的宽度；
(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积．
(友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中x的取值相同)．
单位
广告的面积/m2
收费金额/元
烟草公司
6
140
食品公司
3
100
参考答案
一、选择题
1.如图,学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形.为便于管理,要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道,使种植面积为600米2,则小道的宽为多少米?若设小道的宽为x米,则根据题意,列方程为(C)
A.35×20－35x－20x＋2x2＝600
B.35×20－35x－2×20x＝600
C.(35－2x)(20－x)＝600
D.(35－x)(20－2x)＝600
2.如图,在一块长为32米、宽为20米的矩形地面上修建三条宽度相等的小路,每条小路的两边互相平行.若使剩余面积为570米2,则小路的宽度x为(B)
A.0.5米B.1米C.2米D.3米
3.从一块正方形木板上锯掉3 m宽的长方形木条,剩下的面积是54 m2,则原来这块木板的面积是( C )
A.9 m2B.64 m2C.81 m2D.121 m2
4.一块四周镶有宽度相等的花边地毯如图所示,它的长为8 m,宽为5 m.如果地毯中央长方形图案的面积为28 m2,则花边的宽是(D)
A.2 mB.1.5 mC.1 mD.0.5 m
5.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.若苗圃园的面积为72米2,则x＝(B)
A.15B.12C.10D.8
6.为把我市创建成全国文明城市,某社区积极响应市政府号召,准备在一块正方形的空地上划出部分区域栽种鲜花,如图中的阴影“”带.鲜花带一边宽1 m,另一边宽2 m,剩余空地的面积为18 m2,设原正方形空地的边长为x m,则可列方程为(A)
A.(x－1)(x－2)＝18B.x2－3x＋16＝0
C.(x＋1)(x＋2)＝18D.x2＋3x＋16＝0
二、填空题
7.(2020·济南)如图，在一块长15 m、宽10 m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为126 m2，则修建的道路宽应为________m.
【点拨】设修建的道路宽为x m.
由题意得(10－x)(15－x)＝126，
解得x1＝1，x2＝24(不合题意，舍去)．
则道路宽为1 m.
8.(2020·山西)如图是一张长12 cm、宽10 cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm2的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为________ cm.
【点拨】设底面长为a cm，宽为b cm，剪去的正方形的边长为x cm.
根据题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2（x＋b）＝12，,a＋2x＝10，))
解得a＝10－2x，b＝6－x.
因为ab＝24，所以(10－2x)(6－x)＝24，整理得x2－11x＋18＝0，
解得x＝2或x＝9(舍去)．
故剪去的正方形的边长为2 cm.
【答案】2
9.若一个矩形的长边的平方等于短边与其周长一半的积,则称这样的矩形为“优美矩形”.某公园在绿化时工作人员想利用如图所示的直角墙角(两边足够长)和长为38 m的篱笆围成一个“优美矩形”形状的花园ABCD,其中边AB,AD为篱笆且AB大于AD.设AD为x m,则可列方程为 (38－x)2＝38x .
10.如图,丁丁家用总长24米的篱笆围了一个面积为45米2的长方形鸡鸭园(长方形ABCD),鸡鸭园的一面靠墙.为了隔开鸡和鸭,在长方形内用篱笆做了一个竖直的隔断(EF).已知墙长为12米,则长方形鸡鸭园的宽(AD)为 5 米.
11.如图,在Rt△ABC中,AB＝6,BC＝8.点P从点A出发,以1个单位/秒的速度向点B移动,同时,点Q从点B出发,以2个单位/秒的速度向点C移动,运动到点C后P,Q两点都停止,则运动 1 秒后,△PBQ的面积为5个平方单位.
12.如图,在一个长20 m、宽10 m的矩形草地内修建宽度相等的小路(阴影部分).若剩余草地(空白部分)的面积为171 m2,则小路的宽度为 1 m.
13.有一块长方形的土地,宽为120 m,建筑商把它分成甲、乙、丙三部分,甲和乙均为正方形,现计划甲地建住宅区,乙地建商场,丙地开辟成面积为3200 m2的公园.设这块长方形的土地长为x m,根据题意列出的方程是 x2－360x＋32000＝0 .(把结果化成一般式)
14.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,动点P从点A开始以每秒1个单位长度的速度沿边AC向点C运动,同时动点Q从点C开始,以每秒2个单位长度的速度沿C→B→A的折线在CB,BA边上向点A运动,当点P到达点C时,两点同时停止运动,连接PQ.在运动过程中(Q点在C,B,A三点除外),线段PQ将△ABC分成一个三角形和一个四边形,若四边形的面积为三角形面积的2倍,则运动的时间为 4-263或4+22 秒.
三、解答题
15.某驻村工作队为带动群众增收致富,巩固脱贫攻坚成效,决定在该村山脚下围一块面积为600 m2的矩形试验茶园,便于成功后大面积推广.如图所示,茶园一面靠墙,墙长35 m,另外三面用69 m长的篱笆围成,其中一边开有一扇1 m宽的门(不包括篱笆).求这个茶园的长和宽.
解:设茶园垂直于墙的一边长为x m,则另一边的长度为(70－2x) m.
根据题意,得x(70－2x)＝600,
整理,得x2－35x＋300＝0,解得x1＝15,x2＝20,
当x＝15时,70－2x＝40>35,不符合题意舍去;
当x＝20时,70－2x＝30<35,符合题意.
答:这个茶园的长和宽分别为30 m,20 m.
16.如图,在矩形ABCD中,AB＝6 cm,BC＝8 cm.点P从点B出发沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动,点Q从点C出发沿边CD向点D以1 cm/s的速度移动.如果P,Q两点同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的111?
解:设x s后,可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的111.
根据题意,得CP＝(8－2x) cm,CQ＝x cm,
∴S△PCQ＝12CP·CQ＝12(8－2x)·x,
∴S五边形ABPQD＝6×8－12(8－2x)·x,
∴6×8－12(8－2x)·x＝11×12(8－2x)·x,
解得x＝2,
∴2 s后,可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的111.
17.某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚,其中一面靠墙,这堵墙的长度为12米.计划建造车棚的面积为80米2,已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米.
(1)为了方便学生出行,学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门,那么这个车棚的长和宽分别为多少米?
(2)如图,为了方便学生取车,施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路,使得停放自行车的面积为54米2,那么小路的宽度是多少米?
解:(1)设与墙垂直的一面为x米,另一面则为(26－2x＋2)米.
根据题意,得x(28－2x)＝80,
整理,得x2－14x＋40＝0,解得x＝4或x＝10.
当x＝4时,28－2x＝20>12(舍去);
当x＝10时,28－2x＝8<12.
答:这个车棚的长为10米,宽为8米.
(2)设小路的宽为a米.
根据题意,得(8－2a)(10－a)＝54,
整理,得a2－14a＋13＝0,
解得a＝1或a＝13>10(舍去).
答:小路的宽为1米.
18.如图,若要建一个长方形鸡场,鸡场的一边靠墙,墙对面有一个2米宽的门,另三边用竹篱笆围成.篱笆总长为33米,围成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.
(1)若墙长为18米,要围成鸡场的面积为150平方米,则鸡场的长和宽各为多少米?
(2)能围成面积为200平方米的鸡场吗?
解:(1)设长方形与墙垂直的一边长为x米,则与墙平行的一边长为(33-2x+2)米,
根据题意,得x(33-2x+2)=150,
解得x1=10,x2=152(不合题意,舍去),
答:鸡场的长为15米,宽为10米.
(2)设长方形中与墙平行的一边长为y米,则与墙垂直的一边长为33-(y-2)2米,
根据题意,得33-(y-2)2y=200,
整理得y2-35y+400=0,此方程无实数根,
答:不能围成面积为200平方米的鸡场.
19.小明是一位动手能力很强的学生,他用橡皮泥做成了一个棱长为4 cm的正方体.
(1)如图1所示,在顶面中心位置处从上到下打一个边长为1 cm的正方形孔,打孔后的橡皮泥块的表面积为 110 cm2.
(2)如果在(1)的条件下打孔后,再在正面中心位置(如图2所示)从前到后打一个边长为1 cm的正方形通孔,那么打孔后的橡皮泥块的表面积为 118 cm2.
(3)如果把(2)中的边长为1 cm的正方形通孔均改为边长为a cm(a≠1)
的正方形通孔,能否使橡皮泥块的表面积为118 cm2?如果能,求出a;如果不能,请说明理由.
解:(3)能使橡皮泥块的表面积为118 cm2.
∵S1=96-2a2+4a×4,S2=S1-4a2+4×4a-4a2,
∴96-2a2+16a-8a2+16a=118,整理得5a2-16a+11=0,解得a1=115,a2=1.
∵a≠1,115<4,∴当边长改为115 cm时,表面积为118 cm2.
20.一家广告公司制作广告的收费标准是：按面积收费，在不超过规定面积a(m2)的范围内，每张广告收费100元，若超过a(m2)，则除了要收取100元的基本广告费以外，超过部分还要按每平方米5a元收费．下表是该公司为两家用户制作广告的面积及相应收费情况的记录：
红星公司要制作一张大型公益广告， 制作广告的材料形状是矩形，并且四周各留0.5 m宽的空白，空白部分的面积为49 m2.已知矩形材料的长与宽之比为3∶2，并且空白部分不收广告费，那么这张广告的费用是多少？
解：依题意，得100＋(6－a)×5a＝140，
整理得a2－6a＋8＝0，解得a1＝2，a2＝4.
∵a≥3，∴a＝4.
设矩形材料的长为3x m，则宽为2x m.
依题意，得3x·2x－(3x－0.5×2)·(2x－0.5×2)＝49，解得x＝10.
∴3x·2x＝600.
100＋4×5×(600－49－4)＝11 040(元)．
答：这张广告的费用是11 040元．
21.要在一块长52 m、宽48 m的矩形绿地上修建同样宽的两条互相垂直的甬路．如图分别是小亮和小颖的设计方案．
(1)求小亮设计方案中甬路的宽度；
解：根据小亮的设计方案列方程得(52－x)(48－x)＝2 300，
解得x＝2或x＝98(舍去)．
∴小亮设计方案中甬路的宽度为2 m.
(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积．
(友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中x的取值相同)．
解：过A作AI⊥CD，垂足为I.
∵AB∥CD，∠1＝60°，∴∠ADI＝60°.∴∠IAD＝30°.
∵BC∥AD，∴四边形ADCB为平行四边形．
∴BC＝AD.
由(1)得x＝2，∴BC＝HE＝2 m＝AD.
在Rt△ADI中，AD＝2 m，∠IAD＝30°，
∴ID＝1 m.
∴AI＝eq \r(3) m.
∴小颖设计方案中四块绿地的总面积为52×48－52×2－48×2＋(eq \r(3))2＝2 299(m2)．
单位
广告的面积/m2
收费金额/元
烟草公司
6
140
食品公司
3
100