人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数本章综合与测试课后作业题

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第五章 三角函数（能力提升）单元检测试卷一、单选题1．函数的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ）A．的最小正周期是 B．在上单调递增C．在上单调递增 D．直线是曲线的一条对称轴【答案】C【解析】由图可知，，该三角函数的最小正周期，故A项正确；所以，则.因为，所以该函数的一条对称轴为，将代入，则，解得，故.令，得，令，则故函数在上单调递增.故B项正确；令，得，令，故函数在上单调递减.故C项错误；令，得，令，故直线是的一条对称轴.故D项正确.故选C.2．已知 ∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A． B．C． D．【答案】B【解析】，．，又，，又，，故选B．3．设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，所以，解得：所以函数的最小正周期为故选：C4．如图是函数在一个周期内的图象，则其解析式是（　　）A． B．C． D．【答案】D【解析】由图象可得，函数的最小正周期为，，将点的坐标代入函数的解析式，且函数在附近递增，所以，，则，得，，所以，当时，，因此，.故选：D.5．关于函数，，，且在上单调，有下列命题：（1）的图象向右平移个单位后关于轴对称（2）（3）的图象关于点对称（4）在上单调递增其中正确的命题有（        ）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】，或或或或因为在上单调，所以因此或，（验证舍去）或的图象向右平移个单位得，不关于轴对称，（1）错；，（2）对；，（3）错；当时，，所以在上单调递增，（4）对；故选：B6．设，，，则（     ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以，，且，所以，，所以,故选D.7．已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则的单调递减区间是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】由题设可知该函数的最小正周期，结合函数的图象可知单调递减区间是，即，等价于，应选答案D．8．已知函数的图像与函数的图像交于M，N两点，则的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由得即，即，解得或，由可得，或，，，显然MN与x轴交于点，.故选：B.9．设函数的定义域为， , 当时,, 则函数在区间上的所有零点的和为（   ）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵f（x）=f（2﹣x），∴f（x）关于x=1对称，∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）根与x=0对称，∵f（x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），∴f（x）=f（x+2），∴f（x）是以2为周期的函数，∴f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，分别为x=0，x=1，x=2，又y=|cos（πx）关于x=0，x=1，x=2对称，∴x=0，x=1，x=2为g（x）的对称轴．作出y=|cos（πx）|和y=x3在[0，1]上的函数图象如图所示：由图象可知g（x）在（0，）和（，1）上各有1个零点．又g（1）=0，∴g（x）在[﹣，]上共有7个零点，设这7个零点从小到大依次为x1，x2，x3，…x6，x7．则x1，x2关于x=0对称，x3，x5关于x=1对称，x4=1，x6，x7关于x=2对称．∴x1+x2=0，x3+x5=2，x6+x7=4，∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=7．故选A．二、多选题10．设函数，则下列选项正确的是（    ）A．的最小正周期是B．在上单调递减，那么的最大值是C．满足D．的图象可以由的图象向右平移个单位得到【答案】ABD【解析】，对于A:,即A正确;对于B: 时，单调递减，故减区间为,的最大值是,故B正确；对于C: ，，即不是的对称轴，故C错误；对于D: 的图象向右平移个单位得到,故D正确.故选：ABD.11．函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）A． B．C．是函数的一条对称轴 D．是函数的对称轴心【答案】ACD【解析】由函数的图象有,则，即，所以，则A正确.由图象可得，， 所以，即,由，所以，即,所以B不正确.所以函数的对称轴为：，即当时，是函数的一条对称轴，所以C正确.所以函数的对称中心满足：，即所以函数的对称轴心为，，所以D正确.故选：ACD12．设函数，给出下列命题，不正确的是（    ）．A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．把的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象D．的最小正周期为，且在上为增函数【答案】ABD【解析】因为，所以A不正确；因为，所以B不正确；因为函数的最小正周期为，但，所以D不正确；把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，函数为偶函数，所以C正确．故选：ABD.三、填空题13．已知，，则__________．【答案】【解析】因为，所以，①因为，所以，②①②得，即，解得，故本题正确答案为14．已知，tanα=2，则=______________．【答案】【解析】由得，又，所以，因为，所以，因为，所以．15．函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论正确的是______.①的一个周期为；        ②的图象关于对称；③是的一个零点；    ④在单调递减；【答案】①②③【解析】函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，，的一个周期为，故①正确；的对称轴满足：，，当时，的图象关于对称，故②正确；由，得，是的一个零点，故③正确；当时，，在上单调递增，故④错误．故答案为：①②③．16．已知函数，点是直线与函数的图象自左至右的某三个相邻交点，若，则 _____【答案】3【解析】作出示意图如图所示：由，则，则，故的周期，得，即，且，可得，且，得,则，得，则.故答案为：317．已知函数，若，则的取值围为_________.【答案】【解析】由题意，函数，又由，即，即，因为，则，所以或，即或，所以实数的取值围为.故答案为：.四、解答题18．已知函数，.（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值.【答案】（1）；单调递增区间为；（2）最大值为，；最小值为，.【解析】（1），所以，该函数的最小正周期为.解不等式，得.因此，函数最小正周期为，单调递增区间为；（2），.当时，即当时，函数取得最大值，即；当时，即当时，函数取得最小值，即.19．设函数，其中.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ) .【解析】（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到由题设知及可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得从而.根据得到，进一步求最小值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以由题设知，所以，.故，，又，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）得所以.因为，所以，当，即时，取得最小值.20．若函数的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为，且当时，取得最小值.（1）求的解析式；（2）若，求的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意，函数的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为，可得的周期，即，解得，又因为当时，取得最小值，所以，所以，解得，因为，所以，所以.（2）因为，可得，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值，所以函数的值域是.21．设函数．（1）已知函数是偶函数，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）由题意，函数，则，因为函数是偶函数，所以，即，解得，又因为，所以或．（2）由，可得，所以，可得，又由.22．已知函数，其图象与轴相邻的两个交点的距离为.（1）求函数的解析式；（2）若将的图象向左平移个长度单位得到函数的图象恰好经过点，求当取得最小值时，在上的单调区间.【答案】（1）（2）单调增区间为，；单调减区间为.【解析】（1）由已知函数的周期，， ∴.（2）将的图象向左平移个长度单位得到的图象∴，∵函数的图象经过点∴，即∴，∴，∵，∴当，取最小值，此时最小值为此时，.令，则当或，即当或时，函数单调递增当，即时，函数单调递减.∴在上的单调增区间为，；单调减区间为.