初中数学人教版九年级上册23.1 图形的旋转导学案及答案

第二十三章 旋转

23.1 图形的旋转

第1课时 认识图形的旋转

出示目标

  1.了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念.

  2.了解旋转对应点的概念及应用它们解决一些实际问题.

  3.通过观察具体实例认识旋转，探索它的基本性质.

  4.了解图形旋转的特征，并能根据这些特征绘制旋转后的几何图形.

预习导学1

  知识准备

  (学生活动)请同学们完成下面各题.

  1.将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形.

  2.如图，已知△ABC和直线l，请你画出△ABC关于l的对称图形△A′B′C′.

 3.圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其他的吗？

(是；是；等腰梯形、长方形、正多边形等.)

点拨：

(1)平移的有关概念及性质.

(2)如何画一个图形关于一条直线(对称轴)的对称图形并口述它有哪些性质.

(3)什么叫轴对称图形.

自学指导：自学教材内容，思考和完成教材上的练习.

观察：让学生看转动的钟表和风车等.

(1)上面情景中的转动现象，有什么共同的特征？(指针、风车叶片分别绕中间轴旋转)

(2)钟表的指针、秋千在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢？(形状、大小不变，位置发生变化)

问题：

①从3时到5时，时针转动了多少度？(60°)

②风车每片叶轮转到与下一片原来的位置重合时，风车旋转了多少度？(90°)

③以上现象有什么共同特点？(物体绕固定点旋转)

思考：在数学中如何定义旋转？

探究

把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.

如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.

合作探究1

活动1 小组讨论

例1 如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形.

(1)这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？

(2)请画出旋转中心和旋转角.

(3)经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置？

点拨：

(1)可以看做是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到的.(2)画图略.(3)点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H.

这个旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，但旋转角和对应点都是不唯一的.

例2 如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，点E在AB上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点A；旋转的度数是45°.

活动1 小组讨论

例3 如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形. 

点拨：关键是确定△ADE三个顶点的对应点的位置.

活动2 跟踪训练

1.如图，AD=DC=BC，∠ADC=∠DCB=90°，BP=BQ，∠PBQ=90°.

①此图能否旋转某一部分得到一个正方形？

②若能，指出由哪一部分旋转而得到的？并说明理由.

③它的旋转角多大？并指出它们的对应点.

解：①能.

②由△BCQ绕B点旋转得到.理由：连结AB，易证四边形ABCD为正方形.

再证△ABP≌△CBQ.可知△QCB可绕B点旋转与△ABP重合，从而得到正方形ABCD.

③90°.点C对应点A，点Q对应点P.

2.如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系.

解：∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形，

∴AB=AD，AK=AM，且∠BAD=∠KAM为旋转角且为90°.

∴△ADM是以A为旋转中心，∠BAD为旋转角由△ABK旋转而成的.∴BK=DM.

课堂小结

1.旋转及其旋转中心、旋转角的概念.

2.旋转的对应点及其它们的应用.

3.本节课要掌握：

  (1)旋转的基本性质.

  (2)旋转变换与平移、轴对称两种变换有哪些共性与区别.

第2课时  旋转作图

出示目标

  1.理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果.

  2.掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案.

预习导学

  自学指导 自学教材第61页.完成下列问题.

  1.回顾思考

   (1)各对应点到旋转中心的距离有何关系呢？

   (2)各对应点与旋转中心所连线段的夹角与旋转角有何关系？

   (3)两个图形是旋转前后的图形，它们全等吗？

2.学生独立完成作图题.如图，△ABC绕B点旋转后，O点是A点的对应点，作出△ABC旋转后的三角形.

点拨：要作出△ABC旋转后的三角形，应找出三方面的关系:

①旋转中心B；②旋转角∠ABO；③C点旋转后的对应点C′.

探究

从上面的作图题中，我们知道，作图应满足三要素:旋转中心、旋转角、对应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来.因此，下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究.

把一个图案以O点为中心进行旋转，选择不同的旋转中心，不同的旋转角，会出现不同的效果图形.

1. 旋转中心不变，改变旋转角.

2.  
3. 旋转角不变，改变旋转中心.

我们可以设计成如下图美丽的图案.

因此，从以上的画图中，我们可以得到旋转中心不变、改变旋转角与旋转角不变、改变旋转中心会产生不同的效果，所以我们可以经过旋转设计出美丽的图案.

活动1 小组讨论

  例1 如图所示，图①沿逆时针方向旋转90°可得到图⑤.图①按顺时针方向至少旋转180度可得图③.

例2 如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是△ABC内的一点，且AP=3，将△ABP绕点A旋转后与△ACP′重合，求PP′的长.

点拨：依题意，AP绕点A旋转90°时得AP′=AP=3，则△APP′是等腰直角三角形.

所以PP′==.

解题的关键是确定AP与AP′垂直且相等.

课堂小练

一、选择题

1.下面的图形中必须由“基本图形”既平移又旋转而形成的图形是(　　)

A.      B.

C.      D.

2.如图，在正方形网格中，将△ABC顺时针旋转后得到△A'B′C′，则下列4个点中能作为旋转中心的是(        )

A.点P           B.点Q           C.点R          D.点S

3.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的是(  )

A.∠BCB′=∠ACA′              B.∠ACB=2∠B

C.∠B′CA=∠B′AC             D.B′C平分∠BB′A′

4.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=25°，则∠BAA′的度数是(  )

A.55°         B.60°          C.65°         D.70°

5.如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A(﹣2，5)的对应点A′的坐标是(  )

A.(2，5)        B.(5，2)        C.(2，﹣5)       D.(5，﹣2)

6.如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是(  )

A.60°         B.90°         C.120°             D.150°

7.如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是(  )

A.10°     B.20°     C.50°        D.70°

8.如图，将三角尺ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕B点按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于（      ）

A．120°          B．90°          C．60°           D．30°

二、填空题

9.一个正n边形绕它的中心至少旋转18°才能与原来的图形完全重合，则n的值为　   　.

10.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为　   　.

11.在方格纸上建立如图所示的平面直角坐标系，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°得△A′B′O，则点A的对应点A′的坐标为_    _.

12.时钟6点到9点，时针转动了＿＿度.

13.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，

则∠AOD=     度.

14.如图所示，△ABC中，∠BAC=33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为     .

三、解答题

15.如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，点E是菱形ABCD内一点，连结CE绕点C顺时针旋转110°，得到线段CF，连结BE，DF，若∠E=86°，求∠F的度数.

参考答案

16.答案为：D

17.答案为：A；

18.答案为：C.

19.答案为：C.

20.答案为：B.

21.答案为：D.

22.答案为：B.

23.A

24.答案为：20.

25.答案为：15°.

26.答案为：(2，3)

27.答案为：90º

28.答案为：30.

29.答案为：17°.

30.解：∵菱形ABCD，

∴BC=CD，∠BCD=∠A=110°，

由旋转的性质知，CE=CF，∠ECF=∠BCD=110°，

∴∠BCE=∠DCF=110°﹣∠DCE，

在△BCE和△DCF中，，

∴△BCE≌△DCF，

∴∠F=∠E=86°.