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    人教B版 (2019)必修 第四册11.1.4 棱锥与棱台导学案

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    这是一份人教B版 (2019)必修 第四册11.1.4 棱锥与棱台导学案,共14页。学案主要包含了变式练习等内容,欢迎下载使用。

    11.1.4 棱锥与棱台 

    1.了解棱锥、棱台的定义和结构特征.

    2.掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的性质.

    重点:了解棱锥、棱台的定义和结构特征.

    难点:掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的性质.

    1.棱锥

    (1)关于棱锥的定义、分类、图形及表示,请填写下表:

    棱锥

    定义

    如果一个多面体有一个面是      ,其余各面都是_______________的三角形,则称这个多面体为棱锥

     

    有一个公共顶点;多边形

    相关概念

    底面()               面;侧面:有         的各个三角形;侧棱:相邻两侧面的      ;顶点:各侧面的公共顶点;

    高:过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线,所得到的    (或它的长度),侧面积:所有侧面的面积之和

    线段;是多边形的那个;公共顶点;公共边

    分类

    依据:底面多边形的边数;

    举例:        (底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)……

    三棱锥

    图形及表示

    如图棱锥可记作:棱锥S­ABCD或棱锥S­AC.

    (2)正棱锥的有关概念及其特征

    如果棱锥的底面是        ,且棱锥的            的连线垂直于底面,则称这个棱锥为正棱锥,可以看出,正棱锥的侧面都    ,而且都是等腰三角形,这些等腰三角形底边上的高也都相等,称为棱锥的    

    正多边形;顶点;底面中心;全等;斜高

    2.棱台

    (1)关于棱台的定义、分类、图形及表示,请填写下表:

    棱台

    定义

    一般地,用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,所得截面与底面间的多面体称为棱台

     

    相关概念

    上底面:原棱锥的截面;

    下底面:原棱锥的底面;

    侧面:其余各面;

    侧棱:相邻两侧面的公共边;

    顶点:侧面与上()底面的公共顶点;

    高:过棱台一个底面上的任意一个顶点,作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)

    侧面积:所有侧面的面积之和

     

    分类

    依据:由几棱锥截得;

    举例:三棱台(由三棱锥截得)       (由四棱锥截得)……

     

    图形及表示

    如图棱台可记作:棱台ABCD­ABCD

     

    (2)正棱台的有关概念及其特征

            截得的棱台称为正棱台,不难看出,正棱台上、下底面都是正多边形,两者中心的连线是          ;而且,正棱台的侧面都全等,且都是等腰梯形,这些等腰梯形的高也都相等,称为________________

    棱台的斜高;正棱锥;棱台的高

    试一试

    1.棱锥的侧面和底面可以都是(  )

    A.三角形  B.四边形  C.五边形  D.六边形

    2.下面四个几何体中,是棱台的是(  )

    A             B           C        D

    3.下面描述中,不是棱锥的结构特征的为(  )

    A.三棱锥的四个面是三角形

    B.棱锥都是有两个面互相平行的多边形

    C.棱锥的侧面都是三角形

    D.棱锥的侧棱相交于一点

    4.如图,下列几何体中,________是棱柱,______是棱锥,________是棱台(仅填相应序号)

    一、    情境与问题

    1:棱锥

    从生活中的一些物体可以抽象出棱锥,如图都是棱锥。观察棱锥的结构,总结出一个几何体是棱锥的充要条件。

    1:棱锥的定义:如果一个多面体有一个面是多边形,且其余各面都是有一个公共顶点的三角形,则称这个多面体为棱锥.

    思考:(1)各个面都是三角形的几何体一定是三棱锥吗?

     

    2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥吗?试举例说明.

     

    2:棱锥的结构特征

    棱锥中,是多边形的那个面称为棱锥的底面,有公共顶点的各三角形称为棱锥的侧面

    各侧面的公共顶点称为棱锥顶点,相邻两侧面的公共边称为棱锥的侧棱

    3:棱锥的分类

    按底面的形状分为三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形),五棱锥(底面是五边形)…….

    如图11-1-31,(2)是一个四棱柱、(3)是一个三棱锥、(4)是一个五棱锥.

    4:棱锥的表示

    棱锥可以用顶点与底面各顶点的字母来表示,例如四棱锥可表示为:四棱锥PABCD或四棱锥PAC

    5:棱锥的高和侧面积

    过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线,所得到的线段(或它的长度)称为棱锥的高.

    棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的侧面积.

    如图,PO为棱锥的高,因此ABCD

    从而可知:

    6:正棱锥及其性质

    (1)正棱锥的定义:如果棱锥的面是正多边形,且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面

    则称这个棱锥为正棱锥.

    (2)正棱锥的性质:正棱锥的侧面都全等,而且都是等腰三角形,这些等腰三角形底边上的高也都相等,称为棱锥的斜高

    1.如图是底面边长为1且侧棱长为的正六棱锥

    1)写出直线PA与直线CD,直线PA与面ABCDEF之间的关系;

    2)求棱锥的高和斜高;

    3)求棱锥的侧面积

    【变式练习】

    已知正四棱锥的底面边长为4,高是2,则它的表面积为________.

    2:棱台

    从生活中的一些物体可以抽象出棱台,如图都是棱台。观察棱台的结构,总结出一个几何体是棱台的充要条件。

     

    1:棱台的定义

    一般地,用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,所得截面与底面间的多面体称为棱台.

    原棱锥的底面与截面分别称为棱台的下底面上底面,其余各面称为棱台的侧面

    相邻两侧面的公共边称为棱台的侧棱

    2:棱台的分类及表示

    按底面的形状分为三棱台(底面是三角形)、四棱台(底面是四边形)……,棱台可用上底面与下底面的顶点表示,

    例如底面是四边形的棱台可表示为四棱台ABCDABCD′.

    如图所示的棱台 ,可以看出是从棱锥P-ABCD上截去棱锥得到的.

    3:棱台的高和表面积

    过棱台一个底面上的任意一个顶点,作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱台的高

    棱台所有侧面的面积之和称为棱台的侧面积

    4:正棱台及其性质

    (1)正棱台的定义:由正棱锥截得的棱台称为正棱台.

    (2)正棱台的性质:正棱台上、下底面都是正多边形,两者中心的连线是棱台的高;正棱台的侧面都全等

    且都是等腰梯形,这些等腰梯形的高也都相等,称为棱台的斜高

    概念辨析

    1.判断正误

    (1)用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫棱台.(  )

    (2)棱台的侧面都是等腰梯形.(  )

    2.下列命题中正确的是(  )

    A.棱台的侧面可以是平行四边形

    B.两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台

    C.棱台的底面是两个相似的正方形

    D.棱台的侧棱延长后必交于一点

    2.如图所示是一个正三棱台,而且下底面边长和侧棱长都为1分别是下底面和上底面的中心.

    1)求棱台的斜高;

    2)求棱台的高.

    1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)

    (1)有一个底面为多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体是棱锥. (  )

    (2)棱台的侧棱长都相等.(  )  (  )

    (3)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的. (  )

    2.在三棱锥A­BCD中,可以当作棱锥底面的三角形的个数为(  )

    A1个   B2         C3          D4

    3.如图,在三棱台ABC′­ABC中,截去三棱锥A′­ABC,则剩余部分是(  )

    A.三棱锥       B.四棱锥    C.三棱柱        D.三棱台

    4.已知正四棱锥底面边长为6,侧棱长为5,则此棱锥的侧面积为________

    5.画一个三棱台,再把它分成:

    (1)一个三棱柱和另一个多面体;

    (2)三个三棱锥,并用字母表示.

    6. 已知正三棱台的上、下底面边长分别为26,侧棱长为2,求该三棱台的侧面积.

    1.在理解的基础上,要牢记棱锥、棱台的定义,能够根据定义判断几何体的形状.

    2.棱柱、棱台、棱锥关系图

     

    参考答案:

    知识梳理

    试一试

    1A [棱锥的侧面都是三角形,所以底面和侧面相同只能是三角形.]

    2C [棱台的侧棱延长后相交于同一点,故C正确.]

    3B [根据棱锥的结构特征,知棱锥中不存在互相平行的多边形,故B错.]

    4①③④   [结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱,是棱锥,是棱台.]

    学习过程

    思考:(1解答:如图所示的几何体,各个面都是三角形,但该几何体不是三棱锥.

     

    2解答:不一定,如图.

     

    1. 解:(1)直线PA与直线CD异面,直线ABCDEF=A

    3)因为的面积为:.故棱锥的侧面积为:

    2)作出棱锥的高PO,因为是正六棱锥,所以O是底面的中心,连接OC,可知OC=1

    中,可知:

    BC的中点为M,由为等腰三角形可知, ,因此PM为斜高,从而

    【变式练习】

    AO2OB2AB2.

    S×4×216

    S4×416SSS1616.

    概念辨析

    1答案 (1)× (2)

    2答案:D 棱台的侧面是梯形,一定不会是平行四边形,故A错;B中侧棱不一定交于一点;C中底面不一定是正方形.

    2.解:(1)因为是正三棱台,所以侧面都是全等的等腰梯形。

    如图所示,在梯形中,分别过AC的垂线

    则由

    可知 ,从而 ,即斜高为.

     

    2)根据分别为下底面和上底面的中心,以及下底面边长和上底面的边长分别为21,

    可以算出:

    假设正三棱台是由正棱锥截去正棱锥得到的,

    则由已知可得

    VO是棱锥的高,是棱锥的高,是所求棱锥的高.

    因此是一个直角三角形,画出这个三角形,

    如图所示,则的中位线.

    因为棱台的棱长为1,所以,从而

    因此: 因此棱台的高为:

    1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)

     

    达标检测

    1. [答案] (1)√ (2)× (3)×

    2D [在三棱锥A­BCD中,任何一个三角形都可作为棱锥的底面,所以有4个.]

    3B [剩余几何体为四棱锥A′­BCCB′.]

    448 [正四棱锥的斜高h4S×6×448.]

    5[] 画三棱台一定要利用三棱锥.

            

    (1)如图所示,三棱柱是棱柱ABC′­ABC,另一个多面体是CBBCCB″.

    (2)如图所示,三个三棱锥分别是A′­ABCB′­ABCC′­ABC.

    6. 解:设正三棱台侧面梯形的高为h,则h2.

    S棱台侧(dd′)h(26)×224.

    即该三棱台的侧面积为24.

     

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