高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线第2课时综合训练题

课后素养落实(三十)　抛物线的方程及性质的应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为(　　)

A．抛物线　　　　 B．双曲线

C．椭圆 D．圆

A　[设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r，由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r＋1，所以点C到点(0,3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹是抛物线．]

2．设抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则·的值是(　　)

A． B．－

C．3 D．－3

B　[由y2＝2x得焦点坐标为，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(k≠0)，

由消y得k2x2－(k2＋2)x＋＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1x2＝.

·＝x1x2＋y1y2

＝x1x2＋k2

＝x1x2＋k2

＝＋k2

＝＋(－1)＝－.

当直线AB的斜率不存在时，

易求得A，B.

所以·＝·

＝－1＝－.

综上，·的值是－.]

3．已知抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是(　　)

A． B．(0,0)

C．(1,2) D．(1,4)

A　[法一：设抛物线上点的坐标为(x,4x2)，

其中x∈R，由点到直线的距离公式得

d＝＝.

当x＝时，d最小，这时点的坐标为.

法二：设与y＝4x－5平行的抛物线y＝4x2的切线方程为y＝4x＋m，

由得4x2－4x－m＝0.

再由Δ＝16－4×4·(－m)＝0，

得m＝－1.

这时切点为，切点到y＝4x－5的距离最小．]

4．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)

A．x＝1 B．x＝－1

C．x＝2 D．x＝－2

B　[抛物线的焦点为F，

所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，

即x＝y＋，代入y2＝2px消去x，

得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，

由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，

所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.]

5．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|AF|·|BF|＝16，则p的值为(　　)

A．2 B．4

C．2 D．8

C　[抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，

准线方程为x＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∴直线AB的方程为y＝x－，

代入y2＝2px可得x2－3px＋＝0，

∴x1＋x2＝3p，x1x2＝，

由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，

∴|AF|·|BF|＝

＝x1x2＋(x1＋x2)＋

＝＋p2＋

＝2p2＝16，

解得p＝2.]

二、填空题

6．已知斜率为k的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，线段AB的中点为M(2,1)，则直线l的方程为________．

2x－y－3＝0　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则⇒(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)．

又AB的中点为M(2,1)，

∴y1＋y2＝2，∴k＝＝2，

因此直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，

化简得2x－y－3＝0.]

7．一条光线从抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F射出，经抛物线上一点B反射后，反射光线经过点A(5,4)，若|AB|＋|FB|＝6，则抛物线的标准方程为________．

y2＝4x　[抛物线具有光学性质，即从焦点出发的光经抛物线上一点反射后，反射光线沿平行于抛物线对称轴的方向射出，∵|AB|＋|FB|＝6，∴5＋＝6，∴p＝2，∴抛物线的标准方程为y2＝4x.]

8．已知抛物线C：y2＝2x，直线l的斜率为k，过定点M(x0,0)，直线l交抛物线C于A，B两点，且A，B位于x轴两侧，·＝3(O为坐标原点)，则x0＝________.

3　[设直线l的方程为y＝k(x－x0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，与抛物线方程联立可得消y并整理可得，k2x2－(2k2x0＋2)x＋k2x＝0，

由根与系数的关系可得，x1x2＝x，则y1y2＝－＝－2x0，

∵·＝3，∴x1x2＋y1y2＝3，即x－2x0＝3，

解得x0＝3.]

三、解答题

9．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．求曲线C1的方程．

[解]　法一：设点M的坐标为(x，y)，由已知得|x＋2|＝－3.

易知圆C2上的点位于直线x＝－2的右侧，于是x＋2>0，所以＝x＋5.

化简得曲线C1的方程为y2＝20x.

法二：由题设知，条件“对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值”等价于“曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x＝－5的距离”．所以，曲线C1是以点(5,0)为焦点，直线x＝－5为准线的抛物线，所以曲线C1的方程为y2＝20x.

10．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点，O是坐标原点．

(1)求证：OA⊥OB；

(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．

[解]　(1)证明：当k＝0时，直线与抛物线仅一个交点，不合题意，∴k≠0.

由y＝k(x＋1)，得x＝－1，代入y2＝－x，整理得，y2＋y－1＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y1＋y2＝－，y1y2＝－1.

∵点A，B在抛物线y2＝－x上，

∴A(－y，y1)，B(－y，y2)，

∴kOA·kOB＝·＝＝－1，

∴OA⊥OB．

(2)设直线AB与x轴交于点E(图略)，则E(－1,0)，

∴|OE|＝1，

∴S△OAB＝|OE|(|y1|＋|y2|)＝|OE|·|y1－y2|＝＝，解得k＝±.

1．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)

A．　　　B．　　　C．　　　D．

D　[由题意可知，直线AB的方程为

y＝，

代入抛物线的方程可得4y2－12y－9＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y1＋y2＝3，y1y2＝－，

故所求三角形的面积为××

＝.]

2．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝2，则|QF|＝(　　)

A．8 B．4 

C．6 D．3

D　[设点P(－1，t)，Q(x，y)，易知点F(1,0)，则＝(－2，t)，＝(1－x，－y)，所以2(1－x)＝－2，解得x＝2，因此|QF|＝x＋1＝3.故选D．]

3．若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为________．

　[设点M，

∵|MO|＝，∴＋(y－0)2＝3，

∴y2＝2或y2＝－6(舍去)，∴x＝＝1.

∴M到抛物线y2＝2x的准线x＝－的距离d＝1－＝.

∵点M到抛物线焦点的距离等于点M到抛物线y2＝2x的准线的距离，

∴点M到该抛物线焦点的距离为.]

4．已知O为坐标原点，点P(1,2)在抛物线C：y2＝4x上，过点P作两直线分别交抛物线C于点A，B，若kPA＋kPB＝0，则kAB·kOP的值为________．

－2　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则kAB＝＝＝，

kPA＝＝＝，

同理kPB＝.

∵kPA＋kPB＝0，∴＋＝0，得y1＋y2＝－4，

∴kAB＝＝－1.

又kOP＝＝2，

∴kAB·kOP＝－1×2＝－2.]

如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.

(1)求抛物线E的方程；

(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．

[解]　(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋.

由已知|AF|＝3，得2＋＝3，解得p＝2.

所以抛物线E的方程为y2＝4x.

(2)法一：因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)．

由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．

由得2x2－5x＋2＝0，

解得x＝2或x＝，从而B.

又G(－1,0)，

所以kGA＝＝，kGB＝＝－，

所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，

故以F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．

法二：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.

因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)．

由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．

由

得2x2－5x＋2＝0，

解得x＝2或x＝，

从而B.

又G(－1,0)，故直线GA的方程为2x－3y＋2＝0，

从而r＝＝.

又直线GB的方程为2x＋3y＋2＝0，

所以点F到直线GB的距离d＝＝＝r.

这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．