人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线教案

3.3 抛物线

1、抛物线的定义

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.

(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).

2、抛物线的标准方程与几何性质

3、注意

（1）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.

（2）抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径.

题型一 抛物线的标准方程

例1　抛物线的准线方程是，则的值为（   ）

A． B． C．8 D．-8

【答案】B

若抛物线的准线与椭圆相切，则a＝（    ）

A．﹣4或4 B．4 C．﹣8或8 D．8

【答案】A

【解析】

【分析】

先写出抛物线的准线方程，再利用已知条件得到，即可得出结果.

【详解】

因为抛物线的准线方程为，

若抛物线的准线与椭圆相切，

则，

题型二 定义应用

例 2　已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【解析】

【分析】

过点作准线的垂线，由抛物线的定义和三角形相似、可知，，进而可求得结果。

【详解】

如图所示：

过点作交于点，利用抛物线定义得到.

设准线交x轴于点，因为，

所以，又焦点到准线的距离为4，所以，

所以.

故选B.

已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，若，则线段的中点到直线的距离为(  )

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】B

【解析】

【详解】

【分析】

如图所示：

抛物线

的焦点为,准线为,即，分别过作准线的垂线,垂足为,则有，过的中点作准线的垂线,垂足为,则为直角梯形中位线,则,即到准线的距离为.故选.

题型三　性质应用

例 3　已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（    ）

A．点的坐标为

B．若直线过点，则

C．若，则的最小值为

D．若，则线段的中点到轴的距离为

【答案】BCD

【解析】

【分析】

由抛物线标准方程写出焦点坐标判断A，根据焦点弦性质判断B，由向量共线与焦点弦性质判断C，利用抛物线定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，结合中点坐标公式判断D．

【详解】

解：易知点的坐标为，选项A错误；

根据抛物线的性质知，过焦点时，，选项B正确；

若，则过点，则的最小值即抛物线通经的长，为，即，选项C正确，

抛物线的焦点为，准线方程为，过点，，分别做准线的垂直线，，，垂足分别为，，，所以，.

所以，所以线段

所以线段的中点到轴的距离为，选项D正确．

故选：BCD．

抛物线y2＝－12x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据抛物线、双曲线的方程，写出抛物线的准线方程、双曲线的渐近线方程，联立方程可求准线与两条渐近线的交点坐标，进而可求三角形的底边长和高，即可求三角形的面积。

【详解】

由抛物线的方程y2＝－12x可知准线方程为，由双曲线的方程可得两条渐近线的方程分别为，由，可得，同理可得，由图可知弦长AB＝，三角形的高为3，

∴面积为S＝.

题型四　最值问题

例 4　已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点坐标为，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

作出图形，过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，从而得出，再由、、三点共线时，取最小值得解.

【详解】

如下图所示：

过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，

，当且仅当、、三点共线时，等号成立，

因此，的最小值为.

故选：A.

已知抛物线方程为，点在此抛物线上运动，则点与点之间的距离的最小值为______________.

【答案】

【解析】

【分析】

由于点在抛物线上运动，所以设，则，然后整理配方可求得结果

【详解】

解：不妨设（），则.

当时，取得最小值

故答案为：

题型五　向量在抛物线中的应用

例 5　已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（    ）

A．8 B．4 C．6 D．3

【答案】D

【解析】

【分析】

设点、，由，可计算出点的横坐标的值，再利用抛物线的定义可求出.

【详解】

设点、，易知点，，，，

解得，因此，，故选D.

已知抛物线的焦点为，点满足.

（1）求抛物线的方程；

（2）过点的直线交抛物线于两点，当时，求直线的方程.

【答案】（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）根据点在抛物线上及，即可求得得值，从而可求出抛物线的方程；（2）易知直线斜率必存在，设，，，由，可得，联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理，即可求出，从而可求出直线的方程.

试题解析：（1）由条件易知在抛物线上，，                                         

故，即抛物线的方程为；                                  

（2）易知直线斜率必存在，设，，，   

①，                                        

联立得即，         

由得，且②， ③，                                    

由①②③得，即直线. 

题型六　直线与抛物线

例 6　已知双曲线C的离心率为，点在双曲线上，且抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合.

（1）求双曲线和抛物线的标准方程；

（2）过焦点F作一条直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为时，求线段的长度.

【答案】（1）；；（2）.

【解析】

【分析】

（1）设双曲线的方程为（，），根据双曲线C的离心率为和点在双曲线上，得到关于，的方程组解方程组可求双曲线的方程，则抛物线的焦点可求，其方程易解.

（2）联立直线l和抛物线方程，得到两根之和，根据抛物线的焦半径公式易求线段的长度.

【详解】

解：（1）设双曲线的方程为（，），由题设

所以①，又点在双曲线上，所以②

由①②解得，，

故双曲线标准方程为；

设双曲线的焦距为，因为，得，

所以抛物线焦点为，

即，所以抛物线的标准方程为.

（2）设直线交抛物线于，，

联立，得，故，

由抛物线定义知，，

所以.

设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点、，线段中点的横坐标为，且．

（Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）若直线（斜率存在）经过焦点，求直线的方程．

【答案】（I）；（II）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）设点、，由题意得出，再利用抛物线的定义可求出的值，由此可得出抛物线的方程；

（Ⅱ）设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出的值，即可得出直线的方程.

【详解】

（I）设点、，则线段中点横坐标为，

，又，解得.

因此，抛物线的标准方程为；

（II）由（I）知，抛物线的焦点为，

故可设直线的方程为，，联立方程组，消去，

得，，解得，

因此，直线的方程为．

1、若抛物线y2=2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为_____．

【答案】

【解析】

【分析】

求得点M的坐标，将点M到该抛物线焦点的距离转化为点M到抛物线y2=2x的准线的距离即可．

【详解】

设点M ，∵|MO|=

∴∴y2=2或y2=-6（舍去），∴x==1

∴M到抛物线y2=2x的准线x=-的距离d=1-（-）=

∵点M到抛物线焦点的距离等于点M到抛物线y2=2x的准线的距离，

∴点M到该抛物线焦点的距离为

故答案为.

2、斜率为的直线经过抛物线的焦点且与抛物线交于、两点，则线段的长为________．

【答案】

【解析】

【分析】

先根据抛物线的焦点坐标得出抛物线的标准方程，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式可计算出线段的长.

【详解】

由于抛物线的焦点为，则，

所以，抛物线的方程为，设点、，

直线的方程为，联立，消去得，

，．

故答案为：.

3、设、是抛物线上不同的两点，线段的垂直平分线为，若，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

根据线段的垂直平分线方程可得出直线的斜率，由此利用点差法可得出关于的等式，进而可求得实数的值.

【详解】

由题知，，，两式相减得，

所以，由题知，所以，所以.

故答案为：.

4、已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．

【答案】2

【解析】

【分析】

利用点差法得到AB的斜率，结合抛物线定义可得结果.

【详解】

详解：设

则

所以

所以

取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为

因为,

，

因为M’为AB中点，

所以MM’平行于x轴

因为M(-1,1)

所以，则即

故答案为2.

5、已知定点A(－3,0)，B(3,0)，动点P在抛物线y2＝2x上移动，则的最小值等于_________.

【答案】

【解析】

【分析】

设，将点坐标代入题目所给向量数量积的条件，利用抛物线方程进行化简，最后用二次函数的知识求得最小值.

【详解】

设，则，因为，所以，故当时，取得最小值为-.

6、已知抛物线上的一点到焦点的距离等于3．

（1）求抛物线的方程；

（2）若过点的直线与抛物线相交于，两点，求面积的最小值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据抛物线的定义得出到准线的距离为3，列方程解出；

（2）设方程为，与抛物线方程联立方程组得出，两点纵坐标的关系，得出的面积关于的函数，求出最小值即可．

【详解】

（1）抛物线的准线方程为，

到焦点的距离为，

．

抛物线方程为．

（2）设的方程为．

联立方程组，得．

设，，，，则，．

．

．

时，取得最小值．

【点睛】

本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．

7、已知点是抛物线C：上的点，F为抛物线的焦点，且，直线l：与抛物线C相交于不同的两点A，B.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若，求k的值.

【答案】（1）；（2）1或.

【解析】

【分析】

(1)根据抛物线的定义，即可求得p值；(2)由过抛物线焦点的直线的性质，结合抛物线的定义，即可求出弦长AB

【详解】

（1）抛物线C：的准线为，

由得：，得.

所以抛物线的方程为.

（2）设，，由，

，

∴，

∵直线l经过抛物线C的焦点F，

∴

解得：，

所以k的值为1或.