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    高中数学课时素养评价二十一第三章圆锥曲线的方程3.1.2第1课时椭圆的简单几何性质含解析新人教A版选择性必修第一册练习题
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    高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆第1课时精练

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆第1课时精练,共8页。试卷主要包含了已知椭圆C,设F1,F2是椭圆E,已知F是椭圆C,椭圆C,设椭圆C等内容,欢迎下载使用。

    二十一 椭圆的简单几何性质

    (15分钟 30)

    1.已知椭圆C16x24y21,则下列结论正确的是(  )

    A.长轴长为       B.焦距为

     C.短轴长为      D.离心率为

    【解析】D.椭圆C16x24y21

    化为标准形式为1

    可得ab

    c

    可得离心率为e.

    2.若焦点在x轴上的椭圆1的离心率为,则m等于(  )

    A      B      C      D

    【解析】B.因为a22b2me,所以m.

    3.设F1F2是椭圆E1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为(  )

    A      B      C      D

    【解析】C.如图,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形|PF2||F2F1|22ce.

    【补偿训练】

     某月球探测器的运行轨道是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道,其近月点与月球表面距离为100 km,远月点与月球表面距离为400 km.已知月球的直径约为3 476 km,则该椭圆形轨道的离心率约为(  )

    A      B      C      D

    【解析】B.如图(示意图)

    F为月球的球心月球半径约为×3 4761 738(km).

    依题意得|AF|1001 7381 838|BF|

    4001 7382 138.

    所以2a1 8382 1383 976解得a1 988.

    ac2 138c2 1381 988150

    所以椭圆的离心率e.

    4(2020·盘锦高二检测)已知F是椭圆C1(a>b>0)的右焦点,点P在椭圆C上,线段PF与圆(x)2y2(其中c为椭圆的半焦距)相切于点Q,且2,则椭圆C的离心率等于(  )

    A      B      C      D

    【解析】A.如图所示,设椭圆的左焦点为F1,连接PF1

    设圆心为C则圆心坐标为半径为r

    所以|F1F|3|FC|因为PQ2QF

    所以PF1∥QC|PF1|b

    所以|PF|2ab因为线段PF与圆相切于点Q

    所以CQ⊥PF所以PF1⊥PF

    所以b2(2ab)24c2

    所以b2(2ab)24

    所以ab

    所以e.

    5.椭圆Cy21的左右焦点分别为F1F2,点M为其上的动点,当∠F1MF2为钝角时,求点M的纵坐标的取值范围.

    【解析】M(xy),焦点F1(0)F2(0).

    因为∠F1MF2为钝角

    所以cos ∠F1MF2<0

    |MF1|2|MF2|2<|F1F2|2(x)2y2(x)2y2<12.

    整理得x2y2<3.因为点M在椭圆y21x244y2代入x2y23解得y>y<.

    又因为-1y1所以点M的纵坐标y的取值范围为.

    (30分钟 60)

    一、单选题(每小题5分,共20)

    1(2020·嘉兴高二检测)已知椭圆y21(a>1)的离心率为,则其焦距为

     (  )

    A      B2      C      D2

    【解析】B.根据题意得e,解得a24,因此c

    所以焦距为2.

    2.方程1(a>b>0k>0k≠1)与方程1表示的椭圆,那么它们(  )

    A.有相同的离心率        B.有共同的焦点

    C.有等长的短轴、长轴       D.有相同的顶点

    【解析】A.对于椭圆1(a>b>0k>0k≠1)a′ab′bc′,则椭圆1的离心率为e′,焦点坐标为

    0)短轴长为2b长轴长为2a顶点坐标为;对于椭圆1离心率为e焦点坐标为短轴长为2b长轴长为2a顶点坐标为.因此两椭圆有相同的离心率.

    3.已知椭圆C1的右顶点是圆x2y24x30的圆心,其离心率为,则椭圆C的方程为(  )

    Ay21       By21

    Cy21       D1

    【解析】A.由圆的方程知圆心为

    所以a2又椭圆的离心率为e

    所以cb1

    所以椭圆C的方程为y21.

    4(2020·盘锦高二检测)若点O和点F分别为椭圆y21的中心和右焦点,P为椭圆上任意一点,则·的最小值为(  )

    A      B      C      D

    【解析】C.设点P的坐标为,则y21,且有-≤x≤F·x2xy2x2x1x2x2x12因为-x所以当x1·取得最小值.

    二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0)

    5(2020·南京高二检测)在平面直角坐标系xOy中,椭圆1上存在点P,使得PF13PF2,其中F1F2分别为椭圆的左、右焦点,则该椭圆的离心率可能为(  )

    A      B      C36      D

    【解析】BD.设椭圆的焦距为2c,由椭圆的定义可得,解得PF1PF2,由题意可得,解得,又0<<1

    所以<1所以该椭圆离心率的取值范围是.

    6(2020·济南高二检测)人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时,其运行速度是变化的,速度的变化服从面积守恒规律,即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a2c,下列结论正确的是(  )

    A.卫星向径的取值范围是

    B.卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间

    C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大,椭圆轨道越扁

    D.卫星运行速度在近地点时最大,在远地点时最小

    【解析】ABD.根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是A正确;当卫星在左半椭圆弧运行时,对应的面积更大,根据面积守恒规律,速度更慢,B正确;1,当比值越大,则e越小,椭圆轨道越圆,C错误;根据面积守恒规律,卫星在近地点时向径最小,故速度最大,在远地点时向径最大,故速度最小,D正确.

    三、填空题(每小题5分,共10)

    7.在平面直角坐标系中,椭圆1(a>b>0)的焦距为2c,以O为圆心,a为半径作圆,过点作圆的两切线互相垂直,则离心率e________.

    【解析】如图,切线PAPB互相垂直,半径OA垂直于PA

    所以△OAP是等腰直角三角形a

    解得e.

    答案:

    8.设椭圆C1(ab0)的左、右焦点分别为F1F2,上顶点为A.x轴负半轴上有一点B,满足,且,则椭圆的离心率为______

    【解析】由题意,根据,可知点B的坐标为(3c0)

    因为A(0b)F2(c0)

    所以(3cb)(cb)

    所以·=-3c2b2=-3c2a2c2a24c20解得e.

    答案:

    四、解答题(每小题10分,共20)

    9.已知F1F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF260°.

    (1)求椭圆离心率的范围.

    (2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.

    【解析】(1)设椭圆方程为1(a>b>0)

    |PF1|m|PF2|nmn2a.

    △PF1F2由余弦定理可知

    4c2m2n22mn cos 60°(mn)23mn

    4a23mn4a2

    4a23a2a2(当且仅当mn时取等号).

    所以e.0<e<1

    所以e的取值范围是.

    (2)(1)mnb2

    所以S△PF1F2mn sin 60°b2

    △PF1F2的面积只与短轴长有关.

    10.已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F(20),且长轴长与短轴长的比是2∶.

    (1)求椭圆C的方程.

    (2)设点M(m0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点.当最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围.

    【解析】(1)由题意知解得

    所以椭圆C的方程为1.

    (2)P(x0y0)1

    所以2(x0m)2yx2mx0m2

    12x2mx0m212(x04m)23m212.

    所以2为关于x0的二次函数开口向上对称轴为4m.由题意知x042最小

    所以4m4所以m1.

    又点M(m0)在椭圆长轴上所以1m4.

    【创新迁移】

    1.已知椭圆1(a>b>0)的离心率e,右焦点为F(c0),方程ax2bxc0的两个实根x1x2,则点P(x1x2)(  )

    A.必在圆x2y22      B.必在圆x2y22

    C.必在圆x2y22      D.以上三种情况都有可能

    【解析】A.因为x1x2是方程ax2bxc0的两个实根,

    所以x1x2=-x1·x2=-=-.

    所以xx(x1x2)22x1x21

    因为a>b所以<1所以1<2

    故点P(x1x2)在圆x2y22内.

    2.已知定点A(a0),其中0a3,它到椭圆1上的点的距离的最小值为1,求a的值.

    【解析】设椭圆上任一点为P(xy)(3≤x≤3)

    |PA|2(xa)2y2(xa)2(364x2)

    4a2

    0a0a3.

    所以当xa(|PA|2)min4a21

    解得a()

    a33a

    当且仅当x3(|PA|2)mina26a91

    解得a2a4()

    综上可得a2.

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