初中数学22.1 一元二次方程教学设计及反思

课  题：23.2 一元二次方程的解法

第七课时 一元二次方程解法（七）

＆.教学目标：

1、使学生能根据量之间的关系，列出一元二次方程解应用题，并检验解的合理性。

2、联系实际，让学生进一步经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程。

3、获得更多运用数学知识分析和解决实际问题的方法和经验，更好地体会数学的价值观。

＆.教学重点、难点：

重点：寻找等量关系，即实际问题转化成一元二次方程的模型，并根据实际问题检验解。

难点：建立数学模型解决实际问题。

＆.教学过程：

一、知识回顾

1、解一元二次方程有几种解法？它们分别是什么？

2、叙述列一元一次方程解应用题的一般步骤？

3、用多种方法解方程.

二、探究新知

§.探究列一元二次方程解应用题.

问题1：绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，安排面积为平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多米，那么绿地的长和宽各是多少？

解析：设绿地的宽为米，则长为米，则可得方程，如何解答？

教学方法：让学生独立求解、思考、分析、共同交流。

解：设绿地的宽为米，则长为米，由题意，得

解得：，

问题2：所求、都是方程的解吗？

问题3：所求、都符合题意吗？通过解题给你什么启示？

§.概括：列一元二次方程解应用题的一般步骤：

列方程解应用题的关键是找等量关系，一般分这样几步：审、设、列、解、答。

（1）审：弄清题意和题目中的数量关系；

（2）设：即设未知数，设元分直接设元和间接设元；

（3）列：即列方程，这是非常重要的一步，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个等量关系列出方程；

（4）解：即求出所列方程的解；

（5）答：即书写答案，当然这首先要对求出的解检验，舍去不符合题意的解。在解答时，一般遵循“问什么答什么，怎样问就怎样答”的原则。

三、讲解例题，巩固新知

题型一：增长率问题的应用.

§.例1、一商店月份的利润是元，月份的利润达到元，这两个月的利润平均月增长率是多少？（精确到％）

解析：如果设利润的月平均增长率为，那么月份的利润是元，月份的利润是元，由此就可以列出方程求出答案。

解：设利润的月平均增长率为，根据题意，得：

∴、（舍去）

答：利润平均月增长率约为元。

注意：

（1）对于增长率问题，要注意月份是在月份的基础上增长的，月份是在月份的基础上增长的，解题时要逐步进行分析。

（2）关于几次平均增长（或降低）率问题，若是增长（或降低）的基础数量，是平均增长（或降低）率，为增长（或降低）的次数，是增长（或降低）后的数量，平均增长率相同时，符合基本关系式：，在应用此关系时要具体问题具体分析，不要死记硬套，在根据题意列出方程并解得的值后，还要依据的条件，做符合题意的解答。

同步练习：

（1）一公司成立三年来，累积向国家上交利税万元，其中第一年上交只有万元，求上交利税的平均年增长率。

（2）某药品经过两次降价，每瓶零售价由元降为元.已知两次降价的百分率相同，求这两次降价的百分率。

题型二：面积问题的应用.

§.例2、学校生物小组有一块长，宽的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为，小道的宽应是多少？（注意演变）

解析：问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作出图，不难发现小道的占地面积与位置无关。设道路宽为，则两条小道的面积分别为和，其中重叠部分小正方形的面积为，根据题意，得：.

解：设道路宽为，则两条小道的面积分别为和，其中重叠部分小正方形的面积为，根据题意，得：

解得：，

经检验：，都是原方程的解，但不符合题意，舍去.

答：道路宽为.

试一试：如果设想把道路平移到两边，如图2所示，小道所占面积是否保持不变？在这样的设想下，列方程是否符合题目要求？是否方便些？

§.例3、有块矩形的空地，一边靠在长是的墙上，另三边由一根长为的铁丝围成，已知矩形空地的面积是，求矩形的长和宽。

解析：设垂直于墙的一边长为，根据面积为列出方程。

解：设垂直于墙的一边长为，则另一边长为，根据题意，得：

解得：，

当时，；当时，，都符合题意。

答：矩形的长和宽分别为和或和。

变式例题：对于上题，若将“一边靠在长是的墙上”改为“一边靠在长是的墙上”，解答是否一样？为什么？

§.例4、如图3，一块长和宽分别为和的长方形铁皮，要在它的四个角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为，求截去的正方形的边长。

教学方法：请同学们自己列出方程并解这个方程，讨论它的解是否符合题意。

解：设截去正方形的边长为，根据题意，得：

解得：，

经检验，不符合题意，舍去。

答：截去正方形的边长为厘米。

§.例5、用长的一根铁丝围成长方形。

（1）如果长方形的面积为，那么此时长方形的长是多少？宽是多少？如果面积是呢？

（2）能否围成面积是的长方形？为什么？

（3）能围成的长方形的最大面积是多少？

解析：长方形的面积等于长乘以宽，因而用含未知数的代数式表示长方形的长和宽，可以列出方程，当面积不确定时，只要方程有解，这样的长方形就存在。

解：（1）设长方形的宽为，则长为，根据题意，得：

即

解得：，（舍去）

∴当长方形的宽为，长为时，长方形的面积为.

同样，当面积为时，有

即

解得：，（舍去）

∴当长方形的宽为，长为时，长方形的面积为.

（2）当面积为时，有

即

此时

∴这样的长方形不存在.

（3）设围成的长方形面积为，则有

即

要使该方程有解，必须

即

∴最大的只能是，即最大面积为，此时围成的图形是正方形.

同步练习：要做一个容积为，高为，底面的长比宽多的无盖长方体铁盒，应选用多大尺寸的长方形铁片（精确到）。

四、巩固练习

教材  练习

五、课堂小结

通过本节课的学习，要求同学们

1、理解列一元二次方程解应用题的一般步骤及关键是寻找等量关系。

2、能熟练地利用一元二次方程解决实际问题。

六、课外作业

1、教材  习题 

2、选用课时作业：

（）某工厂第一季度的一月份生产电视机是万台，第一季度生产电视机的总台数是万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率。

（）如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题。

（1）在第个图中，每一横行共有          块瓷砖，每一竖列共有         块瓷砖（均用含的代数式表示）；

（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为，请写出与（1）中的关系式；

（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了块瓷砖，求此时的值；

（4）若黑瓷砖每块元，白瓷砖每块元，在问题（3）中，共需花多少元钱购买瓷砖？

（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明原因。

提示：观察各图形可知，当时，每一横行为，每一竖列为，当时，每一横行为，每一竖列为；当时，每一横行为，每一竖列为，…故第个图形中，每一横行为，每一竖列为.

解析：

（1），.

（2）由题意，得：.

（3）当时，，解得：，（舍去）

（4）由图形规律：白瓷砖块数为（块）；黑瓷砖块数为（块）

故共需（元）.

（5）根据题意，得：

化简为：

解得：，（舍去）

因为不为整数。

故不存在黑白瓷砖块数相等的情形。