初中数学湘教版九年级上册2.4 一元二次方程根与系数的关系同步测试题

这是一份初中数学湘教版九年级上册2.4 一元二次方程根与系数的关系同步测试题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

*2.4　一元二次方程根与系数的关系
一、选择题
1.【中考·黄冈】若x1，x2是一元二次方程x2－4x－5＝0的两根，则x1·x2的值为(　　)
A．－5 B．5 C．－4 D．4
2.【中考·泰州】方程2x2＋6x－1＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2等于(　　)
A．－6 B．6 C．－3 D．3
3.【2020·遵义】已知x1，x2是方程x2－3x－2＝0的两个根，则x12+x22的值为(　　)
A．5 B．10 C．11 D．13
4.【2019·淄博】若x1＋x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是(　　)
A．x2－3x＋2＝0 B．x2＋3x－2＝0 C．x2＋3x＋2＝0 D．x2－3x－2＝0
5.下列方程两实数根之和是－2的是(　　)
A．x2＋2x＋3＝0 B．x2－2x－3＝0 C．x2＋2x－3＝0 D．x2－2x＋3＝0
6.【2020·黔东南州】已知关于x的一元二次方程x2＋5x－m＝0的一个根是2，则另一个根是(　　)
A．－7 B．7 C．3 D．－3
7.【2019·贵港】若α，β是关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0的两个实数根，且＋＝－，则m等于(　　)
A．－2 B．－3 C．2 D．3
8.【中考·玉林】若一元二次方程x2－x－2＝0的两根为x1，x2，则(1＋x1)＋x2(1－x1)的值是(　　)
A．4 B．2 C．1 D．－2
9.【2020·湖北】关于x的方程x2＋2(m－1)x＋m2－m＝0有两个实数根α，β，且α2＋β2＝12，那么m的值为(　　)
A．－1 B．－4 C．－4或1 D．－1或4
10.【2019·包头】已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2－12x＋m＋2＝0的两根，则m的值是(　　)
A．34 B．30 C．30或34 D．30或36
11.【2021·宜宾叙州区期末】已知α，β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足＋＝－1，则m的值是(　　)
A．3 B．－1 C．3或－1 D．－3或1
12.已知m，n是关于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的两实数根，则(m＋2)(n＋2)的最小值是(　　)
A．7 B．11 C．12 D．16
13.关于x的一元二次方程x2－(k－1)x－k＋2＝0有两个实数根x1，x2，若(x1－x2＋2)(x1－x2－2)＋2x1 x2＝－3，则k的值为(　　)
A．0或2 B．－2或2 C．－2 D．2
二、填空题
14.若x1，x2是方程x2＋px＋q＝0的两根，则x1＋x2＝________，x1 x2＝________．
15.【中考·江西】设x1，x2是一元二次方程x2－x－1＝0的两根，则x1＋x2＋x1 x2＝____________．
16.已知关于x的方程x2＋mx－3＝0的两个根为x1，x2，若x1＋x2＝2 x1 x2，则m＝____________．
17.关于x的一元二次方程x2－(k＋2)x＋2k＝0的两根为x1，x2，且x12+x22＝20，则k的值为________________．
18.已知一元二次方程x2－2(k－1)x＋k2＋3＝0的两个根为x1，x2.若x1，x2满足(x1＋2)( x2＋2)＝8，则k的值为____________．
19.【2020·泸州】已知x1，x2是一元二次方程x2－4x－7＝0的两个实数根，则x12＋4 x1 x2＋x22的值是________．
三、解答题
20.已知方程x2－2x－c＝0的一个根是3，求方程的另一个根及c的值．




21．【中考·遂宁】已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0的两实数根x1，x2满足x1x2＋x1＋x2>0，求a的取值范围．









22.【中考·绥化】已知关于x的方程kx2－3x＋1＝0有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1＋x2＋x1x2＝4时，求k的值．







23.【2020·南充】已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0的两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使得等式＋＝k－2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．










24.已知关于x的方程a2x2＋(2a－1)x＋1＝0有两个实数根x1，x2.
(1)当a为何值时，x1≠x2？
(2)是否存在实数a，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．







25.【中考·泸州】已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两实数根．
(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；
(2)已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的长，求这个三角形的周长．

参考答案
一、选择题
1.【中考·黄冈】若x1，x2是一元二次方程x2－4x－5＝0的两根，则x1·x2的值为(　A　)
A．－5 B．5 C．－4 D．4
2.【中考·泰州】方程2x2＋6x－1＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2等于(　C　)
A．－6 B．6 C．－3 D．3
3.【2020·遵义】已知x1，x2是方程x2－3x－2＝0的两个根，则x12+x22的值为(　D　)
A．5 B．10 C．11 D．13
4.【2019·淄博】若x1＋x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是(　A　)
A．x2－3x＋2＝0 B．x2＋3x－2＝0 C．x2＋3x＋2＝0 D．x2－3x－2＝0
5.下列方程两实数根之和是－2的是(　　)
A．x2＋2x＋3＝0 B．x2－2x－3＝0 C．x2＋2x－3＝0 D．x2－2x＋3＝0
【点拨】利用根与系数的关系时，往往会犯单纯满足涉及根的表达式，而不考虑Δ≥0的错误．
6.【2020·黔东南州】已知关于x的一元二次方程x2＋5x－m＝0的一个根是2，则另一个根是(　A　)
A．－7 B．7 C．3 D．－3
7.【2019·贵港】若α，β是关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0的两个实数根，且＋＝－，则m等于(　B　)
A．－2 B．－3 C．2 D．3
8.【中考·玉林】若一元二次方程x2－x－2＝0的两根为x1，x2，则(1＋x1)＋x2(1－x1)的值是(　A　)
A．4 B．2 C．1 D．－2
【点拨】根据题意得x1＋x2＝1，x1 x2＝－2，所以(1＋x1)＋x2(1－x1)＝1＋(x1＋x2)－x1 x2＝1＋1－(－2)＝4.
9.【2020·湖北】关于x的方程x2＋2(m－1)x＋m2－m＝0有两个实数根α，β，且α2＋β2＝12，那么m的值为(　A　)
A．－1 B．－4 C．－4或1 D．－1或4
【点拨】∵关于x的方程x2＋2(m－1)x＋m2－m＝0有两个实数根，∴Δ＝[2(m－1)]2－4×1×(m2－m)＝－4m＋4≥0，解得m≤1.
∵关于x的方程x2＋2(m－1)x＋m2－m＝0有两个实数根α，β，∴α＋β＝－2(m－1)，α·β＝m2－m，
∴α2＋β2＝(α＋β)2－2α·β＝[－2(m－1)]2－2(m2－m)＝12，即m2－3m－4＝0，解得m＝－1或m＝4(舍去)．故选A.
10.【2019·包头】已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2－12x＋m＋2＝0的两根，则m的值是(　A　)
A．34 B．30 C．30或34 D．30或36
【点拨】当a＝4时，b<8，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2－12x＋m＋2＝0的两根，
∴4＋b＝12，∴b＝8，不符合；
当b＝4时，a<8，∵a，b是关于x的一元二次方程x2－12x＋m＋2＝0的两根，∴4＋a＝12，∴a＝8，不符合；
当a＝b时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2－12x＋m＋2＝0的两根，∴a＋b＝12，ab＝m＋2，∴a＝b＝6，
∴m＋2＝36，∴m＝34.
11.【2021·宜宾叙州区期末】已知α，β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足＋＝－1，则m的值是(　　)
A．3 B．－1 C．3或－1 D．－3或1
【点拨】由根与系数的关系得α＋β＝－(2m＋3)，αβ＝m2，∴ ＋＝＝＝－1，即m2－2m－3＝0，解得m＝3或m＝－1.∵一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0有两个不相等的实数根，∴(2m＋3)2－4×1×m2＝12m＋9＞0，∴m＞－，∴m＝3.故选A.
【答案】A
12.已知m，n是关于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的两实数根，则(m＋2)(n＋2)的最小值是(　D　)
A．7 B．11 C．12 D．16
【点拨】∵m，n是关于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的两实数根，∴Δ＝4t2－4t2＋8t－16≥0，
∴t≥2.∵(m＋2)(n＋2)＝mn＋2(m＋n)＋4＝t2－2t＋4＋4t＋4＝(t＋1)2＋7，∴(m＋2)(n＋2)的最小值为16.
13.关于x的一元二次方程x2－(k－1)x－k＋2＝0有两个实数根x1，x2，若(x1－x2＋2)(x1－x2－2)＋2x1 x2＝－3，则k的值为(　D　)
A．0或2 B．－2或2 C．－2 D．2
【点拨】∵关于x的一元二次方程x2－(k－1)x－k＋2＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1＋x2＝k－1，x1 x2＝－k＋2.
∵(x1－x2＋2)(x1－x2－2)＋2x1 x2＝－3，即(x1＋x2)2－2x1 x2－4＝－3，∴(k－1)2＋2k－4－4＝－3.解得k＝±2.
∵关于x的一元二次方程x2－(k－1)x－k＋2＝0有实数根，
∴Δ＝[－(k－1)]2－4×1×(－k＋2)≥0，
解得k≥2－1或k≤－2－1，∴k＝2.
二、填空题
14.若x1，x2是方程x2＋px＋q＝0的两根，则x1＋x2＝________，x1 x2＝________．
【答案】－p q
15.【中考·江西】设x1，x2是一元二次方程x2－x－1＝0的两根，则x1＋x2＋x1 x2＝____________．
【点拨】∵x1，x2是方程x2－x－1＝0的两根，
∴x1＋x2＝1，x1 x2＝－1，
∴x1＋x2＋x1 x2＝1－1＝0.
16.已知关于x的方程x2＋mx－3＝0的两个根为x1，x2，若x1＋x2＝2 x1 x2，则m＝____________．
【点拨】∵关于x的方程x2＋mx－3＝0的两个根为x1，x2，∴x1＋x2＝－m，x1 x2＝－3.∵x1＋x2＝2 x1 x2，即－m＝2×(－3)，∴m＝6.
17.关于x的一元二次方程x2－(k＋2)x＋2k＝0的两根为x1，x2，且x12+x22＝20，则k的值为________________．
【点拨】∵x1＋x2＝k＋2，x1 x2＝2k，x12+x22＝(x1＋x2)2－2 x1·x2＝20，∴(k＋2)2－4k＝20，解得k＝4或k＝－4，即k的值为4或－4.
18.已知一元二次方程x2－2(k－1)x＋k2＋3＝0的两个根为x1，x2.若x1，x2满足(x1＋2)( x2＋2)＝8，则k的值为____________．
【点拨】∵x1＋x2＝2(k－1)，x1 x2＝k2＋3，(x1＋2)(x2＋2)＝8，
∴x1 x2＋2(x1＋x2)＋4＝8，即k2＋3＋4(k－1)－4＝0，
∴k2＋4k－5＝0，∴k1＝－5，k2＝1.
∵一元二次方程x2－2(k－1)x＋k2＋3＝0的两个根为x1，x2，
∴Δ＝[－2(k－1)]2－4(k2＋3)≥0，∴4(k－1)2－4(k2＋3)≥0，
∴(k－1)2－(k2＋3)≥0，∴k2－2k＋1－k2－3≥0，
∴－2k－2≥0，∴k≤－1.
∴k＝－5.
本题易错点是求出k＝－5或k＝1后，不能进一步利用根的判别式排除k＝1而出现错误结论．
【答案】－5
19.【2020·泸州】已知x1，x2是一元二次方程x2－4x－7＝0的两个实数根，则x12＋4 x1 x2＋x22的值是________．
【答案】2
三、解答题
20.已知方程x2－2x－c＝0的一个根是3，求方程的另一个根及c的值．
解：∵方程x2－2x－c＝0的一个根是3，
∴9－6－c＝0.∴c＝3.
设方程的另一个根为m，则3＋m＝2.
∴m＝－1.即方程的另一个根为－1.
21．【中考·遂宁】已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0的两实数根x1，x2满足x1x2＋x1＋x2>0，求a的取值范围．
解：∵一元二次方程x2－2x＋a＝0有两个实数根，
∴Δ＝(－2)2－4×1×a＝4－4a≥0，解得a≤1.
由韦达定理可得x1 x2＝a，x1＋x2＝2.
∵x1x2＋x1＋x2＞0，∴a＋2＞0，解得a＞－2，
∴－2＜a≤1.
22.【中考·绥化】已知关于x的方程kx2－3x＋1＝0有实数根．
(1)求k的取值范围；
解：①当k＝0时，原方程为－3x＋1＝0，解得x＝，
∴k＝0符合题意；
②当k≠0时，原方程为一元二次方程．
∵该一元二次方程有实数根，
∴Δ＝(－3)2－4×k×1≥0，解得k≤.∴k≤且k≠0.
综上所述，k的取值范围为k≤.
(2)若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1＋x2＋x1x2＝4时，求k的值．
解：∵x1和x2是方程kx2－3x＋1＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∵x1＋x2＋x1x2＝4，∴＋＝4，解得k＝1，
经检验，k＝1是分式方程的解，且符合题意．
∴k的值为1.
23.【2020·南充】已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0的两个实数根．
(1)求k的取值范围；
解：∵一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0有两个实数根，
∴Δ＝(－2)2－4(k＋2)≥0，解得k≤－1.
(2)是否存在实数k，使得等式＋＝k－2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．
解：存在．由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2.
∵＋＝k－2，∴＝＝k－2，
即(k＋2)(k－2)＝2，解得k＝±.
又由(1)知，k≤－1，∴k＝－.
24.已知关于x的方程a2x2＋(2a－1)x＋1＝0有两个实数根x1，x2.
(1)当a为何值时，x1≠x2？
解：∵方程a2x2＋(2a－1)x＋1＝0有两个实数根x1，x2，且x1≠x2，∴a2≠0且Δ＝(2a－1)2－4a2＞0，
解得a＜且a≠0，∴当a＜且a≠0时，x1≠x2.
(2)是否存在实数a，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．
解：不存在，理由如下：
若方程的两个实数根x1，x2互为相反数，
则x1＋x2＝－＝0.
解得a＝，
经检验，a＝是方程－＝0的根．
由(1)知，当a≤且a≠0时，方程才有两个实数根，
∵＞，
∴不存在实数a，使方程的两个实数根互为相反数．
25.【中考·泸州】已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两实数根．
(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；
解：根据题意得Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)≥0，解得m≥2.易得x1＋x2＝2(m＋1)，x1 x2＝m2＋5，
∵(x1－1)(x2－1)＝28，即x1x2－(x1＋x2)＋1＝28，
∴m2＋5－2(m＋1)＋1＝28，整理得m2－2m－24＝0，
解得m1＝6，m2＝－4，而m≥2，∴m的值为6.
(2)已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的长，求这个三角形的周长．
解：当腰长为7时，不妨令x1＝7，
则49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，
整理得m2－14m＋40＝0，解得m1＝10，m2＝4.
当m＝10时，x1＋x2＝2(m＋1)＝22，
解得x2＝15，而7＋7＜15，故舍去；
当m＝4时，x1＋x2＝2(m＋1)＝10，解得x2＝3，
则这个三角形的周长为3＋7＋7＝17.
当底边长为7时，x1＝x2，易得m＝2，方程化为x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3，而3＋3＜7，故舍去．综上所述，这个三角形的周长为17.