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初中数学北师大版九年级上册2 矩形的性质与判定优秀一课一练
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这是一份初中数学北师大版九年级上册2 矩形的性质与判定优秀一课一练，文件包含答案2docx、原卷2docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
北师大版数学九上 第一章1.2 矩形的性质与判定测试卷 B卷
一，选择题（共30分）
1.折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB=8，AD=4，则MN的长是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】
连接BM，利用折叠的性质证明四边形BMDN为菱形，设DN＝NB＝x，在RtABD中，由勾股定理求BD，在RtADN中，由勾股定理求x，利用菱形计算面积的两种方法，建立等式求MN．
【详解】
解：如图，连接BM，
由折叠可知，MN垂直平分BD，
又AB∥CD，
∴BON≌DOM，
∴ON＝OM，
∴四边形BMDN为菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形），
设DN＝NB＝x，则AN＝8﹣x，
在RtABD中，由勾股定理得：BD＝＝，
在RtADN中，由勾股定理得：AD2+AN2＝DN2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
根据菱形计算面积的公式，得
BN×AD＝×MN×BD，
即5×4＝×MN×，
解得MN＝．
故选：B．
2.如图，在矩形中，分别是的中点，若，则的长是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】
结合矩形的性质，勾股定理，利用证明，进而可求解．
【详解】
解：四边形为矩形，，，
，，，，
，
为的中点，
，
，
，
点为的中点，
，
，
在△DAF和△AEB中，
，
．
故选：D．
3．下列命题是真命题的是（ ）．
A．正六边形的外角和大于正五边形的外角和 B．正六边形的每一个内角为
C．有一个角是的三角形是等边三角形 D．对角线相等的四边形是矩形
【答案】B
【分析】
根据多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】
正六边形的外角和，和正五边形的外角和相等，均为
∴选项A不符合题意；
正六边形的内角和为：
∴每一个内角为，即选项B正确；
三个角均为的三角形是等边三角形
∴选项C不符合题意；
对角线相等的平行四边形是矩形
∴选项D不正确；
故选：B．
4.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（ ）
A．110° B．120° C．150° D．160°
【详解】
设C′D′与BC交于点E,如图所示：
∵旋转角为20°，
∴∠DAD′=20°，
∴∠BAD′=90°−∠DAD′=70°.
∵∠BAD′+∠B+∠BED′+∠D′=360°，
∴∠BED′=360°−70°−90°−90°=110°，
∴∠1=∠BED′=110°.
故选：A.
5．如图，四边形ABCD是矩形，连接BD，，延长BC到E使CE=BD，连接AE，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
如图，连接AC．
∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD．
∵EC=BD，∴AC=CE，∴∠AEB=∠CAE，易证∠ACB=∠ADB=30°．
∵∠ACB=∠AEB+∠CAE，∴∠AEB=∠CAE=15°．
故选A．
6．如图，分别过矩形ABCD的顶点A、D作直线l1、l2，使l1∥l2，l2与边BC交于点P，若∠1=38°，则∠BPD为（ ）
A．162° B．152° C．142° D．128°
【详解】
解：∵l1∥l2，∠1=38°，∴∠ADP=∠1=38°，∵矩形ABCD的对边平行，∴∠BPD+∠ADP=180°，∴∠BPD=180°﹣38°=142°，故选C．
7.如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点处，B交AD于点E，则线段DE的长为（ ）
A．3 B． C．5 D．
【详解】
解：设ED=x，则AE=6-x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB=∠DBC；
由题意得：∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴EB=ED=x；
由勾股定理得：
BE2=AB2+AE2，
即x2=9+（6-x）2，
解得：x=，
∴ED=．
故选：B．
8.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【详解】
解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，
∴DF= AB=4，
∵BC= 14，D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE=BC=7，
∴EF=DE-DF=3，
故选：B
9.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为( )
A．3 B．4 C． D．
【详解】
∵CE=5，△CEF的周长为18，
∴CF+EF=18-5=13．
∵F为DE的中点，
∴DF=EF．
∵∠BCD=90°，
∴CF=DE，
∴EF=CF=DE=6.5，
∴DE=2EF=13，
∴CD=，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=12，O为BD的中点，
∴OF是△BDE的中位线，
∴OF=(BC－CE)=(12－5)=3.5，
故选D．
10．如图，平面直角坐标系中，长方形OABC，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B（6，3），现将△OAB沿OB翻折至△OA′B位置，OA′交BC于点P．则点P的坐标为（ ）
A．（，3） B．（，3） C．（，3） D．（）
【详解】
∵将△OAB沿OB翻折至△OA′B位置，OA′交BC于点P，
∴∠A'OB=∠AOB，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB，
∴∠OBC=∠A'OB，
∴OP=BP，
∵点B的坐标为（6，3），
∴AB=OC=3，OA=BC=6，
设OP=BP=x，则PC=6﹣x，
在Rt△OCP中，根据勾股定理得，OC2+PC2=OP2，
∴32+（6﹣x）2=x2，
解得：x=，
∴PC=6﹣=，
∴P（，3），
故选：A．
二． 填空题（共24分）
11.在矩形ABCD中，作∠B的平分线交直线AD于点E，则∠BED是 度．
【答案】45或135
【知识点】矩形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=45°，
由题意可分：
①当∠B的平分线交线段AD于点E，如图所示：
∴∠BED=180°−∠CBE=135°；
②当∠B的平分线交线段AD外于点E，如图所示：
∴∠BED=∠CBE=45°；
综上所述：∠BED=135°或45°；
故答案为45或135．
12.如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC的长为5，作AC的垂直平分线交BC于点M，连接AM，则△ABM的周长为 ．
【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴BC=AC2−AB2=25−9=4，
∵AC的垂直平分线交BC于点M，
∴AM=CM，
∴△ABM的周长=AB+BM+AM=AB+BC=7
故答案为：7.
13.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=6，AE=2，将△ABE沿BE翻折，使点A落在点A′处，作射线EA′，交BC的延长线于点F，则CF的长为 .
【答案】54
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵在矩形 ABCD 中， AD∥BC ， AD=BC ，
∴∠AEB=∠EBC ，
∵根据折叠有： ∠AEB=∠A′EB ， AE=A′E ， AB=A′B ， ∠EAB=∠EA′B=90° ，
∴∠A′EB=∠EBC ，
∴EF=BF ，
∵AB=5 ， AD=6 ， AE=2 ，
∴A′B=5 ， EF=EA′+A′F=BF=BC+CF ，
∴A′F=BC+CF−EA′=4+CF ， BF=BC+CF=6+CF ，
∵∠EA′B=90° ，
∴在 Rt△FA′B 中， BF2=A′B2+A′F2 ，
∴(6+CF)2=52+(4+CF)2 ，
解得： CF=54 ，
故答案为： 54 .
14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若OA=2，则BD= ．
【答案】4
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴BD=AC=2OA=4.
故答案为：4
15.如图，BE，BF分别是∠ABC与它的邻补角∠ABD的平分线，AE⊥BE，垂足为点E，AF⊥BF，垂足为点F，EF分别交边AB，AC于点M和N．若AB=7，BC=4，则MF+NE的长为 ．
【答案】5
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；角平分线的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵BE，BF分别是∠ABC与它的邻补角∠ABD的平分线，
∴∠ABC=2∠ABE，∠ABD＝2∠ABF，∠ABE=∠EBC，
∵∠ABC＋∠ABD＝180°，
∴2∠ABF＋2∠ABE=180°
∴∠ABF+∠ABE=∠FBE=90°
∵AE⊥BE，AF⊥BF，
∴∠AFB＝∠AEB＝90°，
∴四边形AFBE是矩形，
∴EF＝AB＝7，MB＝ME，
∴∠ABE＝∠MEB，
∴∠MEB＝∠EBC，
∴ME∥BC，
∵MB＝MA，
∴AN＝NC，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN＝12BC＝2，
∴MF＋NE＝EF−MN＝5.
故答案为：5
16.如图所示，已知矩形 ABCD 中， AD＝10 ， AB＝6 现将边 AD 绕它的一个端点旋转，当另一端点恰好落在边 BC 所在直线的点E处时，线段 DE 的长度为
【答案】210 或 610 或10
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6，AD=BC=10，∠ABC=∠DCB=90°，
当AD=AE=10时，BE= AE2−AB2=102−62=8 ，
∴DE1= CD2+E1C2=62+22=210 ，DE2= CD2+E2C2=62+182=610 ，
当DE=DA=10时，DE=10，
综上所述，满足条件的DE的值为 210 或 610 或 10 ．
故答案为： 210 或 610 或10．
三． 解答题（共46分）
17.（8分）．如图，在▱ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积．
【详解】
（1）∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC，∴∠GAB∠BAD，∠GBA∠ABC．
∵▱ABCD中，∠DAB+∠ABC=180°，∴∠GAB+∠GBA（∠DAB+∠ABC）=90°，即∠AGB=90°，同理可得：∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，∴四边形EFGH是矩形；
（2）依题意得：∠BAG∠BAD=30°．
∵AB=6，∴BGAB=3，AG=3CE．
∵BC=4，∠BCF∠BCD=30°，∴BFBC=2，CF=2，∴EF=3，GF=3﹣2=1，∴矩形EFGH的面积=EF×GF．
18.（8分）已知，如图1，在中，，是边上的中线，是的中点，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如图2，连接，若，在不添加任何辅助性的情况下，请直接写出长度等于的所有线段．
【答案】（1）见解析；（2）长度等于的所有线段是，，，，．
【分析】
（1）先证△CDE≌△FAE（ASA），得CD=FA，再由直角三角形斜边上的中线性质得AD=BC=CD=BD，则BD=FA，且BD∥FA，即可得出结论；
（2）证△ABC、△ACD、△ABD都是等腰直角三角形，得AD=CD=AC=AB=BD，再由菱形的性质得AF=BF=AD=BD=AC即可．
【详解】
解：（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠CDE=∠FAE，
∵E是AD的中点，
∴DE=AE，
在△CDE和△FAE中，
，
∴△CDE≌△FAE（ASA），
∴CD=FA，
∵∠CAB=90°，AD是BC边上的中线，
∴AD=BC=CD=BD，
∴BD=FA，且BD∥FA，
∴四边形ADBF是平行四边形，
又∵AD=BD，
∴平行四边形ADBF是菱形；
（2）解：长度等于AC的所有线段为AD、CD、BD、AF、BF，理由如下：
∵CE=BE，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴△ABC、△ACD、△ABD都是等腰直角三角形，
∴AD=CD=AC=AB=BD，
由（1）得：四边形ADBF是菱形，
∴AF=BF=AD=BD=AC，
即长度等于AC的所有线段为AD、CD、BD、AF、BF．
19.（10分）在一些几何问题中直接求证或求解有些困难，若能正确添加辅助线，问题就迎刃而解了．
（1）证明：三角形中位线定理．
已知：如图1，是的中位线．
求证：________________________________．
证明：如图1，在中，延长到点F，使得，连接．请继续完成证明过程．
（2）如图2在矩形中，，E为边的中点，G为边上的点，且，，求矩形的面积．
【答案】（1），证明见解析；（2）
【分析】
（1）利用“SAS”证明△ADE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CF,然后判断四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质可证得；
（2）先判断出，进而判断出EC垂直平分GH，再用勾股定理，即可得出结论．
【详解】
（1）填：,
证明：如图，延长DE到点F，使得EF=DE,连接CF；
在△ADE和△CFE中：
∴ ,
∴∠A=∠ECF,AD=CF,
∴ ,
又∵AD=BD,
∴CF=BD,
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴;
（2）如图，延长GE,CD交于一点H，
∵E为AD中点，
∴AE=ED,且∠A=∠EDH=90°，
在和中，
∴(ASA),
∴,
∵∠GEC=90°，
∴CE垂直平分GH,
∴GC=HC=DH+CD=4,
在Rt△GBC中，已知GC=4,GB=CD-AG=3-1=2,
∴,
∴矩形面积= ．
20.（10分）如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）过点E作EF⊥CD于点F，若AB=3，BC=5，求EF的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）在直角三角形ACB中，E是斜边BC的中点，可得AE = CE；由AD∥BC，AE∥DC可得四边形AECD是平行四边形；再根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可完成本题的证明；
（2）过点A作AG⊥BC于点G，在直角三角形ACB中，由勾股定理可得AC = 4，再根据等积法易得AG=；S菱形AECD = CD·EF = CE·AG，而CD = CE，从而可得EF = AG，即可得出本题答案．
【详解】
（1）∵∠BAC=90°，E是BC的中点，
∴AE =BC = CE，
又∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形；
∴四边形AECD是菱形．
（2）过点A作AG⊥BC于点G
在直角三角形ACB中，
，
，
∵AB=3，BC=5，
∴AG=；
又∵S菱形AECD = CD·EF = CE·AG，CD = CE，
∴EF = AG = ．
21.（10分）如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，，点A的坐标为，点B的坐标为．动点P从点O出发，沿射线OA方向以每秒1个单位的速度匀速运动；动点Q同时从点A出发，到达点B之后，继续沿射线BC运动，以每秒2个单位的速度匀速运动，设点P运动的时间为t秒（）．
（1）写出点C的坐标；当运动2秒时，求的面积．
（2）在整个运动过程中，是否存在这样的t，使以A，P，Q，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出t的值，若不存在，请改变点P的运动速度，使以A，P，Q，C为顶点的四边形是矩形，求出此时点P的速度．
（3）在整个运动过程中，t为何值时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】（1）C，；（2）不存在，点P的速度为每秒个单位；（3）s或8s
【分析】
（1）利用平行四边形的性质可得点C坐标，作QE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．求出PA．QE即可得到的面积．
（2）画出以点A、P、Q、C为顶点的四边形是矩形时的图像，求出此时点P和点Q运动的时间，再判断，从而求出点P应有的速度；
（3）当点Q在射线BC上时，CQ=PA时，A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形．由此构建方程即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA=BC=6，BC∥OA，
∵B，
∴C，
如图，作QE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．
∵A（6，0），B，
∴OA=6，OF=10，BF=，
∴AF=10-6=4，AB==8，
当t=2时，OP=2，PA=4，AQ=4，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠BAF=∠COA=60°，
∵QE⊥AE，
∴∠AEQ=90°，
∴AE=AQ=2，
∴EQ==，
∴S△PAQ=•PA•EQ=×4×=；
（2）如果以点A、P、Q、C为顶点的四边形是矩形，如图，
此时OP=4，则t=4，
AB+BQ=8+4=12，则t=6，
∴不存在这样的t，
若改变点P的运动速度，则为；
（3）如图，当点Q在射线BC上时，CQ=PA时，A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形．
∴|14-2t|=|t-6|，
解得t=或8，
∴t为s或8s时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形．
北师大版数学九上 第一章1.2 矩形的性质与判定测试卷 B卷
一，选择题（共30分）
1.折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB=8，AD=4，则MN的长是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】
连接BM，利用折叠的性质证明四边形BMDN为菱形，设DN＝NB＝x，在RtABD中，由勾股定理求BD，在RtADN中，由勾股定理求x，利用菱形计算面积的两种方法，建立等式求MN．
【详解】
解：如图，连接BM，
由折叠可知，MN垂直平分BD，
又AB∥CD，
∴BON≌DOM，
∴ON＝OM，
∴四边形BMDN为菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形），
设DN＝NB＝x，则AN＝8﹣x，
在RtABD中，由勾股定理得：BD＝＝，
在RtADN中，由勾股定理得：AD2+AN2＝DN2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
根据菱形计算面积的公式，得
BN×AD＝×MN×BD，
即5×4＝×MN×，
解得MN＝．
故选：B．
2.如图，在矩形中，分别是的中点，若，则的长是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】
结合矩形的性质，勾股定理，利用证明，进而可求解．
【详解】
解：四边形为矩形，，，
，，，，
，
为的中点，
，
，
，
点为的中点，
，
，
在△DAF和△AEB中，
，
．
故选：D．
3．下列命题是真命题的是（ ）．
A．正六边形的外角和大于正五边形的外角和 B．正六边形的每一个内角为
C．有一个角是的三角形是等边三角形 D．对角线相等的四边形是矩形
【答案】B
【分析】
根据多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】
正六边形的外角和，和正五边形的外角和相等，均为
∴选项A不符合题意；
正六边形的内角和为：
∴每一个内角为，即选项B正确；
三个角均为的三角形是等边三角形
∴选项C不符合题意；
对角线相等的平行四边形是矩形
∴选项D不正确；
故选：B．
4.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（ ）
A．110° B．120° C．150° D．160°
【详解】
设C′D′与BC交于点E,如图所示：
∵旋转角为20°，
∴∠DAD′=20°，
∴∠BAD′=90°−∠DAD′=70°.
∵∠BAD′+∠B+∠BED′+∠D′=360°，
∴∠BED′=360°−70°−90°−90°=110°，
∴∠1=∠BED′=110°.
故选：A.
5．如图，四边形ABCD是矩形，连接BD，，延长BC到E使CE=BD，连接AE，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
如图，连接AC．
∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD．
∵EC=BD，∴AC=CE，∴∠AEB=∠CAE，易证∠ACB=∠ADB=30°．
∵∠ACB=∠AEB+∠CAE，∴∠AEB=∠CAE=15°．
故选A．
6．如图，分别过矩形ABCD的顶点A、D作直线l1、l2，使l1∥l2，l2与边BC交于点P，若∠1=38°，则∠BPD为（ ）
A．162° B．152° C．142° D．128°
【详解】
解：∵l1∥l2，∠1=38°，∴∠ADP=∠1=38°，∵矩形ABCD的对边平行，∴∠BPD+∠ADP=180°，∴∠BPD=180°﹣38°=142°，故选C．
7.如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点处，B交AD于点E，则线段DE的长为（ ）
A．3 B． C．5 D．
【详解】
解：设ED=x，则AE=6-x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB=∠DBC；
由题意得：∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴EB=ED=x；
由勾股定理得：
BE2=AB2+AE2，
即x2=9+（6-x）2，
解得：x=，
∴ED=．
故选：B．
8.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【详解】
解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，
∴DF= AB=4，
∵BC= 14，D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE=BC=7，
∴EF=DE-DF=3，
故选：B
9.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为( )
A．3 B．4 C． D．
【详解】
∵CE=5，△CEF的周长为18，
∴CF+EF=18-5=13．
∵F为DE的中点，
∴DF=EF．
∵∠BCD=90°，
∴CF=DE，
∴EF=CF=DE=6.5，
∴DE=2EF=13，
∴CD=，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=12，O为BD的中点，
∴OF是△BDE的中位线，
∴OF=(BC－CE)=(12－5)=3.5，
故选D．
10．如图，平面直角坐标系中，长方形OABC，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B（6，3），现将△OAB沿OB翻折至△OA′B位置，OA′交BC于点P．则点P的坐标为（ ）
A．（，3） B．（，3） C．（，3） D．（）
【详解】
∵将△OAB沿OB翻折至△OA′B位置，OA′交BC于点P，
∴∠A'OB=∠AOB，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB，
∴∠OBC=∠A'OB，
∴OP=BP，
∵点B的坐标为（6，3），
∴AB=OC=3，OA=BC=6，
设OP=BP=x，则PC=6﹣x，
在Rt△OCP中，根据勾股定理得，OC2+PC2=OP2，
∴32+（6﹣x）2=x2，
解得：x=，
∴PC=6﹣=，
∴P（，3），
故选：A．
二． 填空题（共24分）
11.在矩形ABCD中，作∠B的平分线交直线AD于点E，则∠BED是 度．
【答案】45或135
【知识点】矩形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=45°，
由题意可分：
①当∠B的平分线交线段AD于点E，如图所示：
∴∠BED=180°−∠CBE=135°；
②当∠B的平分线交线段AD外于点E，如图所示：
∴∠BED=∠CBE=45°；
综上所述：∠BED=135°或45°；
故答案为45或135．
12.如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC的长为5，作AC的垂直平分线交BC于点M，连接AM，则△ABM的周长为 ．
【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴BC=AC2−AB2=25−9=4，
∵AC的垂直平分线交BC于点M，
∴AM=CM，
∴△ABM的周长=AB+BM+AM=AB+BC=7
故答案为：7.
13.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=6，AE=2，将△ABE沿BE翻折，使点A落在点A′处，作射线EA′，交BC的延长线于点F，则CF的长为 .
【答案】54
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵在矩形 ABCD 中， AD∥BC ， AD=BC ，
∴∠AEB=∠EBC ，
∵根据折叠有： ∠AEB=∠A′EB ， AE=A′E ， AB=A′B ， ∠EAB=∠EA′B=90° ，
∴∠A′EB=∠EBC ，
∴EF=BF ，
∵AB=5 ， AD=6 ， AE=2 ，
∴A′B=5 ， EF=EA′+A′F=BF=BC+CF ，
∴A′F=BC+CF−EA′=4+CF ， BF=BC+CF=6+CF ，
∵∠EA′B=90° ，
∴在 Rt△FA′B 中， BF2=A′B2+A′F2 ，
∴(6+CF)2=52+(4+CF)2 ，
解得： CF=54 ，
故答案为： 54 .
14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若OA=2，则BD= ．
【答案】4
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴BD=AC=2OA=4.
故答案为：4
15.如图，BE，BF分别是∠ABC与它的邻补角∠ABD的平分线，AE⊥BE，垂足为点E，AF⊥BF，垂足为点F，EF分别交边AB，AC于点M和N．若AB=7，BC=4，则MF+NE的长为 ．
【答案】5
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；角平分线的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵BE，BF分别是∠ABC与它的邻补角∠ABD的平分线，
∴∠ABC=2∠ABE，∠ABD＝2∠ABF，∠ABE=∠EBC，
∵∠ABC＋∠ABD＝180°，
∴2∠ABF＋2∠ABE=180°
∴∠ABF+∠ABE=∠FBE=90°
∵AE⊥BE，AF⊥BF，
∴∠AFB＝∠AEB＝90°，
∴四边形AFBE是矩形，
∴EF＝AB＝7，MB＝ME，
∴∠ABE＝∠MEB，
∴∠MEB＝∠EBC，
∴ME∥BC，
∵MB＝MA，
∴AN＝NC，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN＝12BC＝2，
∴MF＋NE＝EF−MN＝5.
故答案为：5
16.如图所示，已知矩形 ABCD 中， AD＝10 ， AB＝6 现将边 AD 绕它的一个端点旋转，当另一端点恰好落在边 BC 所在直线的点E处时，线段 DE 的长度为
【答案】210 或 610 或10
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6，AD=BC=10，∠ABC=∠DCB=90°，
当AD=AE=10时，BE= AE2−AB2=102−62=8 ，
∴DE1= CD2+E1C2=62+22=210 ，DE2= CD2+E2C2=62+182=610 ，
当DE=DA=10时，DE=10，
综上所述，满足条件的DE的值为 210 或 610 或 10 ．
故答案为： 210 或 610 或10．
三． 解答题（共46分）
17.（8分）．如图，在▱ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积．
【详解】
（1）∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC，∴∠GAB∠BAD，∠GBA∠ABC．
∵▱ABCD中，∠DAB+∠ABC=180°，∴∠GAB+∠GBA（∠DAB+∠ABC）=90°，即∠AGB=90°，同理可得：∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，∴四边形EFGH是矩形；
（2）依题意得：∠BAG∠BAD=30°．
∵AB=6，∴BGAB=3，AG=3CE．
∵BC=4，∠BCF∠BCD=30°，∴BFBC=2，CF=2，∴EF=3，GF=3﹣2=1，∴矩形EFGH的面积=EF×GF．
18.（8分）已知，如图1，在中，，是边上的中线，是的中点，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如图2，连接，若，在不添加任何辅助性的情况下，请直接写出长度等于的所有线段．
【答案】（1）见解析；（2）长度等于的所有线段是，，，，．
【分析】
（1）先证△CDE≌△FAE（ASA），得CD=FA，再由直角三角形斜边上的中线性质得AD=BC=CD=BD，则BD=FA，且BD∥FA，即可得出结论；
（2）证△ABC、△ACD、△ABD都是等腰直角三角形，得AD=CD=AC=AB=BD，再由菱形的性质得AF=BF=AD=BD=AC即可．
【详解】
解：（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠CDE=∠FAE，
∵E是AD的中点，
∴DE=AE，
在△CDE和△FAE中，
，
∴△CDE≌△FAE（ASA），
∴CD=FA，
∵∠CAB=90°，AD是BC边上的中线，
∴AD=BC=CD=BD，
∴BD=FA，且BD∥FA，
∴四边形ADBF是平行四边形，
又∵AD=BD，
∴平行四边形ADBF是菱形；
（2）解：长度等于AC的所有线段为AD、CD、BD、AF、BF，理由如下：
∵CE=BE，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴△ABC、△ACD、△ABD都是等腰直角三角形，
∴AD=CD=AC=AB=BD，
由（1）得：四边形ADBF是菱形，
∴AF=BF=AD=BD=AC，
即长度等于AC的所有线段为AD、CD、BD、AF、BF．
19.（10分）在一些几何问题中直接求证或求解有些困难，若能正确添加辅助线，问题就迎刃而解了．
（1）证明：三角形中位线定理．
已知：如图1，是的中位线．
求证：________________________________．
证明：如图1，在中，延长到点F，使得，连接．请继续完成证明过程．
（2）如图2在矩形中，，E为边的中点，G为边上的点，且，，求矩形的面积．
【答案】（1），证明见解析；（2）
【分析】
（1）利用“SAS”证明△ADE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CF,然后判断四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质可证得；
（2）先判断出，进而判断出EC垂直平分GH，再用勾股定理，即可得出结论．
【详解】
（1）填：,
证明：如图，延长DE到点F，使得EF=DE,连接CF；
在△ADE和△CFE中：
∴ ,
∴∠A=∠ECF,AD=CF,
∴ ,
又∵AD=BD,
∴CF=BD,
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴;
（2）如图，延长GE,CD交于一点H，
∵E为AD中点，
∴AE=ED,且∠A=∠EDH=90°，
在和中，
∴(ASA),
∴,
∵∠GEC=90°，
∴CE垂直平分GH,
∴GC=HC=DH+CD=4,
在Rt△GBC中，已知GC=4,GB=CD-AG=3-1=2,
∴,
∴矩形面积= ．
20.（10分）如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）过点E作EF⊥CD于点F，若AB=3，BC=5，求EF的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）在直角三角形ACB中，E是斜边BC的中点，可得AE = CE；由AD∥BC，AE∥DC可得四边形AECD是平行四边形；再根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可完成本题的证明；
（2）过点A作AG⊥BC于点G，在直角三角形ACB中，由勾股定理可得AC = 4，再根据等积法易得AG=；S菱形AECD = CD·EF = CE·AG，而CD = CE，从而可得EF = AG，即可得出本题答案．
【详解】
（1）∵∠BAC=90°，E是BC的中点，
∴AE =BC = CE，
又∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形；
∴四边形AECD是菱形．
（2）过点A作AG⊥BC于点G
在直角三角形ACB中，
，
，
∵AB=3，BC=5，
∴AG=；
又∵S菱形AECD = CD·EF = CE·AG，CD = CE，
∴EF = AG = ．
21.（10分）如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，，点A的坐标为，点B的坐标为．动点P从点O出发，沿射线OA方向以每秒1个单位的速度匀速运动；动点Q同时从点A出发，到达点B之后，继续沿射线BC运动，以每秒2个单位的速度匀速运动，设点P运动的时间为t秒（）．
（1）写出点C的坐标；当运动2秒时，求的面积．
（2）在整个运动过程中，是否存在这样的t，使以A，P，Q，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出t的值，若不存在，请改变点P的运动速度，使以A，P，Q，C为顶点的四边形是矩形，求出此时点P的速度．
（3）在整个运动过程中，t为何值时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】（1）C，；（2）不存在，点P的速度为每秒个单位；（3）s或8s
【分析】
（1）利用平行四边形的性质可得点C坐标，作QE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．求出PA．QE即可得到的面积．
（2）画出以点A、P、Q、C为顶点的四边形是矩形时的图像，求出此时点P和点Q运动的时间，再判断，从而求出点P应有的速度；
（3）当点Q在射线BC上时，CQ=PA时，A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形．由此构建方程即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA=BC=6，BC∥OA，
∵B，
∴C，
如图，作QE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．
∵A（6，0），B，
∴OA=6，OF=10，BF=，
∴AF=10-6=4，AB==8，
当t=2时，OP=2，PA=4，AQ=4，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠BAF=∠COA=60°，
∵QE⊥AE，
∴∠AEQ=90°，
∴AE=AQ=2，
∴EQ==，
∴S△PAQ=•PA•EQ=×4×=；
（2）如果以点A、P、Q、C为顶点的四边形是矩形，如图，
此时OP=4，则t=4，
AB+BQ=8+4=12，则t=6，
∴不存在这样的t，
若改变点P的运动速度，则为；
（3）如图，当点Q在射线BC上时，CQ=PA时，A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形．
∴|14-2t|=|t-6|，
解得t=或8，
∴t为s或8s时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形．
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