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    高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线第2课时当堂达标检测题

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线第2课时当堂达标检测题,共9页。试卷主要包含了双曲线C,若双曲线C,已知双曲线C等内容,欢迎下载使用。

    二十五 双曲线方程及性质的应用

                  (15分钟 30)

    1.已知m1m≠0,则二次曲线11必有(  )

    A.不同的顶点       B.不同的焦距

    C.相同的离心率       D.相同的焦点

    【解析】D.m0,则1m>-m0,则二次曲线1表示焦点在x轴上的椭圆,此时c2a2b21m(m)1,故焦点坐标为(±10)

    因此与椭圆1具有相同的焦点.

    0<m<11表示焦点在x轴上的双曲线c21mm1故焦点坐标为(10)(10)也与1有相同焦点.

    2.已知双曲线E的中心在原点,F(30)E的焦点,过F的直线lE相交于AB两点,且AB中点为N(12,-15),则E的方程为(  )

    A1        B1

    C1        D1

    【解析】B.由已知条件易得直线l的斜率k1

    设双曲线E的方程为1(a>0b>0)

    A(x1y1)B(x2y2)1①

    1②

    x1x2=-24y1y2=-30

    ①②从而1

    又因为a2b2c29

    a24b25所以E的方程为1.

    3.设F是双曲线1(a0b0)的右焦点,过点F作斜率为3的直线l与双曲线左、右支均相交,则双曲线离心率的取值范围为(  )

    A(1)        B(1)

    C(,+∞)       D(,+∞)

    【解析】C.双曲线1(a0b0)的渐近线方程为y±x

    由斜率为3的直线l过双曲线的右焦点

    且与双曲线左、右支各有一个交点

    3b29a2c210a2可得e.

    4(2019·全国)双曲线C1的右焦点为F,点PC的一条渐近线上,O为坐标原点,若|PO||PF|,则△PFO的面积为(  )

    A    B    C2    D3

    【解析】A.由双曲线的方程1可得一条渐近线方程为yx

    △PFO|PO||PF|过点PPH⊥OF.

    因为tan ∠POFOFOHOF

    所以PH

    所以S△PFO××.

    5(2020·天津高二检测)已知双曲线1的两条渐近线分别为直线l1l2,经过右焦点F且垂直于l1的直线l分别交l1l2AB两点,且2,求该双曲线的离心率.

    【解析】双曲线的渐近线的方程为y±x.

    不妨设直线l的方程为y=-

    可得所以A.

    可得

    所以B

    因为2

    整理得到c22a22b23c24a2e.

                  (30分钟 60)

    一、单选题(每小题5分,共20)

    1(2020·池州高二检测)与椭圆C1共焦点且过点的双曲线的标准方程为(  )

    Ax21        By22x21

    C1        Dx21

    【解析】C.设双曲线的方程为1(a>0b>0)

    根据题意得

    解得a2b22

    所以该双曲线的标准方程为1.

    2(2020·长沙高二检测)设点MN均在双曲线C1上运动,F1F2是双曲线C的左、右焦点,则的最小值为(  )

    A2       B4

    C2       D.以上都不对

    【解析】B.由题意,设OF1F2的中点,

    根据向量的运算可得2

    又由N为双曲线C1上的动点可得a

    所以

    22a4

    的最小值为4.

    3(2020·沈阳高二检测)若圆x2(y)2r2与双曲线1没有公共点,则半径r的取值范围是(  )

    A0<r<       B0<r<

    C0<r<       D0<r<

    【解析】C.若圆x22r2与双曲线1没有公共点,则半径r小于双曲线上的点到圆心距离的最小值,设双曲线上任意点P,圆心A

    y的最小值为

    所以半径r的取值范围是0<r<.

    4(2020·全国)F1F2是双曲线Cx21的两个焦点,O为坐标原点,点PC上且|OP|2,则△PF1F2的面积为(  )

    A    B3    C    D2

    【解析】B.由已知,不妨设F1(20)F2(20)

    a1c2因为|OP|2|F1F2|

    所以点P在以F1F2为直径的圆上

    △F1F2P是以P为直角顶点的直角三角形

    |PF1|2|PF2|2|F1F2|2

    |PF1|2|PF2|216||PF1||PF2||2a2

    所以4||PF1||PF2||2|PF1|2|PF2|2

    2|PF1||PF2|162|PF1||PF2|

    解得|PF1||PF2|6

    所以S△F1F2P|PF1||PF2|3.

    二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0)

    5(2020·泰安高二检测)已知双曲线C过点且渐近线为y±x,则下列结论正确的是(  )

    AC的方程为y21

    BC的离心率为

    C.曲线yex21经过C的一个焦点

    D.直线xy10C有两个公共点

    【解析】AC.对于选项A:由已知y±x,可得y2x2,从而设所求双曲线方程为x2y2λ

    又由双曲线C过点从而×32()2λλ1从而选项A正确;

    对于选项B:由双曲线方程可知ab1c2从而离心率为e所以B选项错误;

    对于选项C:双曲线的右焦点坐标为满足yex21从而选项C正确;

    对于选项D:联立

    整理y22y20Δ(2)24×20知直线与双曲线C只有一个交点选项D错误.

    6(2020·济南高二检测)若双曲线C1(a>0b>0)的实轴长为6,焦距为10,右焦点为F,则下列结论正确的是(  )

    AC的渐近线上的点到F距离的最小值为4

    BC的离心率为

    CC上的点到F距离的最小值为2

    D.过F的最短的弦长为

    【解析】AC.由题意知,2a62c10,即a3c5,因为b2c2a2,所以b225916,解得b4

    所以右焦点为F双曲线C的渐近线方程为y±x

    对于选项A:由点F向双曲线C的渐近线作垂线时垂线段的长度即为C的渐近线上的点到F距离的最小值由点到直线的距离公式可得d4故选项A正确;

    对于选项B:因为a3c5所以双曲线C的离心率为e故选项B错误;

    对于选项C:当双曲线C上的点为其右顶点此时双曲线C上的点到F的距离最小为2故选项C正确;

    对于选项D:过点F且斜率为零的直线与双曲线的交点为AB此时过点F的最短弦为AB6故选项D错误.

    三、填空题(每小题5分,共10)

    7.如果双曲线1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点,则双曲线离心率的取值范围是__________.

    【解析】如图,

    因为OAAFF(c0)所以xA

    因为A在右支上且不在顶点处

    所以>a所以e>2.

    答案:(2,+∞)

    8.已知双曲线C的方程为1(a0),过原点O的直线l与双曲线C相交于AB两点,点F为双曲线C的左焦点,且AF⊥BF,则△ABF的面积为__________

    【解析】双曲线C的方程为1(a0),过原点O的直线l与双曲线C相交于AB两点,

    F为双曲线C的左焦点AF⊥BF

    AFmBFn可得mn2am2n24c2

    可得:m2n22mn4a2可得:mnc2a2b29.

    答案:9

    四、解答题(每小题10分,共20分)

    9.已知双曲线C1(a>0b>0)的离心率为,虚轴长为4.

    (1)求双曲线的标准方程.

    (2)过点(01),倾斜角为45°的直线l与双曲线C相交于AB两点,O为坐标原点,求△OAB的面积.

    【解析】(1)依题意可得

    解得a1b2c

    所以双曲线的标准方程为x21.

    (2)直线l的方程为yx1

    联立

    消去y3x22x50A(x1y1)B(x2y2)

    由根与系数的关系可得x1x2x1x2=-

    |AB||x1x2|

    ×

    原点到直线l的距离为d

    所以S△OAB·|AB|·d××.

    所以△OAB的面积为.

    10.已知双曲线C1.

    (1)求与双曲线C有共同的渐近线,且实轴长为6的双曲线的标准方程.

    (2)P为双曲线C右支上一动点,点A的坐标是(40),求|PA|的最小值.

    【解析】(1)由题可设所求双曲线的方程为λ(λ≠0)

    λ0方程为1

    λ即双曲线方程为1

    λ0方程为1

    令-λ=-3

    即双曲线方程为1

    所以双曲线的标准方程为11.

    (2)P(x0y0)(x02)满足1

    |PA|.

    则当x0|PA|有最小值.

    【创新迁移】

    1已知双曲线1(a>0b>0)的左、右焦点分别为F1F2P在双曲线的右支上|PF1|4|PF2|则双曲线的离心率e的最大值为__________.

    【解析】由双曲线定义知|PF1||PF2|2a,又已知

    |PF1|4|PF2|所以|PF1|a|PF2|a

    △PF1F2由余弦定理得

    cos ∠F1PF2e2要求e的最大值即求cos ∠F1PF2的最小值

    因为cos ∠F1PF21

    所以cos ∠F1PF2e21

    解得ee的最大值为.

    答案:

    2.已知椭圆C1的方程为y21,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点,O为坐标原点.

    (1)求双曲线C2的方程.

    (2)若直线lykx与双曲线C2恒有两个不同的交点AB,且·2,求k的取值范围.

    【解析】(1)设双曲线C2的方程为1(a0b0),则a2413c24

    再由a2b2c2b21

    故双曲线C2的方程为y21.

    (2)ykx代入y21

    (13k2)x26kx90.

    由直线l与双曲线C2交于不同的两点

    所以k21k2.①

    A(x1y1)B(x2y2)

    x1x2x1x2.

    所以x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)

    (k21)x1x2k(x1x2)2.

    又因为·2x1x2y1y22

    所以20

    解得k23.②

    ①②k21

    k的取值范围为.

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