初中数学鲁教版 (五四制)九年级上册第三章 二次函数7 二次函数与一元二次方程优秀教案设计

二次函数与一元二次方程(第二课时)

教学目标

(一)教学知识点

1．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．

2．进一步发展估算能力．

(二)能力训练要求

1．经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验．

2．利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想．

(三)情感与价值观要求

通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力．

教学重点

1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．

2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．

教学难点

利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．

教学方法

学生合作交流学习法．

教学过程

一、创设问题情境，引入新课

师：方程、函数是两种不同的数学思想，但它们之间却有着千丝万缕的联系。例如一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如果令y＝0，可以得到哪个方程？如果令y＝1呢？

这节课我们继续来研究二次函数与一元二次方程的关系。

出示复习题：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点为（-1，0），（3，0），则一元二次方程ax2+bx+c=0的根为_______。

总结：一元二次方程ax2+bx+c=0的根与二次函数y=ax2+bx+c的图象有什么关系呢？一元二次方程ax2+bx+c=1的根呢？一元二次方程ax2+bx+c=-5的根呢？

从而引导学生总结出：

⑴一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标。

⑵一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=h交点的横坐标。

启发思考：根据刚才的分析，如果要求一个一元二次方程的根，除了以前的方法，还可以怎样求呢？（图象的方法）因为在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算。导入新课。

设计意图：复习二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系，使学生明确二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y＝0时的一元二次方程的根，继而延伸到一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=h交点的横坐标。于是，在不解方程的情况下，只要知道二次函数与某条直线交点的横坐标即可．从而为下一步探究活动做好知识铺垫。

二、合作交流，探索新知

1、探究活动一：利用二次函数的图象估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的根．

 ⑴小组讨论：怎样利用图象估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的根。

交流：可以利用二次函数y=x2＋2x－10的图象来分析，该二次函数的图象与x轴的交点的横坐标就是这个方程的根。

⑵出示图象：引导学生说出方程的根的个数及范围。

小组探究：利用计算器进一步将根的值取到十分位。

要求：①小组合作，利用计算器进行探索,结果精确到十分位。

②将探究过程用表格形式记录下来

教师巡视指导，了解各组探究情况。

⑶小组交流。

生1：有关估算问题我们在前面已学习过了，即是用试一试的方法进行的．既然一个根在－5与－4之间，那这个根一定是负4点几，所以个位数就确定下来了，接着确定十分位上的数，这时可以用试一试的方法，即分别把x＝－4.1，－4.2，…，－4.9代入方程进行计算，哪一个值能使y=0或接近0，则这个值就是方程的根(或近似根)．

生2：从图象上看，x的取值应大于－4.5，所以可以只代入－4.1，－4.2，－4.3，－4.4这四个数进行计算，利用计算器进行探索．

从上表可知，当x取－4.1，－4.2，－4.3，－4.4时，y的值都不等于0，所以x的取值还不准确，应继续估计百分位上的数，十分位上的数字应取y的值和零最接近的数字．所以x应取－4.3，因此，x＝－4.3是方程的一个近似根．

师：有了上面的分析和结果，求另一个近似根就不困难了，请大家继续．

生：一个根在2与3之间，应是2点几，再用计算器进行探索．

所以x＝2.3是方程的一个近似根。

2、探究活动二：利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根．

师：可以利用哪一个函数图象求方程x2＋2x－10＝3的近似根呢？

预设1：利用函数y＝x2＋2x－13的图象求方程x2＋2x－10＝3的近似根．

出示函数y＝x2＋2x－13的图象，让学生分析估根过程。

生：由图可知，图象与x轴的两个交点的横坐标中，一个在－5与－4之间，一个在2与3之间，因此两个根分别为负4点几和2点几，下面用计算器进行探索．

因此x＝－4.7是方程的一个近似根．

另一个根可以类似地求出：

因此x＝2.7是方程的另一个近似根．

由图可知两根分别为x＝－4.7和x＝2.7．

总结：将它化成一元二次方程的一般式ax2＋bx＋c＝0后，即可利用二次函数图象与x轴的交点的横坐标来求方程的根。

预设2：利用函数y＝x2＋2x－10的图象与直线y＝3的交点的横坐标求方程x2＋2x－10＝3的解．

引导学生分析：先作二次函数y＝x2＋2x－10的图象，再作直线y=3，两图象交点的横坐标就是方程的根。

根据图象和对应的表格，你认为方程的第一个近似根应该是多少呢？

分析：二次函数的图象与直线x=3的交点的纵坐标是多少？也就是x的值应满足对应的函数值y等于或接近多少呢？

引导学生分析得出，方程的解应满足y=3，因此方程的一个根为x=-4.7

继续出示下表，求第二个近似根。

3、结合探究活动二的两种方法，总结归纳用图象法求一元二次方程的近似根的方法。

设计意图：探究活动二是活动一的一个提升，求类似于一元二次方程ax2+bx+c=h的根既可以转化为一般式ax2+bx+c-h=0进行常规分析，也可以利用二次函数y=ax2+bx+c和直线 y=h的图象来分析。两种方法的分析可以让学生尝试多方面多角度研究问题，学会知识的迁移。其中 第二种方法的难点在方程的根是二次函数与直线y=3的交点的横坐标，因此x的值应满足y=3，而非y=0即与x轴的交点的情况。.

三、运用提高，形成技能

1、要估计一元二次方程-2x2+x+3=0的根的情况，可以借助函数（   ）的图象。

A y= -2x2       B y= - 2x2+x – 3    C y= -2x2+x+3   D y= -2x2+ 3

2、根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个根的范围是

A. 3< x < 3.23      B. 3.23  < x < 3.24    C. 3.24 <x< 3.25    D.  3.25 <x< 3.26

链接问题1：方程ax2+bx+c =0的一个近似根是多少？

连接问题2：方程ax2+bx+c = -0.05的一个近似根是多少？

3、小兰画了一个y= x2+ax +b的图象如图，则方程 x2+ax +b =0的根为（     ）。

A 无解           B    x=1    C x=﹣4         D  x1=1， x2=﹣4

4、利用二次函数的图象求一元二次方程 2x2+x-15=0 的近似根.

5、能力挑战：利用二次函数y=2x2与一次函数y=x+2的图象，求一元二次方程 2x2=x+2的近似根。

设计意图：练习层次分明，在让学生形成成就感的同时，有利于培养学生的探究学习习惯。

四、小结提升，渗透德育

1、本节课有哪些收获？

运用数形结合和转化思想，利用图象法估计一元二次方程的近似根

2、观看《厉害了，我的国》片段，体会知识间的转化和结合的重要性，渗透爱国主义教育

设计意图：本节课学习的是一元二次方程的图象解法，对一元二次方程来说，图象解法看起来意义并不大，但这种求近似解的方法却体现了一种数形结合和转化的思想方法，因此在这里重在数学思想的总结，同时结合《厉害了，我的国》中从天眼探空到蛟龙探海，从神舟飞天到高铁奔驰这些中国智造，让学生认识到知识技术间转化结合的巨大魅力，同时激发了学生的爱国情怀。

五、课后作业

1.基础题:同步测试卷

2.选做题: 练习册p117 第6题

板书设计：