人教B版 (2019)必修 第四册11.1.4 棱锥与棱台导学案
展开11.1.4 棱锥与棱台
1.了解棱锥、棱台的定义和结构特征.
2.掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的性质.
重点:了解棱锥、棱台的定义和结构特征.
难点:掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的性质.
1.棱锥
(1)关于棱锥的定义、分类、图形及表示,请填写下表:
棱锥 | |
定义 | 如果一个多面体有一个面是 ,其余各面都是_______________的三角形,则称这个多面体为棱锥 |
有一个公共顶点;多边形
相关概念 | 底面(底): 面;侧面:有 的各个三角形;侧棱:相邻两侧面的 ;顶点:各侧面的公共顶点; 高:过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线,所得到的 (或它的长度),侧面积:所有侧面的面积之和 |
线段;是多边形的那个;公共顶点;公共边
分类 | ①依据:底面多边形的边数; ②举例: (底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)…… |
三棱锥
图形及表示 |
如图棱锥可记作:棱锥SABCD或棱锥SAC. |
(2)正棱锥的有关概念及其特征
如果棱锥的底面是 ,且棱锥的 与 的连线垂直于底面,则称这个棱锥为正棱锥,可以看出,正棱锥的侧面都 ,而且都是等腰三角形,这些等腰三角形底边上的高也都相等,称为棱锥的 .
正多边形;顶点;底面中心;全等;斜高
2.棱台
(1)关于棱台的定义、分类、图形及表示,请填写下表:
棱台 | |
定义 | 一般地,用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,所得截面与底面间的多面体称为棱台 |
相关概念 | 上底面:原棱锥的截面; 下底面:原棱锥的底面; 侧面:其余各面; 侧棱:相邻两侧面的公共边; 顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点; 高:过棱台一个底面上的任意一个顶点,作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度); 侧面积:所有侧面的面积之和 |
分类 | ①依据:由几棱锥截得; ②举例:三棱台(由三棱锥截得)、 (由四棱锥截得)…… |
图形及表示 |
如图棱台可记作:棱台ABCDA′B′C′D′ |
(2)正棱台的有关概念及其特征
由 截得的棱台称为正棱台,不难看出,正棱台上、下底面都是正多边形,两者中心的连线是 ;而且,正棱台的侧面都全等,且都是等腰梯形,这些等腰梯形的高也都相等,称为________________.
棱台的斜高;正棱锥;棱台的高
试一试
1.棱锥的侧面和底面可以都是( )
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
2.下面四个几何体中,是棱台的是( )
A B C D
3.下面描述中,不是棱锥的结构特征的为( )
A.三棱锥的四个面是三角形
B.棱锥都是有两个面互相平行的多边形
C.棱锥的侧面都是三角形
D.棱锥的侧棱相交于一点
4.如图,下列几何体中,________是棱柱,______是棱锥,________是棱台(仅填相应序号).
一、 情境与问题
1:棱锥
从生活中的一些物体可以抽象出棱锥,如图都是棱锥。观察棱锥的结构,总结出一个几何体是棱锥的充要条件。
1:棱锥的定义:如果一个多面体有一个面是多边形,且其余各面都是有一个公共顶点的三角形,则称这个多面体为棱锥.
思考:(1)各个面都是三角形的几何体一定是三棱锥吗?
(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥吗?试举例说明.
2:棱锥的结构特征
棱锥中,是多边形的那个面称为棱锥的底面,有公共顶点的各三角形称为棱锥的侧面,
各侧面的公共顶点称为棱锥的顶点,相邻两侧面的公共边称为棱锥的侧棱.
3:棱锥的分类
按底面的形状分为三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形),五棱锥(底面是五边形),…….
如图11-1-31,(2)是一个四棱柱、(3)是一个三棱锥、(4)是一个五棱锥.
4:棱锥的表示
棱锥可以用顶点与底面各顶点的字母来表示,例如四棱锥可表示为:四棱锥P-ABCD或四棱锥P-AC.
5:棱锥的高和侧面积
过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线,所得到的线段(或它的长度)称为棱锥的高.
棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的侧面积.
如图,PO为棱锥的高,因此面ABCD
从而可知:
6:正棱锥及其性质
(1)正棱锥的定义:如果棱锥的底面是正多边形,且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面,
则称这个棱锥为正棱锥.
(2)正棱锥的性质:正棱锥的侧面都全等,而且都是等腰三角形,这些等腰三角形底边上的高也都相等,称为棱锥的斜高.
例1.如图是底面边长为1且侧棱长为的正六棱锥
(1)写出直线PA与直线CD,直线PA与面ABCDEF之间的关系;
(2)求棱锥的高和斜高;
(3)求棱锥的侧面积
【变式练习】
已知正四棱锥的底面边长为4,高是2,则它的表面积为________.
2:棱台
从生活中的一些物体可以抽象出棱台,如图都是棱台。观察棱台的结构,总结出一个几何体是棱台的充要条件。
1:棱台的定义
一般地,用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,所得截面与底面间的多面体称为棱台.
原棱锥的底面与截面分别称为棱台的下底面和上底面,其余各面称为棱台的侧面,
相邻两侧面的公共边称为棱台的侧棱.
2:棱台的分类及表示
按底面的形状分为三棱台(底面是三角形)、四棱台(底面是四边形)、……,棱台可用上底面与下底面的顶点表示,
例如底面是四边形的棱台可表示为四棱台ABCD-A′B′C′D′.
如图所示的棱台 ,可以看出是从棱锥P-ABCD上截去棱锥得到的.
3:棱台的高和表面积
过棱台一个底面上的任意一个顶点,作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱台的高.
棱台所有侧面的面积之和称为棱台的侧面积.
4:正棱台及其性质
(1)正棱台的定义:由正棱锥截得的棱台称为正棱台.
(2)正棱台的性质:正棱台上、下底面都是正多边形,两者中心的连线是棱台的高;正棱台的侧面都全等,
且都是等腰梯形,这些等腰梯形的高也都相等,称为棱台的斜高.
概念辨析
1.判断正误
(1)用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫棱台.( )
(2)棱台的侧面都是等腰梯形.( )
2.下列命题中正确的是( )
A.棱台的侧面可以是平行四边形
B.两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.棱台的底面是两个相似的正方形
D.棱台的侧棱延长后必交于一点
例2.如图所示是一个正三棱台,而且下底面边长和侧棱长都为1,与分别是下底面和上底面的中心.
(1)求棱台的斜高;
(2)求棱台的高.
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)有一个底面为多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体是棱锥. ( )
(2)棱台的侧棱长都相等.( ) ( )
(3)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的. ( )
2.在三棱锥ABCD中,可以当作棱锥底面的三角形的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图,在三棱台A′B′C′ABC中,截去三棱锥A′ABC,则剩余部分是( )
A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱台
4.已知正四棱锥底面边长为6,侧棱长为5,则此棱锥的侧面积为________.
5.画一个三棱台,再把它分成:
(1)一个三棱柱和另一个多面体;
(2)三个三棱锥,并用字母表示.
6. 已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6,侧棱长为2,求该三棱台的侧面积.
1.在理解的基础上,要牢记棱锥、棱台的定义,能够根据定义判断几何体的形状.
2.棱柱、棱台、棱锥关系图
参考答案:
知识梳理
试一试
1. A [棱锥的侧面都是三角形,所以底面和侧面相同只能是三角形.]
2.C [棱台的侧棱延长后相交于同一点,故C正确.]
3. B [根据棱锥的结构特征,知棱锥中不存在互相平行的多边形,故B错.]
4. ①③④ ⑥ ⑤ [结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱,⑥是棱锥,⑤是棱台.]
学习过程
思考:(1)解答:如图所示的几何体,各个面都是三角形,但该几何体不是三棱锥.
(2)解答:不一定,如图.
例1. 解:(1)直线PA与直线CD异面,直线面ABCDEF=A
(3)因为的面积为:.故棱锥的侧面积为:
(2)作出棱锥的高PO,因为是正六棱锥,所以O是底面的中心,连接OC,可知OC=1
在中,可知: ;
设BC的中点为M,由为等腰三角形可知, ,因此PM为斜高,从而
【变式练习】
∵AO=2,OB=2,∴AB=2.
又∵S侧=4××4×2=16,
S底=4×4=16,∴S表=S侧+S底=16+16.
概念辨析
1.答案 (1)× (2)
2. 答案:D 棱台的侧面是梯形,一定不会是平行四边形,故A错;B中侧棱不一定交于一点;C中底面不一定是正方形.
例2.解:(1)因为是正三棱台,所以侧面都是全等的等腰梯形。
如图所示,在梯形中,分别过作AC的垂线与,
则由
可知 ,从而 ,即斜高为.
(2)根据与分别为下底面和上底面的中心,以及下底面边长和上底面的边长分别为2,1,
可以算出:
假设正三棱台是由正棱锥截去正棱锥得到的,
则由已知可得
VO是棱锥的高,是棱锥的高,是所求棱锥的高.
因此是一个直角三角形,画出这个三角形,
如图所示,则是的中位线.
因为棱台的棱长为1,所以,从而
因此: 因此棱台的高为:
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
达标检测
1. [答案] (1)√ (2)× (3)×
2.D [在三棱锥ABCD中,任何一个三角形都可作为棱锥的底面,所以有4个.]
3. B [剩余几何体为四棱锥A′BCC′B′.]
4. 48 [正四棱锥的斜高h′==4,S侧=4××6×4=48.]
5. [解] 画三棱台一定要利用三棱锥.
① ②
(1)如图①所示,三棱柱是棱柱A′B′C′AB″C″,另一个多面体是C′B′BCC″B″.
(2)如图②所示,三个三棱锥分别是A′ABC,B′A′BC,C′A′B′C.
6. 解:设正三棱台侧面梯形的高为h′,则h′= =2.
∴S棱台侧=3×(d+d′)h′=3×(2+6)×2=24.
即该三棱台的侧面积为24.
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