2021学年第一章 集合与函数概念1.3 函数的基本性质本节综合教案及反思

函数的基本性质

教学目标

1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。

（2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．

（3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。

重点与难点

（1）判断或证明函数的单调性；

（2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。

教学过程

一、                     函数的单调性

1．单调函数的定义

（1）增函数：一般地，设函数的定义域为：如果对于属于内某个区间上的任意两个自变量的值、,当时都有，那么就说在这个区间上是增函数。

（2）减函数：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值、,当时都有，那么就说在这个区间上是减函数。

（3）单调性：如果函数在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做的单调区间。

2、单调性的判定方法

（1）定义法：

判断下列函数的单调区间：

（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。

（3）复合函数的单调性的判断：

设，，，都是单调函数，则在上也是单调函数。

①若是上的增函数，则与定义在上的函数的单调性相同。

②若是上的减函数，则与定义在上的函数的单调性相同。

即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的

单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）

练习：（1）函数的单调递减区间是          ，单调递增区间为              ．

（2）的单调递增区间为                  ．

3、函数单调性应注意的问题：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．

②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．

③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数

4．例题分析

证明：函数在上是减函数。

证明：设任意，∈（0，+∞）且，

则，

由，∈（0，+∞），得，又，得，

∴，即

所以，在上是减函数。

说明：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：不能说

是原函数的单调递减区间；

练习：1．．根据单调函数的定义，判断函数的单调性。

2．根据单调函数的定义，判断函数的单调性。

二、函数的奇偶性

1．奇偶性的定义：

（1）偶函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。例如：函数, 等都是偶函数。

（2）奇函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数。例如：函数，都是奇函数。

（3）奇偶性：如果函数是奇函数或偶函数，那么我们就说函数具有奇偶性。

说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：

（1）其定义域关于原点对称；

（2） 或必有一成立。

因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算，看是等于还是等于，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。

（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。

（4）函数既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足也满足。

（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于轴对称，反过来，如果一个函数的图形关于轴对称，那么这个函数是偶函数。

（6）奇函数若在时有定义，则．

2、函数的奇偶性判定方法

（1）定义法

（2）图像法

（3）性质罚

3．例题分析：

判断下列函数的奇偶性：

（1） （     ） （2）（   ）

说明：在判断与的关系时，可以从开始化简；也可以去考虑或；当不等于0时也可以考虑与1或的关系。

五．小结：1．函数奇偶性的定义；         

2．判断函数奇偶性的方法；

3．特别要注意判断函数奇偶性时，一定要首先看其定义域是否关于原点对称，否则将会导致结论错误或做无用功。

三、函数的最大值或最小值

1．最大值的定义：

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

⑴对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

⑵存在x0∈I，使得f(x0) = M

那么，称M是函数y=f(x)的最大值．

2

①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；

②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．

仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义．

3．例题分析：

例4．（教材P35例4）求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．

解：（略）

巩固练习：（教材P36练习5）

基础练习：

一、选择题、每个题目中，只有一个选项是正确的。

1、函数f(x)=+是（ C  ）

A、奇函数      B、偶函数   C、既是奇函数又是偶函数    D、非奇非偶函数2．在区间上为增函数的是                                          （B    ）

A．  B．  

C．        D．

3．函数是单调函数时，的取值范围 （   B ）

A．  B．  C ． D．

4．如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有  （  A  ）

A．最大值        B．最小值  C ．没有最大值 D． 没有最小值

5．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是   （   C ）

A．y=2x＋1  B．y=3x2＋1 

C．y=  D．y=2x2＋x＋1

6．函数y=(x－1)-2的减区间是_（_1，＋∞）