人教版七年级下册第九章 不等式与不等式组综合与测试学案设计

专题9.9 《不等式与不等式组》全章复习与巩固（知识讲解）

【学习目标】

1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；

2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；

3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；

4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；

5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是学习数学的一种重要途径.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、不等式

1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.

要点诠释：

（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.

（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．

解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：

（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．

2. 不等式的性质：

不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．

用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c

不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．

用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．

不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．

要点二、一元一次不等式

1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，

要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．

2.解法：

解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.

3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：

（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；

（2）设：设出适当的未知数；

（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；

（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；

（5）解：解出所列的不等式的解集；

（6）答：检验是否符合题意，写出答案.

要点诠释：

列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.

要点三、一元一次不等式组
　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.
要点诠释：

（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.

（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. 

（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集. 

（4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．

【典型例题】

类型一、不等式 

1．用不等式表示

（1）a的与一1的差是非正数．   

（2）a的平方减去b的立方大于a与b的和．

（3）a的减去4的差不小于-6．   

（4）x的2倍与y的和不大于5．

（5）长方形的长与宽分别为4、，它的周长大于20．

【答案与解析】

【分析】根据题意以及不等式的定义列不等式．

解：（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）．

【总结升华】正确运用不等符号翻译表述一些数学描述是学好不等式的关键，要关注一些常见的描述语言，如此处：不是、不少于、不大于……

举一反三：

【变式】用适当的符号语言表达下列关系：

2．用不等式表示：

(1)7x与1的差小于4；

(2)x的一半比y的2倍大；

(3)a的9倍与b的的和是正数．

【答案】(1)7x－1＜4  (2)x＞2y   (3)9a＋b＞0

【分析】

（1）7x与1的差是7x-1，小于4，再用小于号“<”与4连接即可；

（2）x的一半记作，y的2倍记作2y，然后用大于号“>”连接即可；

（3）a的9倍记作9a，b的记作，和是正数即相加后大于0．

解：由题意得

(1)7x－1＜4；      (2)x＞2y；       (3)9a＋b＞0

本题考查了列不等式表示数量关系，与列代数式问题相类似，首先要注意其中的运算及运算顺序，再就是要注意分清大于、小于、不大于、不小于的区别．

【答案】（1）；  （2）；（3）。

2.说出下列不等式的变形是根据不等式的哪一条性质：

（1）由x＞－3，得x＞－6；___________________________;

（2）由3＋x≤5，得x≤2；______________________________;

（3）由－2x＜6，得x＞－3；____________________________;

（4）由3x≥2x－4，得x≥－4.___________________________;

【答案】（1）不等式的基本性质2；（2）不等式的基本性质1；

（3）不等式的基本性质3；（4）不等式的基本性质1.

【思路点拨】根据不等式的基本性质依次分析各小题即可得到结果。

（1）由x＞－3，根据不等式的基本性质2，两边同时乘以2得x＞－6；

（2）由3＋x≤5，根据不等式的基本性质1，两边同时减去3得x≤2；

（3）由－2x＜6，根据不等式的基本性质3，两边同时除以－2得x＞－3；

（4）由3x≥2x－4，根据不等式的基本性质1，两边同时减去2x得x≥－4.

考点：本题考查的是不等式的基本性质

举一反三：

【变式1】7．a、b、c表示的数在数轴上如图所示，试填入适当的>”“<”或“=”．

（1）______．                    （2）________0．

（3）__________．                   （4）________．

（5）________．                （6）_______．

（7）________．                  （8）_______．

【答案】（1）>；（2）>；（3）>；（4）<；（5）<；（6）>；（7）>；（8）．

解：由数轴的定义得：，

（1）不等式的两边同加上3，不改变不等号的方向，则；

（2）不等式的两边同减去，不改变不等号的方向，则，即；

（3）不等式的两边同乘以，不改变不等号的方向，则；

（4）不等式的两边同乘以，改变不等号的方向，则；

（5）不等式的两边同乘以，改变不等号的方向，则；不等式的两边同加上1，不改变不等号的方向，则；

（6）不等式的两边同乘以正数，不改变不等号的方向，则；

（7）不等式的两边同减去，不改变不等号的方向，则；

（8）不等式的两边同乘以正数，不改变不等号的方向，则．

【点拨】本题考查了不等式的性质、数轴的定义，熟记不等式的性质是解题关键．

类型二、一元一次不等式     

3. 23．解不等式，并把解集在数轴上表示出来，并写出它的最大整数解．

【思路点拨】不等式去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集，找出解集中的最大整数解即可．

解：，

去分母得：6x+3≤4x﹣4+12，

移项合并得：2x≤5，

系数化为1得：x≤2.5，

则不等式的最大整数解为2．

【总结升华】解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤异同见下表：

举一反三：

【变式】解不等式并把它的解集在数轴上表示出来．

【答案】

【解析】先去分母、移项、合并同类项后把x的系数化为1，即可得到不等式的解集，再利用数轴表示解集即可．

解：，

，

，

，

不等式的解集在数轴上表示如下：

．

【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式：解一元一次不等式的一般步骤为：先去括号，再移项，接着合并同类项，然后把系数化为1.也考查了在数轴上表示不等式的解集．

4.随着宁波市江北区慈城古县城旅游开发的推进，到慈城旅游的全国各地游客逐年上升．深受当地老百姓喜爱的两种本土特产杨梅和年糕，也深受外地游客的青睐．现在，有两种特产大礼包的组合是这样的：若购买2筐杨梅和3盒年糕，则需花费270元；若购买1筐杨梅和4盒年糕，则需花费260元．（杨梅、年糕分别按包装筐和包装盒计价）

（1）求一筐杨梅、一盒年糕的售价分别是多少元？

（2）如果需购买两种特产共12件（1筐或1盒称为1件），要求年糕的盒数不高于杨梅筐数的两倍，请你设计一种购买方案，使所需总费用最低．

【答案】（1）一筐杨梅、一盒年糕的售价分别是60元、50元；（2）购买4筐杨梅，8盒年糕时，总费用最少。

【分析】

（1）设一筐杨梅、一盒年糕的售价分别是x元、y元，根据题意列出方程组即可求解；

（2）设购买n筐杨梅，则购买（12﹣n）盒年糕，总费用为m元，根据题意可得n的取值范围，列出n关于m的函数，根据一次函数性质即可设计购买方案．

解：（1）设一筐杨梅、一盒年糕的售价分别是x元、y元，

根据题意，得，

解得．

答：一筐杨梅、一盒年糕的售价分别是60元、50元．

（2）设购买n筐杨梅，则购买（12﹣n）盒年糕，总费用为m元，

根据题意，得12﹣n≤2n，

解得n≥4，

∴m=60n+50（12﹣n）=10n+600，

∵n＞0，

∴m随n的增大而增大，

∴当n=4时，m=640，

答：购买4筐杨梅，8盒年糕时，总费用最少．

【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数与实际问题等知识．解决本题关键是认真审题，根据题意确定数量关系，并应用数量关系确定所用数学知识解决问题．

【变式】计划对河道进行改造，现有甲乙两个工程队参加改造施工，受条件限制，每天只能由一个工程队施工．若甲工程队先单独施工天，再由乙工程队单独施工天，则可以完成米施工任务：若甲工程队先单独施工天，再由乙工程对单独施工天，则可以完成米的施工任务．

（1）求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施工任务？

（2）该河道全长米，若两队合作工期不能超过天，乙工程队至少施工多少天？

【答案】（1）甲工程队每天能完成施工任务米，乙工程队每天能完成施工任务米；（2）乙工程队至少施工天

【分析】

（1）设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，根据等量关系列出二元一次方程组，即可求解；

（2）设乙工程队施工a天，根据不等量关系，列出一元一次不等式，即可求解．

解：（1）设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，

根据题意得：，解得：，

答：甲工程队每天能完成施工任务米，乙工程队每天能完成施工任务米；

（2）设乙工程队施工a天，

根据题意得：80a+50（90-a）≥6000，

解得：a≥50，

答：乙工程队至少施工天

【点拨】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式的实际应用，找出等量关系和不等量关系，列出方程组和不等式，是解题的关键．

类型三、一元一次不等式组

5.解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上．

【答案】不等式组的的解集为，数轴见解析

【分析】先分别求解不等式，再根据数轴表示不等式解集的方法准确画出图形即可．

 解：，

由①得：，

由②得：，

不等式组的的解集为．

【点拨】

本题考查解不等式组及在数轴上表示不等式组的解集，准确求解不等式组并理解数轴表示解集的细节是解题关键．

举一反三：

【变式】解不等式组：，并写出负整数解．

【答案】-3≤x＜-1，该不等式组的负整数解有-3、-2

【分析】

根据求出两个不等式的解集，然后取公共解集，再写出负整数解即可．

解：

解①，得x≥-3；

解②，得x＜-1

∴该不等式组的解集为-3≤x＜-1

∴该不等式组的负整数解有-3、-2．

【点睛】此题考查的是解一元一次不等式组，掌握不等式的解法和公共解集的取法是解题关键．

类型四、综合应用

7.关于x的方程3x+2（3a+1）＝6x+a的解大于1，求a的取值范围．

【答案】a＞．

【分析】

解方程表示出x，由x大于1即可求出a的范围．

解：解方程3x+2（3a+1）＝6x+a，得：x＝，

根据题意得：＞1，

解得：a＞．

【点拨】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的解法，属于基础题型，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键．

举一反三：

【变式1】m为何值时，关于x的方程： 的解大于1？

【答案】

解：由，得，

∴，解得．

∴当时，关于x的方程： 的解大于1.

【变式2】某家庭投资3.5万元资金建造屋顶光伏发电结，遇到晴天平均每天可发电30度，其他天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电600度．

（1）求这个月晴天的天数；

（2）已知该家庭每月平均用电150度，若按每月发电600度计算，问至少需要几年才能收回成本？（不计其他费用，结果取整数）

【答案】（1）18天；（2）7年

【分析】

（1）设这个月晴天的天数为x，根据“某月（按30天计）共发电600度”列出关于x的方程，解之可得；
（2）设需要y年才能收回成本，根据家庭共投资3.5万元列出关于y的不等式，解之可得．

【详解】

解：（1）设这个月晴天的天数为x，
由题意得：30x+5（30-x）=600，
解得x=18，
∴这个月晴天的天数为18．
（2）设需要y年才能收回成本，由题意得
（600-150）×（0.52+0.45）×12y≥35000，
5238y≥35 000，
y≥6.7，
∵y取整数，
∴至少需要7年才能收回成本．

【点拨】本题考查一元一次不等式、一元一次方程等知识，熟练应用方程或不等式解决实际问题是解题的关键，属于中考常考题型．