初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.4 圆周角当堂达标检测题

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课后巩固
1．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=72°，则∠ACB等于（　　）

A．28° B．54° C．18° D．36°
【分析】根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于同弧所对圆心角的一半即可求解．
【解答】解：根据圆周角定理可知，
∠AOB=2∠ACB=72°，
即∠ACB=36°，
故选D．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，正确认识∠ACB与∠AOB的位置关系是解题关键．
　
2．如图，在⊙O中，=，点D在⊙O上，∠CDB=25°，则∠AOB=（　　）

A．45° B．50° C．55° D．60°
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵在⊙O中，=，点D在⊙O上，∠CDB=25°，
∴∠AOB=2∠CDB=50°．
故选B．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
　
3．如图，AB是⊙O的直径，点D是弧的中点，∠ABC=52°，则∠DAB等于（　　）

A．58° B．61° C．72° D．64°
【分析】如图连接BD．在Rt△BDA中，求出∠ABD即可解决问题．
【解答】解：如图连接BD．

∵=，
∴∠CBD=∠ABD，
∵∠ABC=52°，
∴∠ABD=26°，
∵AB是直径，
∴∠BDA=90°，
∴DAB=90°﹣26°=64°，
故选D．
【点评】本题考查圆周角定理、直径的性质等知识，解题的关键是记住直径的性质，圆周角定理，属于基础题，中考常考题型．
　
4．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB=25°，则∠OCD的度数是（　　）

A．45° B．60° C．65° D．70°
【分析】根据圆周角定理求出∠DOB，根据等腰三角形性质求出∠OCD=∠ODC，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】
解：连接OD，
∵∠DAB=20°，
∴∠BOD=2∠DAB=40°，
∴∠COD=90°﹣40°=50°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=（180°﹣∠COD）=65°，
故选C．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，难度适中．
　
5．如图中∠BOD的度数是（　　）

A．150° B．125° C．110° D．55°
【分析】连接OC 根据∠BOC=2∠BAC，∠COD=2∠CED即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OC．

∵∠BOC=2∠BAC=50°，∠COD=2∠CED=60°，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=110°，
故选C．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
　
6．如图，AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，∠ACB=40°，点P在⊙O的内部，且点C、点P在AB同侧，则∠APB的角度是（　　）

A．大于40° B．等于40° C．小于40° D．无法确定
【分析】延长AP交⊙O于E，连接BE，根据圆周角定理得到∠E=∠C，由三角形的外角的性质得到∠APB＞∠E，于是得到结论．
【解答】解：延长AP交⊙O于E，连接BE，
则∠E=∠C，
∵∠APB＞∠E，
∴∠APB＞∠ACB，
∵∠ACB=40°，
∴∠APB＞40°，
故选A．

【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
　
7．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D，E分别在AC，BC上，且DE=6，以DE为直径的⊙O 交AB于点M，N，则弦长MN的最大值为（　　）

A．2.4 B．4.8 C．5 D．6
【分析】根据题意有C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，根据勾股定理求得AB，根据三角形面积求得CF，然后根据垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值．
【解答】解：过O作OG⊥AB于G，连接OC，连接OM，作CF⊥AB于F，
∵DE=6，
∴OC=3，只有C、O、G三点在一条直线上OG最小，
OM=3，
∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值，
∴G和F重合时，MN有最大值，
∵∠C=90°，BC=6，AC=8，
∴AB==10，
∵AC•BC=AB•CF，
∴CF=4.8，
∴OG=4.8﹣3=，
∴MG=，
则MN═2MG=4.8，
故选：B．

【点评】本题考查了垂线段最短，垂径定理，勾股定理，过O作OE垂于E，得出C、O、E三点在一条直线上OE最小是解题的关键．
　
8．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则∠BCD的大小是（　　）

A．18° B．36° C．54° D．72°
【分析】根据垂径定理推出=，推出∠CAB=∠BAD=36°，再由∠BCD=∠BAD即可解决问题．
【解答】解：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴=，
∴∠CAB=∠BAD=36°，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠BCD=36°，
故选B．
【点评】本题考查垂径定理、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理，属于中考常考题型．
　
9．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=10，==，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE=60°；②∠CED=∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据==和点E是点D关于AB的对称点，求出∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，求出∠CED，即可判断①②；根据圆周角定理求出当M和A重合时∠MDE=60°
即可判断③；求出M点的位置，根据圆周角定理得出此时DF是直径，即可求出DF长，即可判断④．
【解答】解：∵==，点E是点D关于AB的对称点，
∴=，
∴∠DOB=∠BOE=∠COD==60°，∴①正确；
∠CED=∠COD==30°=，∴②正确；
∵的度数是60°，
∴的度数是120°，
∴只有当M和A重合时，∠MDE=60°，
∵∠CED=30°，
∴只有M和A重合时，DM⊥CE，∴③错误；

做C关于AB的对称点F，连接CF，交AB于N，连接DF交AB于M，此时CM+DM的值最短，等于DF长，
连接CD，
∵===，并且弧的度数都是60°，
∴∠D==60°，∠CFD==30°，
∴∠FCD=180°﹣60°﹣30°=90°，
∴DF是⊙O的直径，
即DF=AB=10，
∴CM+DM的最小值是10，∴④正确；
故选C．
【点评】本题考查了圆周角定理，轴对称﹣最短问题等知识点，能灵活运用圆周角定理求出各个角的度数和求出M的位置是解此题的关键．
　
10．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是的中点，连结AD，AG，CD，则下列结论不一定成立的是（　　）

A．CE=DE B．∠ADG=∠GAB C．∠AGD=∠ADC D．∠GDC=∠BAD
【分析】根据圆周角定理、垂径定理以及圆心角、弧、弦的关系定理判断即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=DE，A成立；
∵G是的中点，
∴=，
∴∠ADG=∠GAB，B成立；
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴=，
∴∠AGD=∠ADC，C成立；
∠GDC=∠BAD不成立，D不成立，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆周角定理、垂径定理以及圆心角、弧、弦的关系，掌握相关的性质定理是解题的关键．
　
二．填空题（共6小题）
11．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=87°，则∠AOC的大小是　58°　．

【分析】先根据圆周角定理得到∠ABC=∠AOC，由于∠ABC+∠AOC=87°，所以∠AOC+∠AOC=87°，然后解方程即可．
【解答】解：∵∠ABC=∠AOC，
而∠ABC+∠AOC=87°，
∴∠AOC+∠AOC=87°，
∴∠AOC=58°．
故答案是：58°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
　
12如图，⊙O的直径CD⊥AB，∠A=30°，则∠D=　30°　．

【分析】由⊙O的直径CD⊥AB，∠A=30°，由垂径定理得=，然后由圆周角定理，求得∠D的度数．
【解答】解：∵⊙O的直径CD⊥AB，∠A=30°，
∴=，∠AOC=90°﹣∠A=60°，
∴∠D=∠AOC=30°．
故答案为：30°．
【点评】此题考查了圆周角定理与垂径定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
　
13．如图，AB、CD是⊙O的直径，DE为⊙O的一条弦，已知∠AOC=45°，∠CDE=30°，则∠BDE的度数为　37.5°　．

【分析】先求出∠BDE所对弧所对的圆心角的度数，再转化成同弧所对的圆周角即可．
【解答】解：如图，连接OE，

∵∠CDE=30°，
∴∠COE=60°，
∵∠AOC=45°，
∴∠BOE=180°﹣∠AOC﹣∠COE=75°，
∴∠BDE=∠BOE=37.5°
故答案为：37.5°．
【点评】此题是圆周角定理题目，主要考查了邻补角，圆周角定理，解本题的关键是求出∠BOE，此题也可以连接AD直接用直径所对的圆周角是直角来计算．
　
14．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC=20°，则∠D=　110　°．

【分析】连接BD，根据圆周角定理求出∠ADB及∠BDC的度数，进而可得出结论．
【解答】解：连接BD，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°．
∵∠BAC=20°，
∴∠BDC=20°，
∴∠D=∠ADB+∠BDC=90°+20°=110°．
故答案为：110．

【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．
　
15．如图，AB是半圆O直径，点C、D在半圆上，若∠CAB=40°，则∠1+∠2的度数是　50°　．

【分析】先用直径所对的圆周角是直角求出∠ABC，再用圆的内接四边形对角互补，求出∠ADC即可．
【解答】解：∵AB是圆的直径，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∵∠CAB=40°，
∴∠ABC=50°
∵点A，B，C，D四点共圆，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ADC=180°﹣50°=130°，
在△ADC中，∠1+∠2=180°﹣∠ADC=180°﹣130°=50°，
故答案为：50°．
【点评】此题是圆周角定理，主要考查了直径所对的圆周角是直角，圆的内接四边形对角互补，解本题的关键是圆的内接四边形的对角互补的应用．
　
16．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连OD交BE于点M，若BE=8且MD=2，则直径AB长为　10　．

【分析】连接AD，设直径AB长为x，由圆周角定理得出∠AEB=∠ADB=90°，由等腰三角形的性质得出BD=CD，由三角形中位线定理得出OD∥AC，CE=2MD=4，则AE=x﹣4，然后在直角△ABE中由勾股定理求出AB即可．
【解答】解：连接AD，如图所示，．
∵以AB为直径的⊙O与BC交于点D，
∴∠AEB=∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OA=OB，
∴OD∥AC，
∴BM=EM，
∴CE=2MD=4，
∴AE=AC﹣CE=x﹣4，
∵BE=8，∠AEB=90°，
∴x2=（x﹣4）2+82，解得x=10，
即直径AB长为10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理；熟练掌握圆周角定理，由三角形中位线定理求出CE是解决问题的关键．
　
三．解答题（共8小题）
17．如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点F，∠BCD=40°，∠BFD=70°，求∠ADC的度数．

【分析】由∠BCD=40°，∠BFD=70°，利用三角形外角的性质，即可求得∠B的度数，然后由圆周角定理，求得答案．
【解答】解：∵∠BCD=40°，∠BFD=70°，
∴∠B=∠BFD﹣∠BCD=30°，
∴∠ADC=∠B=30°．
【点评】此题考查了圆周角定理以及三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
　
18．如图，△ABC内接于⊙O，且AB=BC=AC，M是上任意一点，连接MA，MB，MC，求证：MA=MB+MC．

【分析】如图，作辅助线，首先证明△BMN是等边三角形，进而证明△ABN≌△CBM，问题即可解决．
【解答】解：如图，在MA上截取MN，使得MN=MB，连接BN；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠BAC=60°；
∵∠BAC+∠BMC=180°，
∴∠BMC=180°﹣60°=120°；
∵MB=MN，∠BMN=60°，
∴△BMN是等边三角形，
∴BM=BN，∠MNB=60°，
∴∠ANB=180°﹣60°=120°；
在△ABN与△CBM中，
，
∴△ABN≌△CBM（AAS），
∴AN=CM，
∴MN+AN=BM+CM，
即MA=MB+MC．

【点评】该命题以圆为载体，以考查圆周角定理及其推论、全等三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
　
19．已知：如图，BD平分∠ABC交△ABC的外接圆于D，求证：AD=CD．

【分析】利用角平分线的定义得出∠ABD=∠CBD，进而得出AD=CD．
【解答】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴，
∴AD=CD．

【点评】此题主要考查了角平分线的定义以及圆周角定理，得出∠ABD=∠CBD是解题关键．
　
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，∠C=30°，求⊙O的直径．

【分析】（1）根据圆周角定理得∠P=∠C，而∠1=∠C，则∠1=∠P，于是根据平行线的判定即可得到CB∥PB；
（2）解：连结OC，如图，有（1）得∠1=∠P=30°，再根据垂径定理得到=，则利用圆周角定理得∠BOC=2∠P=60°，于是可判断△BOC为等边三角形，所以OB=BC=3，
易得⊙O的直径为6．
【解答】（1）证明：∵∠P=∠C，
而∠1=∠C，
∴∠1=∠P，
∴CB∥PD；
（2）解：连结OC，如图，
∵∠1=30°，
∴∠P=30°，
∵CD⊥AB，
∴=，
∴∠BOC=2∠P=60°，
∴△BOC为等边三角形，
∴OB=BC=3，
∴⊙O的直径为6．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
　
21．如图，点A、B、C为⊙O上顺次三点，AC为⊙O直径，CD∥AB，CD=AC，连接BD交AC于点E，交⊙O于点F．
（1）求证：∠ACF=∠D；
（2）若AB=，BC=3，求AC、BD的值．

【分析】（1）先根据平行线的性质得∠ABD=∠BDC，再根据圆周角定理得∠ACF=∠ABD，于是有∠ACF=∠BDC；
（2）根据圆周角定理，由AC为⊙O直径得到∠ABC=90°，则根据勾股定理可计算出AC=4，于是得到CD=4，再根据平行线的性质得∠BCD=90°，然后再利用勾股定理计算BD．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∵∠ACF=∠ABD，
∴∠ACF=∠BDC；

（2）解：∵AC为⊙O直径，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，∵AB=，BC=3，
∴AC==4，
∵CD=AC，
∴CD=4，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=90°，
在Rt△BCD中，∵BC=3，CD=4，
∴BD==5．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了勾股定理．
　
22．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AE=AB，以AB为直径作圆交BC于D，连接AD交CE于F点．求证：AF=FD．

【分析】作DH∥CE，交AB于H，先由AB为⊙O直径，根据圆周角定理得出AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质得出CD=BD，那么由三角形中位线定理得到BH=EH，又AE=AB，于是得出AE=EH，再由EF∥DH，即可证明AF=FD．
【解答】证明：作DH∥CE，交AB于H．
∵AB为⊙O直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴CD=BD，
∴BH=EH，
又AE=AB，
∴AE=EH，
∵EF∥DH，
∴AF=FD．

【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．
　
23．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于D，连接OD交BC于H．

（1）求证：OD⊥BC；
（2）若OH=DH，求∠BAC的度数；
（3）若AB=6，AC=4，过B作BK⊥AD于K，连接HK，求HK的长．
【分析】（1）如图1，证明=，运用垂径定理及其推论，即可解决问题．
（2）如图2，首先求出∠BOH的度数，运用圆周角定理即可解决问题．
（3）如图3，作辅助线，首先证明△BAK≌△MAK，得到BK=MK，进而判断HK为△BCM的中位线，即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1，
∵AD平分∠BAC，
∴=，
∴OD⊥BC；
（2）如图2，连接OB、OC；
∵OH=DH，OB=OD，
∴OH=OB，而OH⊥BH，
∴∠OBH=30°，∠BOH=60°
∴∠BAC=∠BOC=60°．
（3）如图3，分别延长BK、AC，交于点M；
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAK=∠MAK；
在△BAK与△MAK中，
，
∴△BAK≌△MAK（SAS），
∴BK=MK，AM=AB=6；
∵OD⊥BC，
∴BH=HC，
∴HK为△BCM的中位线，
∴HK=CM=（6﹣4）=1．

【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定等知识．该题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
　
24．如图，A，P，B，C是⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°．
（1）问△ABC是否为等边三角形？为什么？
（2）若⊙O的半径OD⊥BC于点E，BC=8，求⊙O的半径长．

【分析】（1）先根据圆周角定理得出∠ABC的度数，再直接根据三角形的内角和定理进行解答即可；
（2）连接OB，由等边三角形的性质可知，∠OBD=30°，根据BC=8利用直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）△ABC是等边三角形：
理由：
∵∠BAC=∠APC=60°，
又∵∠APC=∠ABC，
∴∠ABC=60°，
∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴△ABC是等边三角形；

（2）解：如图，

连接OB，
∵△ABC为等边三角形，⊙O为其外接圆，
∴O为△ABC的外心，
∴BO平分∠ABC，
∴∠OBD=30°，
∴OE=，OB=，
【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，垂径定理，解直角三角形等知识，将各知识点有机结合，旨在考查同学们的综合应用能力．
　












课堂测试
一．选择题（共3小题）
1．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（　　）

A．50° B．60° C．80° D．100°
【分析】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．
【解答】解：圆上取一点A，连接AB，AD，

∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BOD=100°，
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
　
2．如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数是（　　）

A．70° B．35° C．45° D．60°
【分析】欲求∠ADC，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．
【解答】解：∵A、B、C、D是⊙O上的四点，OA⊥BC，
∴弧AC=弧AB （垂径定理），
∴∠ADC=∠AOB（等弧所对的圆周角是圆心角的一半）；
又∠AOB=70°，
∴∠ADC=35°．
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理、圆周角定理．关键是将证明弧相等的问题转化为证明所对的圆心角相等．
　
3．如图，A、B、C是⊙O上的三点，若∠A+∠C=75°，则∠AOC的度数为（　　）

A．150° B．140° C．130° D．120°
【分析】直接根据圆周角定理和四边形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵A、B、C是⊙O上的三点，∠A+∠C=75°，
∴∠B=75°，
∴∠AOC=2∠B=150°．
故选：A．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
　
二．填空题（共2小题）
4．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=50°，则∠CAD=　40°　．

【分析】首先连接CD，由AD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACD=90°，又由圆周角定理，可得∠D=∠ABC=50°，继而求得答案．
【解答】解：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠D=∠ABC=50°，
∴∠CAD=90°﹣∠D=40°．
故答案为：40°．

【点评】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
　
5．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，=，若∠AOB=58°，则∠BDC=　29　度．

【分析】根据∠BDC=∠BOC求解即可；
【解答】解：连接OC．

∵=，
∴∠AOB=∠BOC=58°，
∴∠BDC=∠BOC=29°，
故答案为29．
【点评】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．