高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置教案

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系

1、直线与圆的位置关系

设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由

消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.

2、圆与圆的位置关系

设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：

3、判断直线与圆的位置关系的常见方法

（1）几何法：利用d与r的关系.

（2）代数法：联立方程之后利用Δ判断.

（3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.

上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.

4、圆的切线方程

（1）过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.

（2）过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

（3）过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.

（4）过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程；当斜率不存在时，要加以验证.

5、弦长的两种求法

（1）代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.

（2）几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.

题型一　弦长问题

例 1　已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数（  ）

A．-2 B．-4 C．-6 D．-8

【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】

由题意：圆心，，

设圆心到直线的距离为，

∴，

∵，

∴，

∴．

1、（多选）已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（    ）

A．圆的圆心为

B．圆被轴截得的弦长为8

C．圆的半径为5

D．圆被轴截得的弦长为6

【答案】ABCD

【解析】

【分析】

将圆一般方程化为标准方程，可求得圆心和半径，即可判断AC是否正确，再令和，算出弦长可判断BD是否正确.

【详解】

由圆的一般方程为，则圆，

故圆心为，半径为，则AC正确；

令，得或，弦长为6，故D正确；

令，得或，弦长为8，故B正确.

故选：ABCD.

2、圆截直线所得的弦长为___________．

【答案】8

题型二　直线与圆

例 2　已知圆C的圆心为(1，1)，直线与圆C相切.

（1）求圆C的标准方程；

（2）若直线过点(2，3)，且被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.

【答案】（1）；（2）或．

【解析】

【分析】

（1）利用点到直线的距离可得：圆心到直线的距离．根据直线与圆相切，可得．即可得出圆的标准方程．

（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程：，即：，可得圆心到直线的距离，又，可得：．即可得出直线的方程．②当的斜率不存在时，，代入圆的方程可得：，解得可得弦长，即可验证是否满足条件．

【详解】

（1）圆心到直线的距离．

直线与圆相切，．

圆的标准方程为：．

（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程：，

即：，，又，．

解得：．

直线的方程为：．

②当的斜率不存在时，，代入圆的方程可得：，解得，可得弦长，满足条件．

综上所述的方程为：或．

1、已知，则直线过定点__________；若直线与圆恒有公共点，则半径r的取值范围是__________.

【答案】       

【解析】

【分析】

将直线化简成点斜式的形式得：，可得直线的斜率为且经过定点，利用定点在圆内或圆上，从而得到答案．

【详解】

解：将直线化简为点斜式，可得，

直线经过定点，且斜率为．

即直线过定点恒过定点．

和圆恒有公共点，

，即半径的最小值是1，

故答案为：；．

2、已知圆的方程为．

（1）求过点且与圆相切的直线的方程；

（2）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程；

【答案】(1)或 （2）或

【解析】

【分析】

（1）当斜率不存在时，满足题意；当斜率存在时，设，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得；综合两种情况得到结果；

（2）由（1）知斜率存在，设，由垂径定理可知，从而构造出关于的方程，解方程求得结果.

【详解】

（1）当斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，满足题意；

当斜率存在时，设直线方程为：，即

圆圆心坐标为，半径

圆心到直线的距离，解得：

直线方程为，即

综上所述：过点且与圆相切的直线的方程为：或

（2）由（1）知，直线斜率存在，可设其方程为

设圆心到直线距离为

即，解得：或

直线的方程为或，即或

题型三　圆与圆

例 3　圆与圆内切，则的值为______.

【答案】或

【分析】

首先根据题中圆的标准方程求出圆的圆心与半径，再根据两圆相切求出的值为.

【详解】

圆的圆心为，半径为，

圆的圆心为，半径为，

所以两圆的圆心距，

又因为两圆内切，有，

解得或.

故答案为：或.

1、两圆和的位置关系是（   ）

A．内切 B．外离 C．外切 D．相交

【答案】D

【解析】

【分析】

根据两圆方程求解出圆心和半径，从而得到圆心距；根据得到两圆相交.

【详解】

由题意可得两圆方程为：和

则两圆圆心分别为：和；半径分别为：和

则圆心距：

则    两圆相交

本题正确选项：

2、以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0公共弦为直径的圆的方程为________．

【答案】x2＋y2－4x＋4y－17＝0

题型四　圆中性质应用

例 4 已知直线：与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

画出图像,当直线过点时,求出值;当直线与曲线相切时.求出,即可得出的取值范围.

【详解】

画出如下图像：

当直线过点时,,此时直线与

曲线有两个公共点;

直线与曲线相切时,,

因此当时，直线与

曲线有两个公共点.

故选B

（多选）实数，满足，则下列关于的判断正确的是（    ）

A．的最大值为 B．的最小值为

C．的最大值为 D．的最小值为

【答案】CD

【解析】

【分析】

由题意可得方程为圆心是，半径为1的圆，则为圆上的点与定点的斜率的值，由点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系可得选项．

【详解】

由题意可得方程为圆心是，半径为1的圆，

则为圆上的点与定点的斜率的值，

设过点的直线为，即，

则圆心到到直线的距离，即，整理可得，解得，

所以，即的最大值为，最小值为.

故选：CD.

1、已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程是 (　 　)

A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋7)2＝9

C．(x－5)2＋(y＋7)2＝15 D．(x＋5)2＋(y－7)2＝25

【答案】A

【解析】

设动圆圆心为，且半径为1，又圆的圆心为，半径为4，由两圆相外切，得，即动圆圆心的轨迹是以为圆心、半径为5的圆，其轨迹方程为；故选A.

2、直线与圆相切，则实数等于（ ）

A．或 B．或 C．或 D．或

【答案】C

3、若圆的圆心到直线的距离为，则的值为_________.

【答案】4或2

【解析】

【分析】

利用圆心到直线的距离构建关于的方程，解方程后可得的值.

【详解】

圆的圆心为，它到直线的距离为，

故或.

故答案为：4或2.

4、过点引圆的切线，则切线长为________．

【答案】4.

【解析】

【分析】

求出点到圆心的距离和圆的半径，利用勾股定理求得切线长．

【详解】

由圆的标准方程，

得到圆心坐标，半径，

又点与的距离，

由直线为圆的切线，得到为直角三角形，

根据勾股定理得：．

则切线长为．

故答案为：4．

5、已知圆的方程为，若圆过点，则______．若圆心在直线上．则______．

【答案】1    2   

【解析】

【分析】

通过点的坐标代入圆的方程，得到m值；求出圆的圆心代入直线方程，即可得到m值即可.

【详解】

解：圆C的方程为x2+y2﹣2x﹣2my＝0，若圆C过点（0，2），

则4﹣4m＝0，解得m＝1；

圆的圆心（1，m），圆心C在直线2x﹣y＝0上，

可得2﹣m＝0，解得m＝2；

故答案为：1；2.

6、已知相交两圆，圆，公共弦所在直线方程为___________，公共弦的长度为___________.

【答案】       

7、已知以点为圆心的圆与直线：相切，过点的动直线与圆相交于、两点，是的中点.

（1）求圆的方程；

（2）当时，求直线的方程.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

【分析】

（1）设出圆的半径，根据以点为圆心的圆与直线相切．点到直线的距离等于半径，我们可以求出圆的半径，进而得到圆的方程；（2）根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以结合直线过点，求出直线的斜率，进而得到直线的方程.

【详解】

（1）设圆的半径为，由于圆与直线相切，

，

圆的方程为；

（2）①当直线与轴垂直时，易知符合题意；

②当直线与轴不垂直时，

设直线的方程为，即，

连接，则

，，

则由，得，直线．

故直线的方程为或.

8、已知圆．

求该圆的圆心坐标；

过点做该圆的切线，求切线的方程．

【答案】（1）圆心的坐标为；（2）切线的方程为．

【解析】

【分析】

根据题意，将圆的方程变形为标准方程，分析可得圆心坐标，即可得答案；

根据题意，由圆的方程分析可得点恰好在圆上，求出直线AC的斜率，分析可得切线的斜率，据此分析可得答案．

【详解】

解：根据题意，圆，其标准方程为，

则其圆心的坐标为；

根据题意，圆的方程为，

而点恰好在圆上，

又由，则切线的斜率，

则切线的方程为．

9、已知圆过点，且与圆关于直线对称.

（1）求圆的方程；

（2）若直线过点,且与圆C相交于、两点，当时，求直线的方程.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

【分析】

（1）设圆心的坐标,由圆心与圆心关于直线对称,列出方程组求出圆心,再求半径,即可写出圆的方程;

（2）设过的直线方程为,由圆心到切线的距离,与半径和代入勾股定理,即可求出斜率,再写出切线方程.

【详解】

解：（1）设圆心,则

解得则圆C的方程为,

将点代入得,

故圆C的方程为;

（2）设过的直线方程为,

即：

由圆心到直线的距离,

半径和代入,

,解得或;

所以直线的方程为或.

【点睛】

本题考查了直线和圆的方程的应用问题,也考查了点到直线的距离公式以及关于直线对称的圆的方程问题,是综合性题目.

10、已知曲线表示一个圆.

（1）求实数m的取值范围；

（2）当时，若圆C与直线交于A，B两点（其中C为圆心），是直角三角形，求实数a的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据方程表示圆的条件，列式即可解出；

（2）先由圆的方程求出圆心和半径，再根据题意以及圆的几何知识可知，圆心到直线的距离为，列式即可解出．

【详解】

（1）由题意可知，，

即，∴．

（2）∵，∴，即可知圆心坐标为，半径．

∵是直角三角形，∴，∴，

即，化简得   ∴．