鲁教版 (五四制)九年级上册7 二次函数与一元二次方程学案及答案

二次函数与一元二次方程

【学习目标】

1．理解二次函数的图象与x轴的公共点个数与一元二次方程的根的判别式的关系。

2．理解一元二次方程（h是实数）的解是二次函数与直线的交点的横坐标，体会数学结合的数学思想。

3．经过探索二次函数和一元二次方程的关系过程，体会方程与函数的关系。

4．了解利用二次函数的图象，求一元二次方程的近似根的过程。

【学习重难点】

（一）重点：

1．体会方程与函数之间的联系。

2．理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根。

3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h（h是实数）交点的横坐标。

4．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。

5．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

（二）难点：

1．探索方程与函数之间的联系的过程。

2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。

3．利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

【学时安排】

2学时

【第一学时】

【学习过程】

一、温故知新

1．一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标为________________。

2．任意一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴有几个交点？

_______________________________________________________________________。

3．一元二次方程（a≠0）的根与其判别式有什么关系？

_______________________________________________________________________。

二、自主探究

（1）             （2）               （3）

1．观察图（1）、（2）、（3）你发现：

（1）与x轴有_____个公共点，其横坐标分别是_________________。

（2）与x轴有_____个公共点，其横坐标分别是_________________。

（3）与x轴有_____（有、无）公共点。

2．一元二次方程的判别式△____0，有_____个根，分别是_________________。

一元二次方程的判别式△____0，有__________个根，是_________________。

一元二次方程的判别式△____0，__________（有、无）实根。

3．函数与方程的关系是：

_______________________________________________________________________。

4．得到函数的图象与x轴的公共点坐标和方程的根有什么关系：

_______________________________________________________________________。

5．观察上述三个图象与x轴的公共点的坐标与其对应的一元二次方程的根的关系，可知：二次函数（a≠0）的图象与轴的公共点坐标和一元二次方程（a≠0）的根有什么关系？

_______________________________________________________________________。

6．从1和2、3中你能发现二次函数（a≠0）的图象与x轴的公共点个数与一元二次方程（a≠0）的根的判别式有什么关系？

_______________________________________________________________________。

7．一元二次方程（h是实数）的根可以看作是二次函数y=_____________与直线y=_____________的交点的横坐标。

我的疑问：

_______________________________________________________________________。

三、探究交流

自主探究中的内容，主要是5、6、7。

四、巩固新知

（一）初步应用。

1．不画图象说出下列二次函数与x轴的公共点各有几个。

（1）                （2）

（3）                （4）（a>0，c<0）

2．二次函数与x轴两交点的坐标为（2，0）、（－5，0），则一元二次方程的根是_____________。

3．函数的图象如图所示，那么关于的一元二次方程的根的情况是（    ）

A．有两个不相等的实数根     B．有两个异号的实数根

C．有两个相等的实数根       D．没有实数根

4．关于的二次函数的图像与轴有交点，则的范围是____________________。

5．一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式h=－4.9t＋19.6t来表示。其中t（s）表示足球被踢出后经过的间。

（1）t=1时，足球的高度是___________。

（2）t=_________时，h最大？

（3）球经过多长时间球落地？

（4）方程－4.9t＋19.6t =0的根的实际意义是____________________。

（5）方程14.7=－4.9t＋19.6t的根的实际意义是____________________。

6．已知二次函数y=x－2x－8。

（1）求证：该二次函数的图像与轴一定有两个不同交点；

_______________________________________________________________________。

（2）若这个函数的图像与轴交点为，，顶点为，求△的面积。

_______________________________________________________________________。

（二）能力提升。

7．二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中错误的是（    ）

A．a>0     

B．b2－4ac＞0

C．ax+bx+c=0的两根之和为负

D．ax+bx+c=0的两根之和为正

8．一次函数y=5x+4与二次函数的图像的交点坐标是________________。

9．函数的图像与轴有且只有一个交点，求a的值及交点坐标。

_______________________________________________________________________。

五、自我评价，检测反馈

（一）本节课你有哪些收获？还有哪些疑惑？预习时的疑难解决了吗？

（二）当堂检测：

1．抛物线y=x－2x＋3与x轴的交点为__________________。

2．抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的图象全部在x轴下方的条件是（    ）

A．a＜0，b2－4ac≤0    B．a＜0，b2－4ac＞0

C．a＞0，b2－4ac＞0    D．a＜0，b2－4ac＜0

3．已知二次函数y=x－2(m－1)x＋m－7与x轴有两个不同的公共点求k的取值范围。若抛物线与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为（3，0），求点B的坐标。

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六、课外自评

已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，顶点的纵坐标为，若，是方程的两根，且。

（1）求，两点坐标；

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

（2）求抛物线表达式及点坐标；

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

（3）在抛物线上是否存在着点，使△面积等于四边形面积的2倍，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由。

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【第二学时】

【学习过程】

一、知识回顾

1．二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的公共点个数和一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式有什么关系？

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

2．二次函数y=x2+x+1，∵b2－4ac=____________∴函数图象与x轴____________交点。

3．二次函数y=2(x+3)(x－1)与x轴的交点的个数有_______个，交点坐标为___________。

求下列二次函数的图象与x轴的交点个数，

（1）；           （2）。

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

4．二次函数的图象与x轴的交点坐标是（－1，0）和（2，0），并且它经过点（－3，5），求这个函数的表达式。

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

已知抛物线（m为常数）与x轴交于A，B两点，且线段AB的长为，求m的值。

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二、探究新知

例1．你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x－10=0的根吗？

解：在直角坐标系中作出二次函数y=x2+2x－10的图象。由图象可知，方程有两个根，一个在－5和－4之间，另一个在2和3之间。

利用计算器进行计算得：

因此，估计x=－4.3是方程的一个近似根.

因此，估计x=2.3是方程的另一个近似根。

请自己用一元二次方程求根公式验证一下，看结果是否相同。

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三、课堂练习

利用二次函数的图象，求一元二次方程x2+2x－10=3的近似根。

【达标检测】

1．抛物线y=x2－2x+1的对称轴是（    ）

A．直线x=1   B．直线x=－1   C．直线x=2  D．直线x=－2

2．如图5所示，二次函数y=x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，则△ABC的面积为（    ）

A．6    B．4    C．3    D．1

3．关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c＞0时且函数的图象开口向下时，ax2+bx+c=0必有两个不等实根；③函数图象最高点的纵坐标是；④当b=0时，函数的图象关于y轴对称。其中正确的个数是（    ）

A．1个           B．2个       C．3个        D．4个

4．抛物线y=于x轴交于点A、B，顶点为P，则△PAB的面积是（    ）

A．         B．          C．           D．12

5．关于x的一元二次方程(a－1)x2+x+a2－1=0的一个根是0，则a的值为（    ）

A．1      B．－1       C．1或－1     D．0.5

6．二次函数y=x2－2x+3的最小值为（    ）

A．4    B．2    C．1   D．－1

7．已知一次函数与，它们在同一坐标系内的大致图象是（    ）

A．                  B．              C．            D．

8．函数y=ax2－ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个交点，那么交点坐标为_____________________；

9．若二次函数的图象经过点（－4，0），（2，6），则这个二次函数的解析式为_____________________。

10．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也都是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3。请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：_____________________。

11．已知：二次函数y=x2－2(m－1)x+m2－2m－3，其中，m为实数。

（1）不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴总有两个交点；

（2）设这个二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1、x2的倒数和为，求这个二次函数的解析式。

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

12．已知抛物线（m为常数）与x轴交于A，B两点，且线段AB的长为1。

（1）求m的值；

_______________________________________________________________________________________。

（2）若该抛物线的顶点为P，求的面积。

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

13．已知抛物线过点A（－2，0）、B（1，0）、C（0，2）三点。

（1）求此抛物线的解析式；

_______________________________________________________________________________________。

（2）在这条抛物线上是否存在点P，使∠AOP=45°？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。