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北师大版（2024）九年级上册第一章 特殊平行四边形2 矩形的性质与判定优秀练习
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这是一份北师大版（2024）九年级上册第一章 特殊平行四边形2 矩形的性质与判定优秀练习，文件包含专题12矩形的判定与性质十一大题型举一反三北师大版原卷版docx、专题12矩形的判定与性质十一大题型举一反三北师大版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共65页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16052" 【题型1 利用矩形的性质求角度】 PAGEREF _Tc16052 \h 1
\l "_Tc1537" 【题型2 利用矩形的性质求线段长】 PAGEREF _Tc1537 \h 2
\l "_Tc18631" 【题型3 利用矩形的性质求面积】 PAGEREF _Tc18631 \h 3
\l "_Tc6176" 【题型4 利用矩形的性质求坐标】 PAGEREF _Tc6176 \h 4
\l "_Tc32262" 【题型5 利用矩形的性质证明】 PAGEREF _Tc32262 \h 5
\l "_Tc16302" 【题型6 添加条件使四边形是矩形】 PAGEREF _Tc16302 \h 7
\l "_Tc4889" 【题型7 证明四边形是矩形】 PAGEREF _Tc4889 \h 8
\l "_Tc14434" 【题型8 利用矩形的性质与判定求角度】 PAGEREF _Tc14434 \h 9
\l "_Tc28636" 【题型9 利用矩形的性质与判定求线段长】 PAGEREF _Tc28636 \h 10
\l "_Tc413" 【题型10 利用矩形的性质与判定求面积】 PAGEREF _Tc413 \h 12
\l "_Tc22845" 【题型11 利用直角三角形斜边中线求解】 PAGEREF _Tc22845 \h 13
【知识点1 矩形的性质】
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
【题型1 利用矩形的性质求角度】
【例1】（2023春·贵州遵义·九年级统考期末）如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E．若∠DAE:∠BAE=3:1，则∠EAC的度数是（ ）
A．45°B．36°C．22.5°D．18°
【变式1-1】（2023春·黑龙江鸡西·九年级统考期中）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为______.
【变式1-2】（2023春·江苏淮安·九年级统考期中）如图，将矩形ABCD绕点B旋转得到矩形BEFG，点E在AD上，延长DA交GF于点H.
(1)求证：△ABE≅△FEH；
(2)连接BH，若∠EBC=30°，求∠ABH的度数．
【变式1-3】（2023春·广西南宁·九年级南宁二中校考期末）如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，点M为边BC上的一个动点，线段AM绕点A逆时针旋转60°得到线段AN，连接MN，DN.当线段DN的长度最小时，∠MND的度数为______．
【题型2 利用矩形的性质求线段长】
【例2】（2023春·黑龙江绥化·九年级绥化市第八中学校校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点Р满足3S△PAB=S▭ABCD，则点Р到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A．29B．34C．52D．41
【变式2-1】（2023春·河北唐山·九年级统考期中）如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，点P在对角线BD上，且BP=BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ．
(1)求证：△PDQ是等腰三角形；
(2)求CQ和BQ的长．
【变式2-2】（2023春·山东聊城·九年级统考期中）如图，矩形纸片ABCD沿过点C的直线MN折叠，恰使得点B落在边AD的中点E处，且AE=1，则矩形的边AB的长度为( )
A．1B．2C．3D．2
【变式2-3】（2023春·安徽亳州·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=2AB．点E在边AD上，点F在边BC上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则ED的长是________．
【题型3 利用矩形的性质求面积】
【例3】（2023春·河南三门峡·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC的长为4，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．23B．43C．83D．16
【变式3-1】（2023春·江苏·九年级期中）如图，过矩形ABCD对角线AC上一点E作MN∥AD，分别交AB和CD于点M和N，连接BE,DE，已知CN=2,ME=6，则△END和△BEM的面积和等于（ ）
A．10B．12C．14D．16
【变式3-2】（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）如图，矩形ABCD的周长为24cm，两条对角线相交于点O，过点O作BD的垂线EF，分别交BC、AD于点E、F，连接BF，且AF=3cm，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．24cm2B．28cm2C．32cm2D．36cm2
【变式3-3】（2023春·安徽芜湖·九年级统考期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，EF=1，OE=2，BD=43，则矩形ABCD的面积为________．
【题型4 利用矩形的性质求坐标】
【例4】（2023春·安徽黄山·九年级统考期末）如图，四边形ABCO是矩形，其中点A和点C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为12 ， 5，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则D点的坐标为__________．
【变式4-1】（2023春·广东阳江·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，AC＝6，则点A的坐标是____．
【变式4-2】（2023春·江苏苏州·九年级苏州草桥中学校考开学考试）如图，平面直角坐标系中，长方形OABC，点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，OA=6，OC=3，∠DOE=45°，OD，OE分别交BC，AB于点D，E，且CD=2，则点E坐标为______．
【变式4-3】（2023春·湖北十堰·九年级统考期中）如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴，y轴上，OA=OB=2，AD=42，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．(4,6)B．(6,4)C．(−6,4)D．(−4,6)
【题型5 利用矩形的性质证明】
【例5】（2023春·湖北孝感·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，点E在边DC上，AE=AB，过点B作BF⊥AE，垂足为F．
(1)求证：BF=BC；
(2)若AD=1，AF=2，求四边形BCEF的面积．
【变式5-1】（2023春·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期末）如图，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点O，∠BAC的角平分线交BD于点E．
(1)尺规作图：作∠ACD的角平分线交BD于点F，连接AF，CE；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴ ，AB∥CD．
∴ ．
∵AE平分∠BAC，CF平分∠ACD．
∴∠EAO=12∠BAO， ．
∴ ．
∵在△AEO和△CFO中，
∠EAO=∠FCOAO=CO∠AOE=∠COF．
∴△AEO≌△CFOASA．
∴ ．
又∵AO=CO．
∴四边形AECF是平行四边形（ 的四边形是平行四边形）．（填判定依据）
【变式5-2】（2023春·湖北武汉·九年级统考期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若AB=1，BC=2，请直接写出菱形OCED的面积．
【变式5-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接CE，F为CE中点，连接BF并延长交CD于G，N在AD边上，且∠DGN=∠BGC．
(1)求证：GF+GN=BF；
(2)连接BN，若∠BNG=90∘，求证：BG⊥CE.
【知识点2 矩形的判定方法】
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）.
【题型6 添加条件使四边形是矩形】
【例6】（2023春·上海黄浦·九年级统考期末）在□ABCD中，AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是( )
A．AC⊥BD；B．∠OAB=∠OAD；C．BA=BO；D．OB=OC．
【变式6-1】（2023春·山西阳泉·九年级统考期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE=CF，连接BE，ED，DF，FB．若添加一个条件使四边形BEDF是矩形，则该条件可以是______．（填写一个即可）
【变式6-2】（2023春·河北保定·九年级校联考期中）如图，在四过形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°．若再添加一个条件，不能推出四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．BC=3CDB．∠A=90°C．AD=BCD．AB∥CD
【变式6-3】（2023春·北京西城·九年级北京四中校考期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，只需添加一个条件，即可证明四边形EFCH是矩形，这个条件可以是______（写出一个即可）．
【题型7 证明四边形是矩形】
【例7】（2023春·广东惠州·九年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于点E．
(1)尺规作图：作∠CBD的平分线交CD于点F．
(2)在（1）的基础上，求证：DE=BF．
(3)在前面2问的基础上，若AD=BD，求证：四边形DEBF是矩形．
【变式7-1】（2023春·浙江温州·九年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，延长BC至点F，延长CB至点E，且BE=CF,DE=AF．求证：平行四边形ABCD是矩形．
【变式7-2】（2023春·全国·九年级期中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是OC上一点，点F在BE延长线上，且EF=BE，EF与CD交于点G．
(1)求证：DF∥AC；
(2)连接DE、CF，如果BF=2AB，且G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形．
【变式7-3】（2023春·河南周口·九年级统考期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点．
(1)求证：△ABE≅△CDF；
(2)延长AE至G，使EG=AE，连接CG，延长CF，交AD于点P，当AC=2AB时，试判断四边形EGCF是什么特殊的四边形，并说明理由．
【题型8 利用矩形的性质与判定求角度】
【例8】（2023春·江苏盐城·九年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE＝15°，求∠DOE；
【变式8-1】（2023春·广西河池·九年级统考期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，其中AD∥BC，AD＝BC，AC＝2OB，AE平分∠BAD交CD于点E，连接OE．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠OAE＝15°，
①求证：DA＝DO＝DE；
②直接写出∠DOE的度数．
【变式8-2】（2023春·江苏扬州·九年级统考期中）已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG，当θ＝_____°时，GC＝GB．
【变式8-3】（2023春·湖北武汉·九年级统考期中）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝110°．E为BC的中点，直线FG经过点E，DG⊥FG于点G，BF⊥FG于点F．
（1）如图1，当∠BEF＝70°时，求证：DG＝BF；
（2）如图2，当∠BEF≠70°时，若BC＝DC，DG＝BF，请直接写出∠BEF的度数；
（3）当DG－BF的值最大时，直接写出∠BEF的度数．
【题型9 利用矩形的性质与判定求线段长】
【例9】（2023春·安徽合肥·九年级校联考期中）如图，在矩形ABCD中，O是对角线BD中点．过O点的直线与矩形的一组对边AB，CD分别相交于点F，E．
(1)求证：OE=OF；
(2)点B′与B关于直线EF对称，连接BE，DB'，EB'，OB'．
①求证：DB′∥OE；
②若AB=8，BC=4，且四边形OEB′D是平行四边形，求线段EF长．
【变式9-1】（2023春·云南楚雄·九年级统考期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AD=4，∠AOD=60°，求AB的长．
【变式9-2】（2023春·北京·九年级校考期中）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，且BC=2AF．
(1)求证：四边形ADFE为矩形；
(2)若∠C=30°，AF=2，写出矩形ADFE的周长．
【变式9-3】（2023春·广东广州·九年级铁一中学校考开学考试）学习新知：如图1、图2，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP2+CP2=BP2+DP2．
（1）请在图1和图2中任意选择一个，证明：AP2+CP2=BP2+DP2．
（2）应用新知：如图3，在△ABC中，CA=4，CB=6，D是△ABC内一点，且CD=2，∠ADB=90°，求AB的最小值．
【题型10 利用矩形的性质与判定求面积】
【例10】（2023春·河北保定·九年级校考期中）矩形ABCD的边BC上有一动点E，连接AE、DE，以AE、DE为边作平行四边形AEDF．在点E从点B移动到点C的过程中，平行四边形AEDF的面积（ ）
A．先变大后变小B．先变小后变大C．一直变大D．保持不变
【变式10-1】（2023春·江苏宿迁·九年级沭阳县修远中学校考期末）如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A、C重合，过点P分别作边AB、AD的平行线，交两组对边于点E、F和G、H．四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形并且面积分别为S1，S2，则S1，S2之间的关系为__________．
【变式10-2】（2023春·北京西城·九年级校考期中）如图，菱形ABCD中，分别延长DC，BC至点E，F，使CE=CD，CF=CB，连接DB，BE，EF，FD.
(1)求证：四边形DBEF是矩形；
(2)若AB=4，∠A=60°，求矩形DBEF的面积.
【变式10-3】（2023春·湖北武汉·九年级统考期末）如图，点E、G分别是正方形ABCD的AD、BC边的中点，点F、H在对角线BD上．若四边形EFGH是矩形，则S矩形EFGHS正方形ABCD=_____．
【题型11 利用直角三角形斜边中线求解】
【例11】（2023春·重庆九龙坡·九年级统考期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC=66°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，则∠AED的大小是（ ）
A．62°B．64°C．66°D．68°
【变式11-1】（2023春·广东韶关·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为斜边AB上的一点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合．若AD=5，则AF的长为（ ）．
A．1B．3C．32D．74
【变式11-2】（2023春·广西南宁·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠ACD=3∠BCD，点E是斜边AB的中点，且CD=1，则AB的长为（ ）
A．2B．22C．3D．32
【变式11-3】（2023春·浙江台州·九年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，O是BC中点，∠BAC=∠BDC=90°，AB=AC，若BC=2AD，则∠DCB=______．
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16052" 【题型1 利用矩形的性质求角度】 PAGEREF _Tc16052 \h 1
\l "_Tc1537" 【题型2 利用矩形的性质求线段长】 PAGEREF _Tc1537 \h 2
\l "_Tc18631" 【题型3 利用矩形的性质求面积】 PAGEREF _Tc18631 \h 3
\l "_Tc6176" 【题型4 利用矩形的性质求坐标】 PAGEREF _Tc6176 \h 4
\l "_Tc32262" 【题型5 利用矩形的性质证明】 PAGEREF _Tc32262 \h 5
\l "_Tc16302" 【题型6 添加条件使四边形是矩形】 PAGEREF _Tc16302 \h 7
\l "_Tc4889" 【题型7 证明四边形是矩形】 PAGEREF _Tc4889 \h 8
\l "_Tc14434" 【题型8 利用矩形的性质与判定求角度】 PAGEREF _Tc14434 \h 9
\l "_Tc28636" 【题型9 利用矩形的性质与判定求线段长】 PAGEREF _Tc28636 \h 10
\l "_Tc413" 【题型10 利用矩形的性质与判定求面积】 PAGEREF _Tc413 \h 12
\l "_Tc22845" 【题型11 利用直角三角形斜边中线求解】 PAGEREF _Tc22845 \h 13
【知识点1 矩形的性质】
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
【题型1 利用矩形的性质求角度】
【例1】（2023春·贵州遵义·九年级统考期末）如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E．若∠DAE:∠BAE=3:1，则∠EAC的度数是（ ）
A．45°B．36°C．22.5°D．18°
【变式1-1】（2023春·黑龙江鸡西·九年级统考期中）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为______.
【变式1-2】（2023春·江苏淮安·九年级统考期中）如图，将矩形ABCD绕点B旋转得到矩形BEFG，点E在AD上，延长DA交GF于点H.
(1)求证：△ABE≅△FEH；
(2)连接BH，若∠EBC=30°，求∠ABH的度数．
【变式1-3】（2023春·广西南宁·九年级南宁二中校考期末）如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，点M为边BC上的一个动点，线段AM绕点A逆时针旋转60°得到线段AN，连接MN，DN.当线段DN的长度最小时，∠MND的度数为______．
【题型2 利用矩形的性质求线段长】
【例2】（2023春·黑龙江绥化·九年级绥化市第八中学校校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点Р满足3S△PAB=S▭ABCD，则点Р到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A．29B．34C．52D．41
【变式2-1】（2023春·河北唐山·九年级统考期中）如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，点P在对角线BD上，且BP=BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ．
(1)求证：△PDQ是等腰三角形；
(2)求CQ和BQ的长．
【变式2-2】（2023春·山东聊城·九年级统考期中）如图，矩形纸片ABCD沿过点C的直线MN折叠，恰使得点B落在边AD的中点E处，且AE=1，则矩形的边AB的长度为( )
A．1B．2C．3D．2
【变式2-3】（2023春·安徽亳州·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=2AB．点E在边AD上，点F在边BC上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则ED的长是________．
【题型3 利用矩形的性质求面积】
【例3】（2023春·河南三门峡·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC的长为4，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．23B．43C．83D．16
【变式3-1】（2023春·江苏·九年级期中）如图，过矩形ABCD对角线AC上一点E作MN∥AD，分别交AB和CD于点M和N，连接BE,DE，已知CN=2,ME=6，则△END和△BEM的面积和等于（ ）
A．10B．12C．14D．16
【变式3-2】（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）如图，矩形ABCD的周长为24cm，两条对角线相交于点O，过点O作BD的垂线EF，分别交BC、AD于点E、F，连接BF，且AF=3cm，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．24cm2B．28cm2C．32cm2D．36cm2
【变式3-3】（2023春·安徽芜湖·九年级统考期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，EF=1，OE=2，BD=43，则矩形ABCD的面积为________．
【题型4 利用矩形的性质求坐标】
【例4】（2023春·安徽黄山·九年级统考期末）如图，四边形ABCO是矩形，其中点A和点C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为12 ， 5，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则D点的坐标为__________．
【变式4-1】（2023春·广东阳江·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，AC＝6，则点A的坐标是____．
【变式4-2】（2023春·江苏苏州·九年级苏州草桥中学校考开学考试）如图，平面直角坐标系中，长方形OABC，点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，OA=6，OC=3，∠DOE=45°，OD，OE分别交BC，AB于点D，E，且CD=2，则点E坐标为______．
【变式4-3】（2023春·湖北十堰·九年级统考期中）如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴，y轴上，OA=OB=2，AD=42，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．(4,6)B．(6,4)C．(−6,4)D．(−4,6)
【题型5 利用矩形的性质证明】
【例5】（2023春·湖北孝感·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，点E在边DC上，AE=AB，过点B作BF⊥AE，垂足为F．
(1)求证：BF=BC；
(2)若AD=1，AF=2，求四边形BCEF的面积．
【变式5-1】（2023春·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期末）如图，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点O，∠BAC的角平分线交BD于点E．
(1)尺规作图：作∠ACD的角平分线交BD于点F，连接AF，CE；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴ ，AB∥CD．
∴ ．
∵AE平分∠BAC，CF平分∠ACD．
∴∠EAO=12∠BAO， ．
∴ ．
∵在△AEO和△CFO中，
∠EAO=∠FCOAO=CO∠AOE=∠COF．
∴△AEO≌△CFOASA．
∴ ．
又∵AO=CO．
∴四边形AECF是平行四边形（ 的四边形是平行四边形）．（填判定依据）
【变式5-2】（2023春·湖北武汉·九年级统考期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若AB=1，BC=2，请直接写出菱形OCED的面积．
【变式5-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接CE，F为CE中点，连接BF并延长交CD于G，N在AD边上，且∠DGN=∠BGC．
(1)求证：GF+GN=BF；
(2)连接BN，若∠BNG=90∘，求证：BG⊥CE.
【知识点2 矩形的判定方法】
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）.
【题型6 添加条件使四边形是矩形】
【例6】（2023春·上海黄浦·九年级统考期末）在□ABCD中，AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是( )
A．AC⊥BD；B．∠OAB=∠OAD；C．BA=BO；D．OB=OC．
【变式6-1】（2023春·山西阳泉·九年级统考期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE=CF，连接BE，ED，DF，FB．若添加一个条件使四边形BEDF是矩形，则该条件可以是______．（填写一个即可）
【变式6-2】（2023春·河北保定·九年级校联考期中）如图，在四过形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°．若再添加一个条件，不能推出四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．BC=3CDB．∠A=90°C．AD=BCD．AB∥CD
【变式6-3】（2023春·北京西城·九年级北京四中校考期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，只需添加一个条件，即可证明四边形EFCH是矩形，这个条件可以是______（写出一个即可）．
【题型7 证明四边形是矩形】
【例7】（2023春·广东惠州·九年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于点E．
(1)尺规作图：作∠CBD的平分线交CD于点F．
(2)在（1）的基础上，求证：DE=BF．
(3)在前面2问的基础上，若AD=BD，求证：四边形DEBF是矩形．
【变式7-1】（2023春·浙江温州·九年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，延长BC至点F，延长CB至点E，且BE=CF,DE=AF．求证：平行四边形ABCD是矩形．
【变式7-2】（2023春·全国·九年级期中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是OC上一点，点F在BE延长线上，且EF=BE，EF与CD交于点G．
(1)求证：DF∥AC；
(2)连接DE、CF，如果BF=2AB，且G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形．
【变式7-3】（2023春·河南周口·九年级统考期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点．
(1)求证：△ABE≅△CDF；
(2)延长AE至G，使EG=AE，连接CG，延长CF，交AD于点P，当AC=2AB时，试判断四边形EGCF是什么特殊的四边形，并说明理由．
【题型8 利用矩形的性质与判定求角度】
【例8】（2023春·江苏盐城·九年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE＝15°，求∠DOE；
【变式8-1】（2023春·广西河池·九年级统考期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，其中AD∥BC，AD＝BC，AC＝2OB，AE平分∠BAD交CD于点E，连接OE．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠OAE＝15°，
①求证：DA＝DO＝DE；
②直接写出∠DOE的度数．
【变式8-2】（2023春·江苏扬州·九年级统考期中）已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG，当θ＝_____°时，GC＝GB．
【变式8-3】（2023春·湖北武汉·九年级统考期中）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝110°．E为BC的中点，直线FG经过点E，DG⊥FG于点G，BF⊥FG于点F．
（1）如图1，当∠BEF＝70°时，求证：DG＝BF；
（2）如图2，当∠BEF≠70°时，若BC＝DC，DG＝BF，请直接写出∠BEF的度数；
（3）当DG－BF的值最大时，直接写出∠BEF的度数．
【题型9 利用矩形的性质与判定求线段长】
【例9】（2023春·安徽合肥·九年级校联考期中）如图，在矩形ABCD中，O是对角线BD中点．过O点的直线与矩形的一组对边AB，CD分别相交于点F，E．
(1)求证：OE=OF；
(2)点B′与B关于直线EF对称，连接BE，DB'，EB'，OB'．
①求证：DB′∥OE；
②若AB=8，BC=4，且四边形OEB′D是平行四边形，求线段EF长．
【变式9-1】（2023春·云南楚雄·九年级统考期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AD=4，∠AOD=60°，求AB的长．
【变式9-2】（2023春·北京·九年级校考期中）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，且BC=2AF．
(1)求证：四边形ADFE为矩形；
(2)若∠C=30°，AF=2，写出矩形ADFE的周长．
【变式9-3】（2023春·广东广州·九年级铁一中学校考开学考试）学习新知：如图1、图2，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP2+CP2=BP2+DP2．
（1）请在图1和图2中任意选择一个，证明：AP2+CP2=BP2+DP2．
（2）应用新知：如图3，在△ABC中，CA=4，CB=6，D是△ABC内一点，且CD=2，∠ADB=90°，求AB的最小值．
【题型10 利用矩形的性质与判定求面积】
【例10】（2023春·河北保定·九年级校考期中）矩形ABCD的边BC上有一动点E，连接AE、DE，以AE、DE为边作平行四边形AEDF．在点E从点B移动到点C的过程中，平行四边形AEDF的面积（ ）
A．先变大后变小B．先变小后变大C．一直变大D．保持不变
【变式10-1】（2023春·江苏宿迁·九年级沭阳县修远中学校考期末）如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A、C重合，过点P分别作边AB、AD的平行线，交两组对边于点E、F和G、H．四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形并且面积分别为S1，S2，则S1，S2之间的关系为__________．
【变式10-2】（2023春·北京西城·九年级校考期中）如图，菱形ABCD中，分别延长DC，BC至点E，F，使CE=CD，CF=CB，连接DB，BE，EF，FD.
(1)求证：四边形DBEF是矩形；
(2)若AB=4，∠A=60°，求矩形DBEF的面积.
【变式10-3】（2023春·湖北武汉·九年级统考期末）如图，点E、G分别是正方形ABCD的AD、BC边的中点，点F、H在对角线BD上．若四边形EFGH是矩形，则S矩形EFGHS正方形ABCD=_____．
【题型11 利用直角三角形斜边中线求解】
【例11】（2023春·重庆九龙坡·九年级统考期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC=66°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，则∠AED的大小是（ ）
A．62°B．64°C．66°D．68°
【变式11-1】（2023春·广东韶关·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为斜边AB上的一点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合．若AD=5，则AF的长为（ ）．
A．1B．3C．32D．74
【变式11-2】（2023春·广西南宁·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠ACD=3∠BCD，点E是斜边AB的中点，且CD=1，则AB的长为（ ）
A．2B．22C．3D．32
【变式11-3】（2023春·浙江台州·九年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，O是BC中点，∠BAC=∠BDC=90°，AB=AC，若BC=2AD，则∠DCB=______．
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