北师大版必修23.1空间直角坐标系的建立同步达标检测题

第二章　§3

一、选择题

1．有下列叙述：

①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c)；

②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)；

③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0,0，c)；

④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)．

其中正确的个数是(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

[答案]　C

[解析]　②③④正确．

2．△ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC边上中线的长是(　　)

A．2 B．

C．3 D．2

[答案]　B

[解析]　由题意可知A(0,0,1)，B(4,0,0)，C(0,2,0)，所以BC边的中点坐标为D(2,1,0)，所以BC边的中线长|AD|＝

＝.

3．已知点A(－1,2,7)，则点A关于x轴对称的点的坐标为(　　)

A．(－1，－2，－7) B．(－1，－2,7)

C．(1，－2，－7) D．(1,2，－7)

[答案]　A

[解析]　在空间中，若点关于x轴对称，则x坐标不变，其余均变为相反数．由于点A(－1,2,7)关于x轴对称，因此对称点A′(－1，－2，－7)．

4．点A(1,2,3)关于xOy平面的对称点为A1，点A关于xOz平面的对称点为A2，则d(A1，A2)＝(　　)

A．2 B．

C．6 D．4

[答案]　A

[解析]　A(1,2,3)关于xOy的平面的对称点为A1(1,2，－3)，点A关于xOz平面的对称点为A2(1，－2,3)，

∴d(A1，A2)＝

＝＝2.

5．如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，点P在BD′上，BP＝BD′，则P点坐标为(　　)

A. B.

C. D.

[答案]　D

[解析]　连BD′，点P在坐标平面xOy上的射影在BD上，

∵BP＝BD′，所以Px＝Py＝，Pz＝，

∴P.

6．已知三点A，B，C的坐标分别为A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，λ)，若AB⊥AC，则λ等于(　　)

A．28 B．－28

C．14 D．－14

[答案]　D

[解析]　∵AB⊥AC，∴△ABC为直角三角形，

∠A＝90°.∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.

而|BC|2＝λ2－2λ＋146，|AB|2＝44，|AC|2＝(3－λ)2＋37，解得λ＝－14.

二、填空题

7．以棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则面AA1B1B对角线交点的坐标为________．

[答案]　

[解析]　如图所示，A(0,0,0)，B1(1,0,1)．

面AA1B1B对角线交点是线段AB1的中点，由中点坐标公式得所求点的坐标为(，0，)．

8．在空间直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别是A(0,3,4)，B(3，－1,4)，C(，，4)，则△ABC是________三角形．

[答案]　直角

[解析]　∵|AB|＝＝5，

|AC|＝＝，

|BC|＝

＝，

而|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，

∴△ABC是直角三角形．

三、解答题

9．正三棱柱ABC－A1B1C1底面边长为2，高为，D为A1B1的中点，建立适当的坐标系，写出A、B、C、D、C1、B1的坐标，并求出CD的长．

[解析]　取AC的中点为坐标原点，射线OA、OB分别为x轴、y轴，过点O作垂直于底面ABC的垂线为z轴，如图所示，建立空间直角坐标系，由题意知

A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1,0,0)，D(，，)，C1(－1,0，)，B1(0，，)．

∴|CD|＝＝.

10．坐标平面yOz上一点P满足：

(1)三坐标之和为2；

(2)到点A(3,2,5)，B(3,5,2)的距离相等，求P点的坐标．

[解析]　设P(0，y，z)，则

解得所以P点的坐标为(0,1,1).

一、选择题

1．已知A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)则|AB|的最小值为(　　)

A. B．

C. D．

[答案]　C

[解析]　|AB|＝＝＝≥＝.

2．已知ABCD为平行四边形，且A(－3,1,5)，B(1，－2,4)，C(0,3,7)，则点D的坐标为(　　)

A．(－4,2,1) B．(－4,6,8)

C．(2,3,1) D．(5,13，－3)

[答案]　B

[解析]　设D(x，y，z)，由ABCD为平行四边形知，AC与BD互相平分，即AC与BD的中点重合，所以解之得故选B.

二、填空题

3．有一个棱长为1的正方体，对称中心在原点且每一个面都平行于坐标平面，给出以下各点：A(1,0,1)，B(－1,0,1)，C(，，)，D(，，)，E(，－，0)，F(1，，)，则位于正方体之外的点是________．

[答案]　A、B、F

[解析]　由题意知，位于正方体内的点的三坐标的绝对值均小于或等于.

4．已知点P在z轴上，且满足|PO|＝1(O为坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离是__________．

[答案]　或

[解析]　由题意P(0,0,1)或P(0,0，－1)，

所以|PA|＝或.

三、解答题

5．如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，P、Q分别是D′B，B′C的中点，求PQ的长．

[解析]　建立如图所示空间直角坐标系

∴B(a，a,0)，C(0，a,0)，B′(a，a，a)，D′(0,0，a)，

∴P(，，)，Q(，a，)．

∴|PQ|＝

＝.

6．正方形ABCD和ABEF的边长都是1，而且平面ABCD

与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0<a<)，

(1)求MN的长；

(2)求a为何值时，MN的长最小．

[解析]　(1)∵面ABCD⊥面ABEF，而ABCD∩ABEF＝AB，AB⊥BE，

∴BE⊥面ABC.∴AB、BC、BE两两垂直．

∴以B为原点，以BA、BE、BC所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示空间直角坐标系．

则M(a,0,1－a)，N(a，a,0)．

|MN|＝

＝＝.

(2)则当a＝时，|MN|最短为，

此时，M、N恰为AC、BF的中点．

7．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)，试问：

(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|?

(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标．

[解析]　(1)假设在y轴上存在点M满足|MA|＝|MB|，设M(0，y,0)，则有

＝，

由于此式对任意y∈R恒成立，

即y轴上所有点均满足条件|MA|＝|MB|.

(2)假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．

由(1)可知，y轴上任一点都满足|MA|＝|MB|，

所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．

∵|MA|＝

＝，

|AB|＝＝，

∴＝，

解得y＝或y＝－.

故y轴上存在点M使△MAB为等边三角形，

点M的坐标为(0，，0)或(0，－，0)．