北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形2 矩形的性质与判定教学ppt课件

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矩形的定义矩形的边角性质矩形的对角线性质直角三角形斜边上中线的性质
下面图片中都含有一些特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
特别提醒:(1)由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行 四边形不一定是矩形．(2)矩形必须具备两个条件：①它是一个平行四边形； ②它有一个角是直角．这两个条件缺一不可.
例1：如图1-2-1，在ABCD 中，点E，F 分别为BC 边上的点，且BE=CF，AF=DE，求证： ABCD 是矩形.
解题秘方：紧扣矩形定义的“两个条件”进行证明.
解法提醒:由定义来判定矩形，要在确定平行四边形的前提下，证明有一个角是90° . 若在四边形的前提下，则需先证平行四边形，再证明有一个角是90° . 矩形的定义既是矩形的性质也是矩形的判定.
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB=CD，∠ B+∠C = 180° .∵ BE=CF，∴ BE+EF=CF+EF，即BF=CE.又∵ AF=DE，∴△ ABF ≌△ DCE.∴∠ B= ∠ C=90° .∴ ABCD 是矩形.
利用定义识别一个四边形是矩形，首先要证明四边形是平行四边形，然后证明平行四边形有一个角是直角.
想一想(1)矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质．你能列举一些这样的性质吗？(2)矩形是轴对称图形吗？ 如果是，它有几条对称轴？(3)你认为矩形还具有哪些特殊 的性质？与同伴交流.
矩形的性质：(1)矩形的四个角都是直角．(2)矩形具有平行四边形的所有性质．(3)矩形是轴对称图形，如图所示， 邻边不相等的矩形有两条对称轴．
任意画一个矩形，作出它的两条对角线，并比较它们的长．你有什么发现?已知：如图所示，四边形ABCD是矩形．求证：AC=DB．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°(矩形的性质定理1)．∵AB=CD(平行四边形的对边相等)，BC=CB．∴△ABC≌△DCB(SAS). ∴AC=DB．于是，就得到矩形的性质：矩形的对角线相等.
直角三角形斜边上中线的性质
议一议如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？
1、结论：定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.2、请你完成这个定理的证明.3、总结： (1)此性质与“含30°角的直角三角形性质”及“三角形中位线性质” 是解决线段倍分问题的重要依据； (2)“三角形中位线性质”适用于任何三角形；“直角三角形斜边上 的中线性质”适用于任何直角三角形；“含30°角的直角三角形 性质”仅适用于含30°角的特殊直角三角形； (3)直角三角形还具有以下性质：①两锐角互余；②两直角边的平 方和等于斜边平方．
例4： 如图1-2-6，BD，CE 分别是△ ABC 的两条高，M，N 分别是BC，DE 的中点.求证：MN ⊥ DE.
解题秘方：紧扣条件“N 为DE 的中点”和结论“MN ⊥ DE”，建立等腰三角形“三线合一”模型，结合直角三角形斜边上中线的性质求解.
解法提醒:1. 若题目中出现了一边的中点，往往需要用到中线；若又有直角，往往需要用到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质.2. 在直角三角形中，若遇斜边的中点，则常作斜边的中线，从而利用直角三角形斜边上的中线的性质把问题转化为等腰三角形的问题，利用等腰三角形的性质解决.
证明：连接EM，DM，如图1-2-6.∵ BD，CE 分别为△ ABC 的两条高，∴∠ BEC= ∠CDB=90° .在Rt △ BEC 中，∵ M 为斜边BC 的中点，∴ EM= BC.在Rt △ CDB 中，∵ M 为斜边BC 的中点，∴ DM= BC. ∴ EM=DM.又∵ N 为DE 的中点，∴ MN⊥DE.