数学九年级上册6 二次函数的应用导学案及答案

二次函数的应用

【学习目标】

1．掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值。学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题。

2．经历探索商品销售中最大利润等问题的过程。

3．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值。

4．会建立适当的直角坐标系，能准确求出二次函数的解析式。

5．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系。

6．经历探索实际问题的过程，感受数学模型思想和数学的应用价值。

【学习重点】

1．应用二次函数解决图形有关的最值问题。

2．会根据实际问题列出二次函数关系式，并能运用二次函数的知识求出其最大（小）值。

3．分析和表示变量之间的二次函数关系，求函数解析式。

【学习难点】

1．由图中找到二次函数表达式。

2．分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，正确地列出二次函数关系式。

3．探索实际问题，构建函数模型。

【学时安排】

3学时

【第一学时】

【学习过程】

一、例题及练习

（一）例1：如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上。

（1）设矩形的一边AB=x cm，那么AD边的长度如何表示？

（2）设矩形的面积为y m2，当x取何值时，y的最大值是多少？

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

练习：

1．如图（1），在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上，设矩形的一边CF=x cm。当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

2．如图（2），在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形OEGF的面积最大是多少？

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

3．如图（3），已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上。G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm，S△ABC为30cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积。

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

（二）例2：某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有的黑线的长度和）为15m。当x等于多少时，窗户通过的光线最多（结果精确到0.01m）？此时，窗户的面积是多少？

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

练习：

某建筑物窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形。制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m。当x等于多少时，窗户透过的光线最多（结果精确到0.01m）？此时，窗户的面积是多少？

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

【第二学时】

【学习过程】

一、复习回顾

1．二次函数的一般形式是：__________________________________________，其顶点坐标为（_________，_________）。

2．写出下列表格中二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值。

二、情境导入

服装厂生产某品牌的T恤衫，每件的成本是10元。根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件。

请你帮助分析：厂家批发单价是多少时，可以获利最多？

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

三、自主探究

1．探究一：

设批发单价为x（10＜x≤13）元，那么：

（1）销售量可以表示为_____________________，化简得_________________________。

（2）销售额可以表示为______________________，化简得_________________________。

（3）所获利润可以表示为___________________，化简得_________________________。

（4）因为表示利润的二次函数的顶点坐标为（_________，_________），所以当批发单价是_______元时，可以获得最大利润，最大利润是_________。

根据探究一完成例题：

某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满。经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间。不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

2．探究二：

某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。

（1）假设增重x棵橙子树，那么果园里共有_______________棵橙子树，这时平均每棵树结_________________个橙子，橙子的总产量是_______________________________，化简后得_______________。

（2）利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系。

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

（3）增种多少棵橙子，可以使橙子的总产量在60400个以上？

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四、随堂练习

1．关于二次函数y=ax2＋bx＋c的图象有下列命题：

①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c＞0且函数图象开口向下时，方程ax2＋bx＋c=0必有两个不等实根；③当a＜0，函数的图象最高点的纵坐标是；④当b=0时，函数的图象关于y轴对称。其中正确命题的个数有（    ）。

A．1个     B．2个     C．3个     D．4个

2．二次函数y=x2－8x+c的最小值为0，那么c的值等于（    ）。

A．4     B．8     C．－4     D．16

3．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元。用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

4．某商场以每件20元的价格购进一批商品，如果以每件30元销售，那么半月内可售出400件。根据销售经验，销售单价每提高1元，半月内的销售量就相应减少20件。如何提高售价，才能在半月内获得最大利润？

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【第三学时】

【学习过程】

一、自主预习

1．例题：某公司的大门呈抛物线形，大门底部宽AB为4m，顶部C距地面的高度为4.4m。

（1）试建立适当的直角坐标系，求抛物线的解析式；

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

（2）一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.65米，装货宽度为2.4m，那么这辆汽车能否顺利通过大门？

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

2．预习导航。

请自学例题，在10分钟内，完成下列预习问题：

（1）请建立适当的平面直角坐标系。

（2）在该坐标系中，点A、B、C的坐标依次是_______、_______、_______；

（3）根据函数图象，我们设出二次函数的解析式是_________________；

（4）根据三个点的坐标，请求出抛物线的解析式。

3．问题解答。

解：

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

4．学习疑惑。

通过预习，我的（发现/疑惑）是__________________________________。

二、自主探究

（一）疑惑交流。

1．点评：预习中存在问题。

2．思考：在坐标系中，如何来判断“车辆能否顺利通过大门”？

________________________________________________________________________________________。

3．交流：结合坐标轴，讨论解题方法的灵活性。

4．讨论：请独立思考后，总结此类问题的一般解法是什么？

请用①②③来表述。

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

（二）知识研讨。

请根据所提供的坐标系，完成变式练习：

变式1：

在该情景中，如果装货宽度为2.4米的汽车能够顺利通过大门，那么货物顶部距地面的最大高度是多少？（精确到0.01m）

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

变式2：

在该情景中，若该门口的路面改为双车道，货车是否可以顺利通过呢？

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

变式3：

改为双车道后，为了安全起见，在正中间设有宽为0.4m的隔离带，此时，车辆还能顺利通过吗？

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

（三）探究。

1．结合三个变式，进一步体会“用二次函数模型解实际问题”的思路。

2．对于此类问题，你还有什么疑惑吗？若有，请说明。

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（四）学习建议。

1．要有坐标系。

2．要有关键点。

3．注意自变量。

三、课堂小结

1．本节课我们接触了几种实际生活情境？问题的处理方式相同吗？

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

2．利用二次函数模型解决问题时，最需要注意的是什么？

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

3．通过“实际问题数学化”的探究，你最深的感受是什么？

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4．对于本节课，你还有哪些疑惑和困难？

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