鲁教版 (五四制)九年级上册第三章 二次函数7 二次函数与一元二次方程教案

这是一份鲁教版 (五四制)九年级上册第三章 二次函数7 二次函数与一元二次方程教案，共9页。教案主要包含了课时安排，第一课时，教学目标，教学重点，教学难点，教学方法，教学过程，第二课时等内容，欢迎下载使用。

【课时安排】
2课时
【第一课时】
【教学目标】
（一）教学知识点。
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。
3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h（h是实数）交点的横坐标。
（二）能力训练要求。
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神。
2．通过观察二次函数图像与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。
3．通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识。
（三）情感与价值观要求。
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
2．具有初步的创新精神和实践能力。
【教学重点】
1．体会方程与函数之间的联系。
2．理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根。
3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h（h是实数）交点的横坐标。
【教学难点】
1．探索方程与函数之间的联系的过程。
2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
【教学方法】
讨论探索法。
【教学过程】
一、创设问题情境，引入新课
师：我们学习了一元一次方程kx＋b＝0（k≠0）和一次函数y＝kx＋b（k≠0）后，讨论了它们之间的关系。当一次函数中的函数值y＝0时，一次函数y＝kx＋b就转化成了一元一次方程kx＋b＝0，且一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图像与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx＋b＝0的解。
现在我们学习了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）和二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题。
二、讲授新课
（一）例题讲解
展示例题：
我们已经知道，竖直上抛物体的高度h（m）与运动时间t（s）的关系可以用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0（m）是抛出时的高度，v0（m/s）是抛出时的速度。一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起，小球的高度h（m）与运动时间t（s）的关系如下图所示，那么：
1．h与t的关系式是什么？
2．小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴进行交流。
3．师：请大家先发表自己的看法，然后再解答。
生：（1）h与t的关系式为h＝－5t2＋v0t＋h0，其中的v0为40m/s，小球从地面被抛起，所以h0＝0。把v0，h0代入上式即可求出h与t的关系式。
（2）小球落地时h为0，所以只要令h＝－5t2＋v0t＋h0。中的h为0，求出t即可。
还可以观察图像得到。
师：很好。能写出步骤吗？
生：解：
（1）∵h＝－5t2＋v0t＋h0，
当v0＝40，h0＝0时，
h＝－5t2＋40t。
（2）从图像上看可知t＝8时，小球落地或者令h＝0，得：
－5t2＋40t＝0，
即t2－8t＝0。
∴t（t－8）＝0。
∴t＝0或t＝8。
t＝0时是小球没抛时的时间，t＝8是小球落地时的时间。
（二）议一议
展示：
二次函数：
1．y＝x2＋2x，
2．y＝x2－2x＋1，
3．y＝x2－2x＋2的图像如下图所示。
（1）每个图像与x轴有几个交点？
（2）一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个根？用判别式验证一下：一元二次方程x2－2x＋2＝0有根吗？
（3）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？
4．师：还请大家先讨论后解答。
生：（1）二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图像与x轴分别有两个交点，一个交点，没有交点。
（2）一元二次方程x2＋2x＝0有两个根0，－2；方程x2－2x＋1＝0有两个相等的根1或一个根1；方程x2－2x＋2＝0没有实数根。
（3）从观察图像和讨论中可知，二次函数y＝x2＋2x的图像与x轴有两个交点，交点的坐标分别为（0，0），（－2，0），方程x2＋2x＝0有两个根0，－2；
二次函数y＝x2－2x＋1的图像与x轴有一个交点，交点坐标为（1，0），方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根（或一个根）1；二次函数y＝x2－2x＋2的图像与x轴没有交点，方程x2－2x＋2＝0没有实数根。
由此可知，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根。
师：大家总结得非常棒。
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根。
（三）想一想
在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？
师：请大家讨论解决。
生：在式子h＝－5t2＋v0t＋h0中，当h0＝0，v0＝40m/s，h＝60m时，有
－5t2＋40t＝60，
t2－8t＋12＝0，
∴t＝2或t＝6。
因此当小球离开地面2秒和6秒时，高度都是60m。
三、课堂练习
四、课时小结
（一）本节课学了如下内容：
1．经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系。
2．理解了二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解了何时方程有两个不等的实根。两个相等的实根和没有实根。
【第二课时】
【教学目标】
（一）教学知识点
1．能够利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根。
2．进一步发展估算能力。
（二）能力训练要求
1．经历用图像法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图像法求方程近似根的体验。
2．利用图像法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想。
（三）情感与价值观要求
通过利用二次函数的图像估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图像与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力。
【教学重点】
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
2．能够利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根。
【教学难点】
利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根。
【教学方法】
学生合作交流学习法。
【教学过程】
一、创设问题情境，引入新课
师：上节课我们学习了二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的关系，懂得了二次函数图像与x轴交点的横坐标，就是y＝0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可。但是在图像上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算。本节课我们将学习利用二次函数的图像估计一元二次方程的根。
二、讲授新课
（一）利用二次函数的图像估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的根。
展示：
下图是函数y＝x2＋2x－10的图像。
师：从图像上来看，二次函数y＝x2＋2x－10的图像与x轴交点的横坐标一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间，所以方程x2＋2x－10＝0的两个根一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间。这只是大概范围，究竟更接近于哪一个数呢？请大家讨论解决。
生：有关估算问题我们在前面已学习过了，即是用试一试的方法进行的。既然一个根在－5与－4之间，那这个根一定是负4点几，所以个位数就确定下来了，接着确定十分位上的数，这时可以用试一试的方法，即分别把x＝－4.1，－4.2，……，－4.9代入方程进行计算，哪一个值能使等式成立（或哪一个值能使等式近似成立），则这个值就是方程的根（或近似根）。
师：由于计算比较烦琐，所以大家可以用计算器进行计算。
生：从图像上看，x的取值应大于－4.5，所以可以只代入－4.1，－4.2，－4.3，－4.4这四个数进行计算，利用计算器进行探索。
从上表可知，当x取－4.1，－4.2，－4.3，－4.4时，y的值都不等于0，所以x的取值还不准确，应继续估计百分位上的数，十分位上的数字应取y的值和零最接近的数字。所以x应取负的4点3几。再按同样的方法求百分位上的数字。依次类推，即可求出比较准确的x的值。
师：大家的分析非常到位、确实应按这样的步骤进行，但我们的重点是求解方程的思路，而不是求解的结果。因此本书规定用图像法求一元二次方程的近似根时，结果只取到十分位。
生：因此，x＝－4.3是方程的一个近似根。
师：有了上面的分析和结果，求另一个近似根就不困难了，请大家继续。
生：另一个根在2与3之间，应是2点几，再用计算器进行探索。
由于当x＝2.3时，y的值最接近0，所以另一个根的近似值为x＝2.3。
师：还有其他的方法吗？
生：有，可以把－5与－4之间的线段十等分再判断交点更接近于哪一个分点。如上题中的两个根可以这样求：
展示：
（二）做一做。
利用二次函数的图像求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根。
师：我们可以根据上面的方法来求方程的近似根。但是还与上面的题型不太一样。上面的题是利用二次函数y＝x2＋2x－10的图像估计方程x2＋2x－10＝0的根，现在我们应该利用哪一个函数图像求方程x2＋2x－10＝3的根呢？
生甲：利用函数y＝x2＋2x－13的图像求方程x2＋2x－10＝3的近似根。
生乙：也可以在上题的基础上进行，利用函数y＝x2＋2x－10的图像与直线y＝3的交点的横坐标求方程x2＋2x－10＝3的解。
师：究竟哪一种方法正确呢？我们下面就来验证一下。
生甲：函数y＝x2＋2x－13的图像如下图：
由图可知，图像与x轴的两个交点的横坐标中，一个在－5与－4之间，一个在2与3之间，因此两个根分别为负4点几和2点几，下面用计算器进行探索。
因此x＝－4.7是方程的一个近似根。
另一个根可以类似地求出：
因此x＝2.7是方程的另一个近似根。
生乙：分别画出函数y＝x2＋2x－10的图像和直线y＝3，找它们交点的横坐标即可。
由图可知两根分别为x＝－4.7和x＝2.7。
三、课堂练习
四、课时小结
本节课学习的内容：
（一）经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系；
（二）经历了用图像法求一元二次方程的近似根的过程，获得了用图像法求方程近似根的体验。
（三）理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h（h是实数）交点的横坐标，发展估算能力。
五、活动与探究
一元二次方程x2－4x＋2＝－1的根与二次函数y＝x2－4x＋2的图像有何关系？请你把方程的根在图像上表示出来。
解：一元二次方程x2－4x＋2＝－1的根可以看成函数y＝x2－4x＋2的图像与直线y＝－1的交点的横坐标。
图像略。
x
－4.1
－4.2
－4.3
－4.4
y
－1.39
－0.76
－0.11
0.56
x
2.1
2.2
2.3
2.4
y
－1.39
－0.76
－0.11
0.56
x
－4.5
－4.6
－4.7
－4.8
－4.9
y
－1.75
－1.04
－0.31
0.44
1.21
x
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
y
－1.75
－1.04
－0.31
0.44
1.21