初中北师大版第一章 特殊平行四边形3 正方形的性质与判定课文配套ppt课件

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正方形的定义正方形的性质
图中的四边形都是特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
特别提醒:1. 正方形在平行四边形的基础上还必须具备两个条件:（1）一组邻边相等.（2）一个角是直角.2.正方形的四条边都相等，说明正方形既是平行四边形，又是菱形；正方形的四个角都是直角，说明正方形是矩形，即正方形不仅是平行四边形，也是矩形和菱形.
例1：如图1-3-1， 将△ ABC 绕点B 顺时针旋转90 ° 后至△ DBE，再将△ ABC 沿BE 平移至△ FEG，连接CG. 求证：四边形CBEG 是正方形.
解题秘方：紧扣定义“有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形”进行判定.
证明：∵△ ABC 沿BE 平移至△ FEG，∴ CB ∥ GE，CB=GE.∴四边形CBEG 是平行四边形.∵△ ABC 绕点B 顺时针旋转90°后至△ DBE，∴ BC=BE，∠ CBE=90° .∴四边形CBEG 是正方形.
解法提醒:利用正方形的定义判定正方形，它是建立在平行四边形的基础上，因此，既要有一组邻边相等，又要有一个角是直角，两者缺一不可.
议一议(1)正方形是矩形吗？是菱形吗？(2)你认为正方形的边具有哪些性质？与同伴交流． 正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形 的所有性质．
正方形的性质：具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即（1）边：四条边相等，邻边垂直，对边平行；（2）角：四个角都是直角；（3）对角线：对角线相等、互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；（4）是轴对称图形，有4 条对称轴；（5）面积为边长的平方或对角线长平方的一半.
特别提醒:1.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们之间的关系如图1-3-2.2. 正方形的特殊性质：（1）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；（2）周长相等的四边形中，正方形的面积最大.
例2：如图1-3-3， 在正方形ABCD 中，E 为CD 上点，F 为BC 延长线上一点，CE=CF.（1）求证：△ BCE ≌△ DCF；（2）若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.
解题秘方：从正方形中获取边、角相等的信息.
解法提醒:利用正方形的性质解题，由于正方形的性质较多，解题时不宜一一列出来，需要根据题中已知条件，结合要证明的结论，选择证明结论成立所需要的性质，使解题思路更简洁.
（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴ BC=DC，∠ BCE= ∠ DCF=90° .又∵ CE=CF，∴△ BCE ≌△ DCF.
（2）解：∵△ BCE ≌△ DCF，∠ BEC=60°，∴∠ DFC= ∠ BEC=60° .∵ CE=CF，∠ ECF=90°，∴∠ CFE=45° .∴∠EFD=∠DFC － ∠CFE=60°－45°=15°.
通过证明三角形全等得到边和角相等，再进一步得到平行或垂直，是有关正方形中证边或角相等的最常用的方法，而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件．