高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制精练

第五章三角函数

5.1　任意角和弧度制

5.1.1　任意角

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.(2021山西太原高一期末)475°角的终边所在的象限是 (　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

答案B

解析因为475°=360°+115°,又因为115°是第二象限角,而475°与115°终边相同,故475°角的终边所在的象限是第二象限.故选B.

2.若θ是第四象限角,则90°+θ是(　　)

A.第一象限角 B.第二象限角

C.第三象限角 D.第四象限角

答案A

解析如图,将θ的终边按逆时针方向旋转90°得90°+θ的终边,则90°+θ是第一象限角.

3.(2021广东潮州高一期末)下列角中终边与340°相同的角是(　　)

A.20° B.-20° C.620° D.-40°

答案B

解析与340°角终边相同的角的集合为{x|x=340°+k·360°,k∈Z},当k=-1时,可得x=-20°.故选B.

4.

如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是(　　)

A.{α|-45°≤α≤120°}

B.{α|120°≤α≤315°}

C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}

D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}

答案C

解析如题图,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}.故选C.

5.已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β=　　　　. 

答案-30°+k·360°,k∈Z

解析在-90°到0°的范围内,-60°角的终边关于直线y=-x对称的射线的对应角为-45°+15°=-30°,所以β=-30°+k·360°,k∈Z.

6.与-2 020°角终边相同的最小正角是　　　　　;最大负角是　　　　　. 

答案140°　-220°

解析因为-2020°=-6×360°+140°,140°-360°=-220°,所以最小正角为140°,最大负角为-220°.

7.

已知角α的终边在图中阴影部分所表示的范围内(不包括边界),写出角α的集合.

解在0°~360°范围内,终边落在阴影部分内的角为30°<α<150°与210°<α<330°,

故所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°+30°<α<k·360°+150°,k∈Z}∪{α|k·360°+210°<α<k·360°+330°,k∈Z}={α|n·180°+30°<α<n·180°+150°,n∈Z}.

等级考提升练

8.(2021北京西城高一期末)下列各角中,与27°角终边相同的是(　　)

A.63° B.153° C.207° D.387°

答案D

解析与27°角终边相同的角的集合为{α|α=27°+k·360°,k∈Z},取k=1,可得α=387°.故与27°角终边相同的是387°.故选D.

9.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置,由OB位置绕端点O旋转到达OC位置,得∠AOC=-150°,则射线OB旋转的方向与角度分别为(　　)

A.逆时针,270° B.顺时针,270°

C.逆时针,30° D.顺时针,30°

答案B

解析由题意可知,∠AOB=120°,设∠BOC=θ,所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°+θ=-150°,解得θ=-270°,故需要射线OB绕端点O顺时针旋转270°.

10.已知集合M=x=±45°,k∈Z,P=,则M,P之间的关系为 (　　)

A.M=P B.M⊆P

C.M⊇P D.M∩P=⌀

答案B

解析对于集合M,x=±45°=k·90°±45°=(2k±1)·45°,k∈Z,对于集合P,x=±90°=k·45°±90°=(k±2)·45°,k∈Z.∴M⊆P.

11.(多选题)(2020海南临高高一期末)已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A,B,C的关系是(　　)

A.B=A∩C B.B∪C=C

C.B∩A=B D.A=B=C

答案BC

解析对A,A∩C除了锐角,还包括其他角,比如-330°角,所以A选项错误.

对B,锐角是小于90°的角,故B选项正确.

对C,锐角是第一象限角,故C选项正确.

对D,A,B,C中角的范围不一样,所以D选项错误.

12.(多选题)已知角2α的终边在x轴的上方,那么角α可能是(　　)

A.第一象限角 B.第二象限角

C.第三象限角 D.第四象限角

答案AC

解析因为角2α的终边在x轴的上方,所以k·360°<2α<k·360°+180°,k∈Z,则有k·180°<α<k·180°+90°,k∈Z.故当k=2n,n∈Z时,n·360°<α<n·360°+90°,n∈Z,α为第一象限角;当k=2n+1,n∈Z时,n·360°+180°<α<n·360°+270°,n∈Z,α为第三象限角.故选AC.

13.终边落在直线y=-x上的角的集合是　　　　　. 

答案{β|β=150°+k·180°,k∈Z}

解析在0°~360°范围内,终边落在直线y=-x上的角有两个,即150°角与330°角(如图),又所有与150°角终边相同的角构成的集合S1={β|β=150°+k·360°,k∈Z},所有与330°角终边相同的角构成的集合S2={β|β=330°+k·360°,k∈Z},于是,终边落在直线y=-x上的角的集合S=S1∪S2={β|β=150°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=330°+k·360°,k∈Z}={β|β=150°+k·180°,k∈Z}.

14.若α与288°角终边相同,则在0°~360°内终边与角终边相同的角是　　　　　. 

答案72°,162°,252°,342°

解析由题意,得α=288°+k·360°(k∈Z),=72°+k·90°(k∈Z).又在0°~360°内,所以k=0,1,2,3,相应地有=72°,162°,252°,342°.

15.已知α=-1 910°.

(1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;

(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.

解(1)设α=β+k·360°(k∈Z),

则β=-1910°-k·360°(k∈Z).

令-1910°-k·360°≥0,

解得k≤-=-5.

k的最大整数解为k=-6,求出相应的β=250°,

于是α=250°-6×360°,它是第三象限角.

(2)令θ=250°+n·360°(n∈Z),

取n=-1,-2就得到符合-720°≤θ<0°的角.

250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.

故θ=-110°或θ=-470°.

新情境创新练

16.已知α,β都是锐角,且α+β的终边与-280°角的终边相同,α-β的终边与670°角的终边相同,求角α,β的大小.

解由题意可知,α+β=-280°+k·360°,k∈Z.

∵α,β都是锐角,∴0°<α+β<180°.

取k=1,得α+β=80°. ①

α-β=670°+k·360°,k∈Z.

∵α,β都是锐角,∴-90°<α-β<90°.

取k=-2,得α-β=-50°. ②

由①②,得α=15°,β=65°.