高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算当堂检测题

7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义

课后·训练提升

基础巩固

1.已知复数z1=2-i,z2=-2i,则z1+z2等于(　　)

A.0 B.i C.i D.i

解析z1+z2=i=i.

答案C

2.设z1=2+bi,z2=a+i,其中a,b∈R,当z1+z2=0时,复数a+bi为(　　)

A.1+i B.2+i C.3 D.-2-i

解析由题意,可知z1+z2=2+a+(b+1)i=0,

则解得故a+bi=-2-i.

答案D

3.若|z1|=5,z2=3+4i,且z1+z2∈R,则复数z1是(　　)

A.3+4i B.3-4i

C.3+4i或3-4i D.3-4i或-3-4i

解析∵z1+z2∈R,∴设z1=a-4i(a∈R).

又|z1|=5,∴a2+16=25,解得a=±3.

∴z1=3-4i或z1=-3-4i.

答案D

4.已知复平面内点A,B,C对应的复数分别为i,1,4+2i,作▱ABCD,则||等于(　　)

A.5 B. C. D.

解析由题意,可知向量对应的复数分别为i,1,4+2i.

∵,∴对应的复数为i-1,对应的复数为4+2i-1=3+2i,又,∴对应的复数为(i-1)+(3+2i)=2+3i.

∴||=|2+3i|=.

答案B

5.已知复数z1=1+icos θ,z2=sin θ-i,θ∈R,则|z1-z2|的最大值为(　　)

A.3-2 B.-1 C.3+2 D.+1

解析|z1-z2|=|(1+icosθ)-(sinθ-i)|

=

=

=+1.

答案D

6.若复数z2=3+4i,z1-z2=5-2i,则z1=　　　,z1+z2=　　　　　. 

答案8+2i　11+6i

7.若|z-2|=|z+2|,则|z-1|的最小值是　　　. 

解析由|z-2|=|z+2|,知在复平面内z对应的点到点(2,0)与(-2,0)的距离相等,故z对应的点的集合为虚轴.|z-1|表示z对应的点与点(1,0)的距离,故|z-1|min=1.

答案1

8.如果一个复数与它的模的和为5+i,那么这个复数为　　　　　　　. 

解析设这个复数为x+yi(x,y∈R),则x+yi+=5+i,所以解得

故这个复数为i.

答案i

9.计算:(1)(3-5i)+(-4-i)-(3+4i);

(2)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i).

解(1)(3-5i)+(-4-i)-(3+4i)

=(3-4-3)+(-5-1-4)i=-4-10i.

(2)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i)

=(5-9+3)+(-7+8-2)i=-1-i.

10.已知四边形ABCD是复平面内的平行四边形,且A,B,C三点对应的复数分别为1+3i,-i,2+i,求点D对应的复数.

解设点D对应的复数为x+yi(x,y∈R),

则对应的复数为(x+yi)-(1+3i)

=(x-1)+(y-3)i,

对应的复数为(2+i)-(-i)=2+2i.

∵,∴(x-1)+(y-3)i=2+2i.

∴解得

故点D对应的复数为3+5i.

能力提升

1.若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),且在复平面内z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为(　　)

A.3 B.2 C.1 D.-1

解析z1+z2=(2+i)+(3+ai)=5+(1+a)i.

∵在复平面内z1+z2所对应的点在实轴上,

∴1+a=0,∴a=-1.

答案D

2.在复平面内的平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量对应的复数分别是3+i,-1+3i,则对应的复数是(　　)

A.2+4i B.-2+4i C.-4+2i D.4-2i

解析依题意有,故对应的复数是(3+i)-(-1+3i)=4-2i.

答案D

3.已知复平面内的△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则复数z对应的点是△ABC的(　　)

A.外心 B.内心

C.重心 D.垂心

解析∵|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,∴复数z的对应点P到△ABC的三个顶点的距离相等,∴P为△ABC的外心.

答案A

4.如果复数z满足|z+2i|+|z-2i|=4,那么|z+i+1|的最小值为(　　)

A.1 B. C.2 D.

解析设复数-2i,2i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3.因为|z+2i|+|z-2i|=4,Z1Z2=4,所以复数z在复平面内对应的点Z的集合为线段Z1Z2.|z+i+1|的几何意义为点Z与Z3之间的距离,如图所示.

作Z3Z0⊥Z1Z2于点Z0,则当点Z与Z0重合时,点Z与Z3之间的距离最短,即|ZZ3|min=1,故|z+i+1|的最小值为1.故选A.

答案A

5.若复数z满足|z|=1,则|z-i|的最大值为　　　. 

解析∵|z|=1,∴z在复平面内对应的点Z的集合为以原点O为圆心,1为半径的圆.又|z-i|表示点Z与点(0,1)之间的距离,

∴|z-i|max=2.

答案2

6.已知复数z=x+yi(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为　　　. 

解析∵|z-4i|=|z+2|,即|x+yi-4i|=|x+yi+2|,

∴x2+(y-4)2=(x+2)2+y2.∴x+2y=3.

∴2x+4y=2x+22y≥2=2=4,

当且仅当2x=22y,即x=,y=时,等号成立.

答案4

7.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R),z=z1-z2=13-2i,求z1,z2.

解z=z1-z2

=(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i]

=[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+3y)]i

=(5x-3y)+(x+4y)i.

因为z=13-2i,所以解得

所以z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,

z2=[4×(-1)-2×2]-[5×2+3×(-1)]i

=-8-7i.

8.在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.

(1)求向量对应的复数;

(2)求△ABC的面积.

解(1)由题意,可知对应的复数为2+i-1=1+i,

对应的复数为-1+2i-1=-2+2i,

对应的复数为-1+2i-(2+i)=-3+i.

(2)由(1)知||=|1+i|=,||=|-2+2i|=2,||=|-3+i|=.

∵||2+||2=||2,

∴∠BAC=90°,∴S△ABC=|·||=2.