必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）达标测试

4.5.3　函数模型的应用

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是(　　)

答案D

解析设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意知ax=a(1+0.104)y,即y=log1.104x(x≥1),所以函数y=f(x)的图象大致为D中图象.

2.有一组实验数据如下:

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是(　　)

A.V=log2t B.V=lot

C.V= D.V=2t-2

答案C

解析当t=4时,选项A中的V=log24=2,

选项B中的V=lo4=-2,

选项C中的V==7.5,

选项D中的V=2×4-2=6,故选C.

3.(多选题)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)(　　)

A.6 B.9 C.8 D.7

答案BC

解析设经过n次过滤,产品达到市场要求,则,即,由nlg≤-lg20,即n(lg2-lg3)≤-(1+lg2),得n≥≈7.4.

4.(2021福建福州三中高一期末)地震释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M.据此推断里氏8.0级地震所释放的能量与里氏5.0级地震所释放的能量的倍数是(　　)

A.lg 4.5倍 B.4.510倍

C.450倍 D.104.5倍

答案D

解析设里氏8.0级和里氏5.0级地震所释放的能量分别为E1和E2,则lgE1=4.8+1.5×8,lgE2=4.8+1.5×5,所以lg=lgE1-lgE2=4.5,

则=104.5,即E1=104.5E2.故选D.

5.(2021福建泉州高一期末)已知火箭的最大速度v(单位:km/s)和燃料质量M(单位:kg)、火箭质量m(单位:kg)的关系是v=2 000ln1+.若火箭的最大速度为9 240 km/s,则≈(　　)(参考数值:e4.62≈101)

A. B.

C.10 D.100

答案D

解析由题意,火箭的最大速度v和燃料质量M、火箭质量m的关系是v=2000ln1+,可得v=2000ln1+=9240,即ln1+==4.62,所以1+=e4.62≈101,可得=100.故选D.

6.已知某个病毒经30 min可繁殖为原来的2倍,且病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:h,y表示病毒个数),则k=　　　　　,经过5 h,1个病毒能繁殖　　　　　　个. 

答案2ln 2　1 024

解析当t=0.5时,y=2,∴2=,∴k=2ln2,

∴y=e2tln2.当t=5时,y=e10ln2=210=1024.

7.一个驾驶员喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,根据有关规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.2 mg/mL,那么这个驾驶员至少要经过　　　　　h才能开车(结果精确到1 h,参考数据lg 2≈0.30,lg 3≈0.48). 

答案2

解析设经过nh后才能开车,

此时酒精含量为0.3(1-25%)n.

根据题意,有0.3(1-25%)n≤0.2,

则有nlg=n(lg3-2lg2)≤lg=lg2-lg3,

将已知数据代入,得n(0.48-0.60)≤0.30-0.48,

∴n≥,故至少要经过2h才能开车.

8.有关数据显示,中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨,2016年的年增长率为50%,有专家预测,如果不采取措施,未来包装垃圾还将以此增长率增长,从哪年开始,快递行业产生的包装垃圾会超过4 000万吨.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)

解设快递行业产生的包装垃圾为y万吨,n表示从2015年开始增加的年份的数量,

由题意可得y=400×(1+50%)n=400×n,n∈N*,

当y=4000时,有n=10,两边取对数可得n(lg3-lg2)=1,

∴n(0.4771-0.3010)=1,0.1761n=1,解得n≈6,

∴从2015+6=2021年开始,快递行业产生的包装垃圾会超过4000万吨.

等级考提升练

9.(2021广西河池高一期末)某化工原料厂原来月产量为100吨,月份增产20%,二月份比一月份减产10%,则二月份产量为(　　)

A.106吨 B.108吨 C.110吨 D.112吨

答案B

解析因为化工原料厂原来月产量为100吨,月份增产20%,所以一月份的产量为100×(1+20%)=120(吨).

又因为二月份比一月份减产10%,

所以二月份的产量为120×(1-10%)=108(吨).

故选B.

10.(2021福建福州高一期末)已知比较适合生活的安静环境的声强级L(噪音级)为30~40分贝(符号:dB),声强I(单位:W/m2)与声强级L(单位:dB)的函数关系式为I=b·10aL(a,b为常数).某型号高铁行驶在无村庄区域的声强为10-5.2 W/m2,声强级为68 dB,驶进市区附近降低速度后的声强为10-6.5 W/m2,声强级为55 dB,若要使该高铁驶入市区时的声强级达到安静环境要求,则声强的最大值为(　　)

A.10-9 W/m2 B.10-8 W/m2

C.10-7 W/m2 D.10-6 W/m2

答案B

解析由题意可知

解得a=0.1,b=10-12,

所以I=10-12×100.1L=100.1L-12,

所以当L取最大值40时,

I取得最大值100.1×40-12=10-8(W/m2),故选B.

11.(多选题)(2021江苏连云港高二期末)已知2000年底,人类知识总量为a,假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番,从2009年底到2019年底是每一年翻一番,2020年(按365天计算)是每73天翻一番,则下列说法正确的是(　　)

A.2006年底人类知识总量是2a

B.2009年底人类知识总量是8a

C.2019年底人类知识总量是213a

D.2020年底人类知识总量是218a

答案BCD

解析2006年底人类知识总量为a×2×2=4a,故A错误;2009年底人类知识总量为a×2×2×2=8a,故B正确;2019年底人类知识总量为8a×210=213a,故C正确;2020年底人类知识总量为213a×25=218a,故D正确.故选BCD.

12.某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态,经抢修后恢复正常.排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位,1 ppm表示百万分之一),经检验知,该地下车库一氧化碳浓度y(单位:ppm)与排气时间t(单位:分钟)之间存在函数关系y=27-mt(m为常数),则m=　　　　;若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常,那么至少需要排气　　　　分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态. 

答案　32

解析∵函数y=27-mt(m为常数)经过点(4,64),

∴64=27-4m,解得m=.故y=.

由,解得t≥32.

故至少排气32分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态.

13.某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测,记录的部分数据如下表:

注:地震强度是指地震时释放的能量.

地震强度x和震级y的模拟函数关系可以选用y=alg x+b(其中a,b为常数).利用散点图可知a的值等于　　　　　.(取lg 2≈0.3进行计算) 

答案

解析由记录的部分数据可知x=1.6×1019时,y=5.0,x=3.2×1019时,y=5.2.

所以

②-①,得0.2=alg,0.2=alg2.

所以a=.

14.如图,是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=at(t≥0,a>0,且a≠1).有以下叙述:

①第4个月时,剩留量会低于;②每月减少的有害物质量都相等;③若剩留量为所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.

其中所有正确的叙述是　　　　　.(填序号) 

答案①③

解析由图象可得,当t=2时,y=,即a2=,

解得a=.故y=.

所以当t=4时,有害物质的剩余量为y=,所以①正确;

第一个月的减少量为1-;

第二个月的减少量为,显然两者不同,所以②错误;

③由已知,所以,即,所以t1+t2=t3,故③正确.

15.(2021福建宁德高一期末)为了给广大市民提供优质的饮用水,某矿泉水厂特别重视生产过程的除杂质工序,过滤前水含有杂质a%(其中a为常数),每经过一次过滤均可使水的杂质含量减少,设水过滤前的量为1,过滤次数为x(x∈N*)时,水的杂质含量为y.

(1)写出y与x的函数关系式;

(2)假设出厂矿泉水的杂质含量不能超过0.002a%,问至少经过几次过滤才能使矿泉水达到要求?(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)

解(1)因为每经过一次过滤均可使水的杂质含量减少,

所以每次过滤后所含的杂质是前一次的,故y=a%×,x∈N*.

(2)设至少经过x次过滤才能使矿泉水达到要求,则a%×≤0.002a%,所以,

所以lgx≤lg,即xlg≤lg,

所以x≥≈5.7,

又x∈N*,所以x≥6.

故至少经过6次过滤才能使矿泉水达到要求.

新情境创新练

16.(2021山东聊城高一期末)测得某水域2020年二月底浮萍覆盖面积为45 m2,四月底浮萍覆盖面积为80 m2,八月底浮萍覆盖面积为115 m2.若浮萍覆盖面积y(单位:m2)与月份x(2020年1月底记x=1,2021年1月底记x=13)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=mlog2x+n(m>0)可供选择.

(1)你认为选择哪个模型更符合实际?并解释理由;

(2)利用你选择的函数模型,试估算从2020年1月初起至少经过多少个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148 m2?(可能用到的数据log215≈3.9,≈1.37,≈66.72)

解(1)若选择数据(2,45)和(4,80),

由解得m=35,n=10,

则y=35log2x+10,

当x=8时,y=35log28+10=115,与实际情况相符;

由解得a=,k=,

则y=×x,

当x=8时,y=×8=>115,与实际情况差别比较大,

故选函数模型y=35log2x+10.

(2)因为35log215+10≈35×3.9+10=146.5,

35log216+10=150,而146.5<148<150,

所以至少经过16个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148m2.