高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质教案

第2课时　函数的最大(小)值

(教师独具内容)

课程标准：1.理解函数最大(小)值的含义并会用符号语言表达函数的最大(小)值.2.会求简单函数的最大(小)值.3.会运用函数的图象理解和研究函数的最值．

教学重点：1.函数最大(小)值的含义及其几何意义.2.求一些简单函数的最值．

教学难点：求较复杂函数的最值.

【知识导学】

知识点一　　　函数的最大值

(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

①∀x∈I，都有f(x)≤M；

②∃x0∈I，使得f(x0)＝M.

那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．

(2)几何意义：函数y＝f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标．

知识点二　　　函数的最小值

(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

①∀x∈I，都有f(x)≥M；

②∃x0∈I，使得f(x0)＝M.

那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．

(2)几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象最低点的纵坐标．

【新知拓展】

(1)并不是每一个函数都有最值，如函数y＝，既没有最大值，也没有最小值．

(2)有些函数只有最大(小)值，没有最小(大)值，如函数y＝－x2(y＝x2)．

(3)特别地，对于常函数f(x)＝C，它的最大值和最小值都是C.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)任何函数都有最大值或最小值．(　　)

(2)函数的最小值一定比最大值小．(　　)

(3)若函数y＝f(x)有最大值，则这个最大值唯一．(　　)

(4)若函数y＝f(x)的最大值是M，则使f(x0)＝M的x0是唯一的．(　　)

(5)对于函数y＝f(x)，如果它的函数值都不小于3，那么该函数的最小值是3.(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×

2．做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)函数f(x)＝x2在[0,1]上的最大值是________．

(2)函数y＝在[2,6]上的最大值与最小值之和等于________．

(3)函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________．

答案　(1)1　(2)　(3)4

题型一  利用图象求函数最值

例1　(1)已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值；

(2)画出函数f(x)＝的图象，并写出函数的单调区间，函数的最小值．

[解]　(1)作出函数f(x)的图象(如图)．

由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1；当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，

故f(x)的最大值为1，最小值为0.

(2)f(x)的图象如图所示，

f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f(0)＝－1.

金版点睛

图象法求最值的一般步骤

　求函数y＝|x＋1|－|x－2|的最大值和最小值．

解　y＝|x＋1|－|x－2|

＝

作出函数的图象，如图所示．

由图可知，y∈[－3,3]．所以函数的最大值为3，最小值为－3.

题型二  利用单调性求函数最值

例2　求函数f(x)＝x＋在x∈[1,3]上的最大值与最小值．

[解]　设1≤x1＜x2≤3，则f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋－＝(x1－x2).

又因为x1<x2，所以x1－x2<0.

当1≤x1＜x2≤2时，1－<0，

所以f(x1)－f(x2)>0，

所以f(x)在[1,2]上单调递减．

当2<x1<x2≤3时，1－>0，

所以f(x1)－f(x2)<0.

所以f(x)在(2,3]上单调递增．

所以f(x)的最小值为f(2)＝2＋＝4.

又因为f(1)＝5，f(3)＝3＋＝<f(1)，

所以f(x)的最大值为5.

金版点睛

利用单调性求函数最值

(1)利用函数的单调性求函数最值是常用方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法．

(2)注意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之间的关系进行辨析；注意对问题中求最值的区间的端点值的取舍．

　求函数y＝在区间[1,2]上的最大值和最小值．

解　令f(x)＝，∀x1，x2∈[1,2]，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－

＝

＝，

因为1≤x1＜x2≤2，

所以2<x1＋x2<4，

即6<3(x1＋x2)＜12，又1<x1x2<4，x2－x1>0，

故f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

所以函数y＝在区间[1,2]上单调递减，

所以ymax＝f(1)＝－，ymin＝f(2)＝－4.

题型三  求二次函数的最值

例3　(1)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f(x)的最值；

(2)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值；

(3)已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]，求函数f(x)的最小值；

(4)已知函数f(x)＝x－2－3，求函数f(x)的最值．

[解]　(1)∵函数f(x)＝x2－2x－3图象的开口向上，对称轴x＝1，

∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f(0)＝f(2)．

∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，

f(x)min＝f(1)＝－4.

(2)由(1)知对称轴x＝1，

①当1≥t＋2即t≤－1时，

f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，

f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3.

②当≤1<t＋2，即－1<t≤0时，

f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，

f(x)min＝f(1)＝－4.

③当t≤1<，即0<t≤1时，

f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，

f(x)min＝f(1)＝－4.

④当1<t，即t>1时，

f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，

f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.

设函数最大值为g(t)，最小值为φ(t)，则有

g(t)＝

φ(t)＝

(3)f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2的图象开口向上，且对称轴为直线x＝a.

当a≥1时，函数图象如图①所示，函数f(x)在区间[－1,1]上单调递减，最小值为f(1)＝3－2a；

当－1＜a＜1时，函数图象如图②所示，函数f(x)在区间[－1,1]上先单调递减后单调递增，最小值为f(a)＝2－a2；

当a≤－1时，函数图象如图③所示，函数f(x)在区间[－1,1]上单调递增，最小值为f(－1)＝3＋2a.

(4)设＝t(t≥0)，则x－2－3＝t2－2t－3.

∵y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，

∴当t＝1，即x＝1时，f(x)min＝－4，无最大值．

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二次函数最值的求法

(1)探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象判断函数的单调性．对于“定对称轴变区间”“变对称轴定区间”的情况，特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．

(2)二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：①对称轴在定义域的右侧；②对称轴在定义域的左侧；③对称轴在定义域区间内．

(3)对某些函数，可通过换元，转化为二次函数，如函数f(x)＝x－2－3.

　(1)已知函数f(x)＝x4－2x2－3，求函数f(x)的最值；

(2)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；

(3)求函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值g(t)．

解　(1)设x2＝t(t≥0)，则x4－2x2－3＝t2－2t－3.

令y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．

∴当t＝1，即x＝±1时，f(x)min＝－4，无最大值．

(2)∵函数图象的对称轴是x＝a，

∴当a<2时，f(x)在[2,4]上单调递增，

∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.

当a>4时，f(x)在[2,4]上单调递减，

∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.

当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.

∴f(x)min＝

(3)f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为x＝1.

当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图①所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，∴最小值为g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；

当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图②所示，最小值为g(t)＝f(1)＝1；

当t>1时，函数图象如图③所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递增，∴最小值为g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.

综上可得，g(t)＝

题型四  应用题中的最值问题

例4　某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：

R(x)＝其中x是仪器的月产量(单位：台)．

(1)将利润表示为关于月产量的函数f(x)；

(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)

[解]　(1)月产量为x台，则总成本为(20000＋100x)元，

从而f(x)＝

(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25000，

当x＝300时，f(x)max＝25000；

当x>400时，f(x)＝60000－100x是减函数，f(x)<60000－100×400＝20000<25000.

∴当x＝300时，f(x)max＝25000.

即每月生产300台仪器时公司所获利润最大，最大利润为25000元．

金版点睛

解实际应用题的四个步骤

(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系．

(2)建模：建立数学模型，列出函数关系式．

(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围)．

(4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案．

　某水厂蓄水池有水450吨，水厂每小时向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水量为80 吨，现在开始向池中注水并同时向居民供水，多少小时后蓄水池中水量最少？

解　设t小时后，池中水量为y吨，

则y＝450＋80t－80＝4(－10)2＋50，

当＝10，即t＝5时，ymin＝50，

所以，5小时后蓄水池中水量最少，只有50吨．

1．函数f(x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大、最小值分别为(　　)

A．3,0   B．3,1

C．3，无最小值   D．3，－2

答案　C

解析　观察图象可以知道，图象的最高点坐标是(0,3)，从而其最大值是3；另外从图象看，无最低点，即该函数不存在最小值．故选C.

2．已知函数f(x)＝x2－2，其中x∈[0,2]，这个函数的最大值和最小值分别为(　　)

A．－2和1   B．2和－2

C．2和－1   D．－1和2

答案　B

解析　∵f(x)＝x2－2在区间[0,2]上单调递增，

∴ymax＝f(2)＝2，ymin＝f(0)＝－2.

3．长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少时，面积S最大，此时x的值为(　　)

A.  B．1  C.  D．2

答案　B

解析　∵S＝(4＋x)＝－x2＋x＋12

＝－(x－1)2＋，

又∵即0<x<6，

∴当x＝1时，S取最大值.故选B.

4．函数f(x)＝(x∈[3,5])是________函数(填“增”或“减”)，它的最大值是________，最小值是________．

答案　减　6　2

解析　易知函数是减函数，从而f(x)的最大值是f(3)＝6，最小值是f(5)＝2.

5．已知二次函数y＝x2－4x＋5，分别求下列条件下函数的最小值：

(1)x∈[－1,0]；(2)x∈[a，a＋1]．

解　(1)∵二次函数y＝x2－4x＋5图象的对称轴为x＝2且开口向上，

∴二次函数在x∈[－1,0]上单调递减．

∴ymin＝02－4×0＋5＝5.

(2)当a≥2时，函数在x∈[a，a＋1]上单调递增，

ymin＝a2－4a＋5；

当a＋1≤2，即a≤1时，函数在[a，a＋1]上单调递减，

ymin＝(a＋1)2－4(a＋1)＋5＝a2－2a＋2；

当a<2<a＋1，即1<a<2时，

ymin＝22－4×2＋5＝1.

故函数的最小值为