初中数学华师大版九年级上册22.1 一元二次方程教学设计

课  题：23.2 一元二次方程的解法

第六课时 一元二次方程解法（六）

＆.教学目标：

1、理解一元二次方程根的判别式的推导过程。

2、灵活地应用一元二次方程根的判别式解决相关问题。

＆.教学重点、难点：

重点：一元二次方程根的判别式的灵活应用。

难点：一元二次方程根的判别式的推导理解。

＆.教学过程：

一、情景导入

1、解一元二次方程有几种解法？它们分别是什么？

2、请你用适当的方法解下列方程：

（1）        （2）     （3）

（4）       （5）      （6）

二、探究新知

§.探究一元二次方程根的判别式

问题1：用配方法解一元二次方程.

解析：引导学生独立完成，教师点拨。

答案：.

问题2：要使一元二次方程有解，应满足什么条件？

答案：.

问题3：试猜想一下，对于一元二次方程：

（1）当时，方程有怎样的实数根？

（2）当时，方程有怎样的实数根？

（3）当时，方程有怎样的实数根？

§.概括：一元二次方程根的判别式：

一元二次方程，叫做一元二次方程根的判别式，记作“”。

（1）当时，方程有两个不相等的实数根；

（2）当时，方程有两个相等的实数根；

（3）当时，方程无实数根。

注意：

（1）研究一元二次方程根的判别式首先将一元二次方程化为一般形式；

（2）对于判别式，是二次项系数，是一次项系数，是常数项。

三、讲解例题，巩固新知

题型一：不解方程，判定一元二次方程根的情况。

§.例1、不解方程，判定方程根的情况：

（1）       （2）      （3）

解析：要判定方程根的情况，只须求出根的判别式的值的正负情况即可。

解：（1）∵

∴原方程有两个不相等的实数根。

（2）原方程变形为：

∵

∴原方程有两个相等的实数根。

（3）原方程变形为：

∵

∴原方程没有实数根。

注意：利用判定方程根的情况，要先将方程整理成一般形式，再确定、、.

同步练习：不解方程，判定方程根的情况。

（1）       （2）          （3）

题型二：根据方程根的情况，确定方程中的待定系数.

§.例2、已知关于的方程.想一想：取什么值时，

（1）方程有两个不相等的实数根；

（2）方程有两个相等的实数根；

（3）方程没有实数根.

解析：要求的取值或取值范围，需得到的方程或不等式组，利用一元二次方程根的判别式即可。

答案：（1）；（2）；（3）.

§.例3、已知关于一元二次方程有两个实数根，求的取值范围。

解析：由方程根的情况，得关于的不等式，若二次项中存在字母系数，则系数不为，从以上两个方面确定字母的取值范围。

解：∵关于一元二次方程有两个实数根

∴，即

解得：

又∵

∴

故的取值范围为：且.

同步练习：已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值，并求出方程的解。

题型三：由方程根的情况，证明有关问题.

§.例4、已知方程有两个相等的实数根，求证：.

解析：要求，即求、、之间的关系，因为原方程有两个相等的实数根，所以，从而得、、之间的关系，整理即可。

证明：由题意，得：

即

∴

即.

§.例5、为任意实数，试说明方程恒有两个不相等的实数根。

解：由题意，得：

∵无论取何值，，即

∴方程恒有两个不相等的实数根。

同步练习：已知、、是的三边，且方程

有两个相等的实数根，试判断的形状。

四、巩固练习

教材  练习

五、课堂小结

通过本节课的学习，要求同学们

1、理解掌握一元二次方程根的判别式。

2、能熟练地利用一元二次方程根的判别式解决相关问题。