高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换测试题

二十四　二倍角的正弦、余弦、正切公式

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ等于 (　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选D.因为θ∈，所以2θ∈.

所以cos 2θ＝－＝－，

所以sinθ＝＝.

2．若α∈，且sin2α＋cos2α＝，则tan α的值等于(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选D.因为α∈，且sin2α＋cos2α＝，

所以sin2α＋cos2α－sin2α＝，

所以cos2α＝，所以cosα＝或－(舍去)，

所以α＝，所以tan α＝.

3．4tan 10°＋tan 20°＋2tan 40°－tan 70°的值为(　　)

A．0    B．1    C．－1    D．

【解析】选A.由题得tan 20°－tan 70°＝－

＝－＝－，

所以tan  20°＋2tan  40°－tan 70°

＝－＋＝－

＝－＝－4tan 10°，所以原式＝0.

4．(多选题)已知cos ＝，则sin (2α－π)＝(　　)

A．－    B．－    C．    D．

【解析】选AD.sin ＝－sin

＝－2sin cos .

由cos ＝，得sin ＝±.

所以sin ＝±，即sin ＝

－sin ＝－sin ＝±.

二、填空题(每小题5分，共10分)

5.＝________．

【解析】原式＝

＝

＝＝

＝＝－4.

答案：－4

6．已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R，则f(x)的最小正周期为____；单调递增区间为______．

【解析】f(x)＝sin2x－sin2

＝－

＝－cos 2x＋cos ＝

－cos 2x＋×

＝－cos 2x＋sin 2x

＝＝sin ，

则最小正周期T＝＝π，

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

即函数的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.

答案：π　[kπ－，kπ＋]，k∈Z

三、解答题(每小题10分，共30分)

7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知cos 2A＋6sin2＝4.求角A的度数．

【解析】因为2sin2＝2cos2＝1＋cosA，

所以4＝cos 2A＋6sin2

＝2cos2A－1＋3(1＋cosA)，

化为2cos2A＋3cosA－2＝0，

又|cos A|≤1，解得cos A＝，

因为A∈(0，π)，所以A＝.

8．(2021·张家口检测)已知α，β为锐角，cos β＝，cos (α＋β)＝－.

(1)求cos 2α的值；

(2)求tan (α－β)的值．

【解析】(1)解法一：cos α＝cos [(α＋β)－β]

＝cos (α＋β)cos β＋sin (α＋β)sin β，

α，β为锐角，且cos β＝，cos (α＋β)＝－，

所以sin β＝＝，

sin (α＋β)＝＝；

所以cos α＝×＋×＝，

所以cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－.

解法二：由题意知，β＋(α＋β)＝π，

所以cosα＝cos (π－2β)＝－cos 2β＝－2cos2β＋1

＝－2×＋1＝，

所以cos2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－.

(2)由(1)知，cosβ＝，cos α＝，

所以sin β＝，sin α＝，

所以tan β＝＝2，tan α＝＝，

所以tan (α－β)＝＝＝－.

9．在①函数的最小正周期T为π；②函数图象中相邻的对称中心之间的距离为；③函数的一个增区间为[－π，π]，这三个条件中任选一个，补充在下面条件中，并回答问题：

已知：函数f(x)＝2cos2ωx＋2sinωx cos ωx，且________．求：

(1)ω；

(2)f(x)的最大值与最小值，以及相应的x.

【解析】函数f(x)＝2cos2ωx＋2sinωx cos ωx＝cos 2 ωx＋1＋sin 2 ωx＝sin ＋1，

(1)选择条件①：f(x)的最小正周期为T＝＝π，解得|ω|＝1，

所以ω＝±1；

选择条件②：函数f(x)图象中相邻的对称中心之间的距离为，

所以T＝＝π，解得|ω|＝1，所以ω＝±1；

选择条件③：函数f(x)的一个增区间为[－π，π]，

所以f(x)的最小正周期为T＝＝2×＝π，

解得|ω|＝1，所以ω＝±1.

(2)当ω＝1时，f(x)＝sin ＋1，

令2x＋＝＋2kπ，k∈Z；解得x＝＋kπ，k∈Z；

此时f(x)取得最大值为＋1；

令2x＋＝－＋2kπ，k∈Z；

解得x＝－＋kπ，k∈Z；

此时f(x)取得最小值为－＋1；

当ω＝－1时，f(x)＝sin ＋1

＝－sin ＋1，令2x－＝＋2kπ，k∈Z；

解得x＝＋kπ，k∈Z；此时f(x)取得最小值为

－＋1；令2x－＝－＋2kπ，k∈Z；

解得x＝－＋kπ，k∈Z；

此时f(x)取得最大值为＋1.