初中人教版第十二章 全等三角形综合与测试课后测评

第12章《全等三角形》全章检测题八年级上册--2021-2022学年人教版数学

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1．下列说法正确的是（    ）

A．两个长方形是全等图形 B．形状相同的两个三角形全等

C．两个全等图形面积一定相等 D．所有的等边三角形都是全等三角形

2．下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（    ）

A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④

3．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是(   )

A．AB=3， BC=4， AC=8

B．AB=4，BC=3，∠A=30°

C．∠A=60°，∠B=45°，AB=4

D．∠C=90°，AB=6

4．如图，一艘快艇从O沿正北方向航行，到A处时接到指令向左转60°航行到B处，再向左转70度继续航行，此时的航行方向为（　　）

A．北偏东40° B．北偏东50° C．南偏西40° D．南偏西50°

5．如图，中，，平分，交于点，，，则的长为（    ）

A．4 B．8 C．3 D．6

6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为(　　)

A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm

7．如图，在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示，这时的实际时间应该是（  ）

A．8：15 B．21：02 C．15：20 D．21：05

8．如图， BD 是△ABC 的角平分线， AE⊥ BD  ，垂足为 F ，若∠ABC＝35°，∠ C＝50°，则∠CDE 的度数为（      ）

A．35° B．40° C．45° D．50°

9．如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是(   )

A．0.5 B．1 C．1.5 D．2

10．如图，，交于点O，有下列三个结论：①，②，③．则一定成立的有（    ）．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

二、填空题

11．如图，△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别在边AC，AB，BC上，且满足AD＝BE，AE＝BF，∠DEF＝40°，则∠C的度数是 ___．

12．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC＝_____度．

13．如图，BC = EC，∠1 =∠2，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为_____________（答案不惟一，只需填一个）

14．如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，＝_____°．

15．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB＝8 cm，AC＝6 cm，S△ABD∶S△ACD＝________．

16．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝80，点E和点F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，点E和点F运动速度之比为2：3，运动到某时刻点E和点F同时停止运动，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为________．

17．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；  ②∠BCE+∠BCD=180°； ③AF2=EC2﹣EF2； ④BA+BC=2BF．其中正确的是_____．

三、解答题

18．如图，已知点，，，在一条直线上，，，．求证：．

19．如图，AB∥CD，AB＝CD，点E，F在BC上，且BE＝CF．

求证：（1）AF＝DE；

（2）AF∥DE．

20．如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．

（1）△ABE与△CDF是否全等，并说明理由；

（2）连接BC，若∠CFD＝100°，∠BCE＝30°，求∠CBE的度数．

21．如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，∠D=∠E，∠BAD=∠CAE．

（1）写出一对全等的三角形：△　   　≌△　   　；

（2）证明（1）中的结论；

（3）求证：点G为BC的中点．

22．如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB＝AC，AD＝AE．

（1）求证△ADB≌△AEC；

（2）DB⊥EC．

参考答案

1．C

【分析】

性质、大小完全相同的两个图形是全等形，根据定义解答．

【详解】

A、两个长方形的长或宽不一定相等，故不是全等图形；

B、由于大小不一定相同，故形状相同的两个三角形不一定全等；

C、两个全等图形面积一定相等，故正确；

D、所有的等边三角形大小不一定相同，故不一定是全等三角形；

故选：C．

【点睛】

此题考查全等图形的概念及性质，熟记概念是解题的关键．

2．B

【分析】

根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．

【详解】

解：①和③可以完全重合，因此全等的图形是①和③．

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．

3．C

【详解】

由一定的已知条件画三角形，要使画出的三角形是唯一的，说明不同的人根据这些条件画出的三角形一定是全等的；而由全等三角形的判定方法可知当两个三角形满足A、B、D选项中的边、角对应相等时，两个三角形不一定全等，只有满足C中的边、角对应相等时，可以由“ASA”判定两三角形全等.故选C.

4．D

【分析】

根据平行线的性质，可得∠ABC的度数，根据角的和差，可得答案．

【详解】

解：过点B作BC∥AO，如图：

∵BC∥AO，∠DAB＝60°，

∴∠ABC＝∠DAB＝60°．

∴∠1＝180°﹣60°﹣70°＝50°．

故此时的航行方向为南偏西50°．

故选D．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质和方位角，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

5．C

【分析】

过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后利用△ABD的面积公式列式计算即可得解．

【详解】

解：如图，过点D作DE⊥AB于E，

∵∠C=90°，AD平分∠BAC，

∴DE=CD，

∴S△ABD=AB•DE=×18•DE=27，

解得：DE=3，

∴CD=3．

故选：C．

【点睛】

该题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积公式及其应用问题，解题的关键是作辅助线．

6．C

【详解】

∵DE垂直平分AB，

∴DA=DB，

∵C△DBC=CD+CB+DB=35

∴ CD+CB+DA=35，

∴CA+CB=35，

∵AC=20，

∴BC=15.

故选C.

点睛：熟练运用垂直平分线的性质.

7．D

【分析】

根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，分析并作答．

【详解】

根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与21：05成轴对称，所以此时实际时刻为21：05；
故选：D．

【点睛】

本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．

8．C

【分析】

根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD=∠EBD=∠ABC=，∠AFB=∠EFB=90°，推出AB=BE，根据等腰三角形的性质得到AF=EF，求得AD=ED，得到∠DAF=∠DEF，根据三角形的外角的性质即可得到结论．

【详解】

∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，

∴∠ABD=∠EBD=∠ABC=，∠AFB=∠EFB=90°，

∴∠BAF=∠BEF=90°-17.5°，

∴AB=BE，AE⊥BD

∴BD是AE的垂直平分线，

∴AD=ED，

∴∠DAF=∠DEF，

∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，

∴∠BED=∠BAD=95°，

∴∠CDE=95°-50°=45°，

故选C．

【点睛】

本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

9．B

【分析】

根据平行线的性质，得出，，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质，得出，根据，，即可求线段的长．

【详解】

∵，

∴，，

在和中，

∴，

∴，

∵，

∴.

故选B．

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定是解此题的关键．

10．D

【分析】

根据全等三角形的性质可判断①和②，再根据相似三角形的判定判断③即可．

【详解】

解：①∵，

∴∠BAC=∠DAE，

∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，

∴∠1=∠2，故①成立；

②∵，

∴BC=DE，故②成立，

③∵，

∴AB=AD，AC=AE，

∴，又∠1=∠2，

∴，故③成立，

综上，一定成立的有①②③共3个，

故选：D．

【点睛】

本题考查全等三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质和相似三角形的判定是解答的关键．

11．100°

【分析】

先证明，可得∠AED=∠BFE，从而得∠BFE+∠BEF=140°，进而即可求解．

【详解】

解：∵△ABC中，AC＝BC，

∴∠A=∠B，

∵AD＝BE，AE＝BF，

∴，

∴∠AED=∠BFE，

∵∠DEF＝40°，

∴∠AED+∠BEF=180°-40°=140°，

∴∠BFE+∠BEF=140°，

∴∠B=∠A=40°，

∴∠C=180°-40°-40°=100°．

故答案是：100°．

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，证明是解题的关键．

12．45

【分析】

根据三角形全等的判定和性质，先证△ADC≌△BDF，可得BD=AD，可求∠ABC=∠BAD=45°．

【详解】

∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E

∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，

又∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等）

∴∠EAF=∠DBF，

在Rt△ADC和Rt△BDF中，

，

∴△ADC≌△BDF（AAS），

∴BD=AD，

即∠ABC=∠BAD=45°．

故答案为45．

【点睛】

三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

13．FD=BE等

【详解】

试题分析：本题根据∠BCE=∠CAD可得∠BCA=∠ECD，添加AC=DC可以利用SAS来进行判定；添加∠B=∠E可以利用ASA来进行判定；添加∠A=∠D可以利用AAS来进行判定.

考点：三角形全等的判定

14．45

【分析】

连接，利用全等三角形的性质解答即可．

【详解】

解：如图所示：

由图可知与与全等，

，，

，

，

是等腰直角三角形，

，

，

故答案为：45．

【点睛】

本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键．

15．4:3

【分析】

利用角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的边AC的高相等，根据三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比；

【详解】

∵ AD是△ABC的角平分线，

∴ 设△ABD的边AB上的高与△ACD的边AC的高分别为，，

∴ =，

∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=8：6=4：3，

故答案为：4：3．

【点睛】

本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键；

16．60或32

【分析】

分两种情况进行讨论：①，②，然后根据全等三角形的性质和题目中的数据，即可计算出的长．

【详解】

解：由题意，设，则，

分以下两种情况：

①当时，则，

∵，即，

∴，

∴；

②当时，，

∵，即，

∴，

∴；

综上，的长为60或32，

故答案为：60或32．

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．

17．①②③④．

【分析】

根据已知条件易证△ABD≌△EBC，可判定①正确；根据等腰三角形的性质、对顶角相等、结合全等三角形的性质及平角的定义即可判定②正确；证明AD=AE=EC，再利用勾股定理即可判定③正确；过E作EG⊥BC于G点，证明Rt△BEG≌Rt△BEF及Rt△CEG≌Rt△AFE，根据全等三角形的性质可得AF=CG，所以BA+BC=BF+FA+BG﹣CG=BF+BG=2BF，即可判定④正确.

【详解】

①∵BD为△ABC的角平分线，

∴∠ABD=∠CBD，

在△ABD和△EBC中，

，

∴△ABD≌△EBC（SAS），

∴①正确；

②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，

∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，

∵△ABD≌△EBC，

∴∠BCE=∠BDA，

∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，

∴②正确；

③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，

∴∠DCE=∠DAE，

∴△ACE为等腰三角形，

∴AE=EC，

∵△ABD≌△EBC，

∴AD=EC，

∴AD=AE=EC，

∵EF⊥AB，

∴AF2=EC2﹣EF2；

∴③正确；

④如图，过E作EG⊥BC于G点，

∵E是BD上的点，∴EF=EG，

在Rt△BEG和Rt△BEF中，

，

∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），

∴BG=BF，

在Rt△CEG和Rt△AFE中，

，

∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL），

∴AF=CG，

∴BA+BC=BF+FA+BG﹣CG=BF+BG=2BF，

∴④正确．

故答案为①②③④．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．

18．见解析

【分析】

在△ABC和△DFE中，根据AB=DF、AC=DE、BC=FE，利用全等三角形的判定定理SSS即可证出△ABC≌△DFE，进而得出∠ACB=∠DEF，再以及“内错角相等，两直线平行”即可证出结论．

【详解】

证明：在和中，

，

∴，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，通过证全等三角形找出∠ACB=∠DEF是解题的关键．

19．（1）见详解；（2）见详解

【分析】

（1）由等式的性质就可以得出BF＝CE，由平行线的性质就可以得出∠B＝∠C，根据SAS证明△ABF≌△DCE，进而可以得出结论；

（2）由△ABF≌△DCE就可以得出∠AFB＝∠DEC，进而可以得出结论．

【详解】

证明：∵BE＝CF，

∴BE-EF＝CF-EF，

∴BF＝CE．

∵AB∥CD，

∴∠B＝∠C．

在△ABF和△DCE中

∵，

∴△ABF≌△DCE（SAS），

∴AF＝DE；

（2）∵△ABF≌△DCE，

∴∠AFB＝∠DEC，

∴∠AFE＝∠DEF，

∴AF∥DE．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定及性质，解答时证明三角形全等是关键．

20．（1）全等，理由见解析；（2）∠CBE＝70°

【分析】

（1）根据边角边证明三角形全等即可；

（2）根据全等的性质，，进而根据三角形的外角性质求解即可．

【详解】

解：（1）△ABE≌△CDF，理由如下：

∵AB∥CD，

∴∠A＝∠DCF，

∵AF＝CE，

∴AF﹣EF＝CE﹣EF，

即AE＝CF，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）由（1）知，△ABE≌△CDF，

∴∠AEB＝∠CFD，

∵∠CFD＝100°，

∴∠AEB＝100°，

∴∠CBE＝∠BCE＝100°﹣30°＝70°．

【点睛】

本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．

21．（1）△ABE≌△ACD．（2）详见解析.（3）详见解析.

【分析】

（1）结论：△ABE≌△ACD．（2）根据AAS即可证明；（3）只要证明FB=FC，可得AF垂直平分线段BC即可解决问题；

【详解】

（1）解：结论：△ABE≌△ACD．

（2）证明：∵∠BAD=∠CAE，

∴∠BAE=∠CAD，

在△ABE和△ACD中，

，

∴△ABE≌△ACD．

故答案为ABE，ACD．

（3）证明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵△ABE≌△ACD，

∴∠ABE=∠ACD，

∴∠FBC=∠FCB，

∴BF=CF，∵AB=AC，

∴AF垂直平分线段BC，

∴BG=GC，

∴点G为BC的中点.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．

22．（1）见详解；（2）见详解

【分析】

（1）由题意得出∠BAD＝∠CAE，根据SAS可得出△AEC≌△ADB；

（2）由全等三角形的性质得出∠ACE＝∠ABD，则可得出结论．

【详解】

（1）证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，

∴∠BAC＝∠DAE=90°，

∴∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△BAD与△CAE中，

,

∴△ADB≌△AEC（SAS）；

（2）由（1）知，△ADB≌△AEC，

∴∠ACE＝∠ABD，

∵∠BAC＝90°，

∴∠CBD＋∠BCE＝∠ABC＋∠ACB＝90°，

∴∠BFC＝90°，

∴DB⊥EC．

【点睛】