初中数学人教版七年级下册第七章 平面直角坐标系综合与测试导学案

专题7.5 《平面直角坐标系》全章复习与巩固（知识讲解）

【学习目标】

1. 理解平面直角坐标系及象限的概念，并会在坐标系中根据点的坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标；

2. 掌握用坐标系表示物体位置的方法及在物体平移变化前后点坐标的变化；

3. 通过学习平面直角坐标系的基础知识,逐步理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系,进而培养数形结合的数学思想．

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、有序数对

把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.

要点二、平面直角坐标系

 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：

要点诠释：

（1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.

（2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.

（3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：

① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零．

② 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；

平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等．

     ③ 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；

        关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；

        关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．

④ 象限角平分线上的点的坐标特征：

        一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；

        二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．

注：反之亦成立．

（4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：

      ① 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|．

      ② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|；

         y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．

③ 平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|；

         平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．

（5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补.

要点三、坐标方法的简单应用

1．用坐标表示地理位置

   (1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；

   (2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；

   (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．

要点诠释：

   (1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置．

   (2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．

2．用坐标表示平移

 (1)点的平移

点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．

 要点诠释：

上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换．

  (2)图形的平移

    在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．

要点诠释：

平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．

【典型例题】

类型一、有序数对

1．在平面直角坐标系中，我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，4），点B是轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是______；当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m=________（用含n的代数式表示．）

【答案】3或4    6n－3   

【分析】根据题意画出图形，再找出点B的横坐标与△AOB内部（不包括边界）的整点m之间的关系即可求出答案．

解：如图：当点B在（3，0）点或（4，0）点时，△AOB内部（不包括边界）的整点为（1，1），

（1，2），（2，1），共三个点，∴当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是3或4．

当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，

∵以OB为长OA为宽的矩形内（不包括边界）的整点个数为（4n－1）×3=12n－3，对角线AB上的整点个数总为3，

∴△AOB内部（不包括边界）的整点个数m=（12 n－3－3）÷2=6n－3．

故答案为：3或4；6n－3．

【点拨】本题考查分类归纳（图形的变化类），点的坐标，矩形的性质．

举一反三：

【变式】我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作(4，6)，则向西走5米，再向北走3米，记作________；数对(-2，-6)表示________．

【答案】 (-5，3)；向西走2米，向南走6米.

类型二、平面直角坐标系

2.如图，在单位正方形网格中，建立了平面直角坐标系试解答下列问题：

（1）写出三个顶点的坐标；

（2）画出向右平移个单位，再向下平移个单位后的图形；

（3）求的面积．

【答案】（1）A(-1，8)，B(-4，3)，C(0，6)；（2）答案见解析；（3） ．

【分析】

（1）直接利用平面直角坐标系即可得出答案；

（2）根据点的平移规律找到A,B,C的对应点，然后顺次连接即可；

（3）用三角形所在的长方形的面积减去三个小三角形的面积即可得出答案．

解：（1）根据平面直角坐标系可得，；

（2） 图形如图：

（3） ．

【点拨】本题主要考查平面直角坐标系和图形的平移，掌握点的平移规律是解题的关键．

举一反三：

【变式1】 (乐山)在平面直角坐标系中，点P(-3，4)到x轴的距离为(   ) ．

    A．3    B．-3    C．4    D．-4

【答案】C.

【变式2】 (长春)如图所示，小手盖住的点的坐标可能为(   ) ．

    A．(5，2)    B．(-6，3)    C．(-4，-6)    D．(3，-4)

【答案】D.

类型三、坐标方法的简单应用

3.如图是某动物园的平面示意图，借助刻度尺、量角器，解决如下问题：

（1）猴园和鹿场分别位于水族馆的什么方向？

（2）与水族馆距离相同的地方有哪些场地？

（3）如果用（5，3）表示图上的水族馆的位置，那么猛兽区怎样表示？（7，5）表示什么区？

,

【答案】（1）猴园在水族馆东偏北方向，鹿场在水族馆北偏西方向；（2）孔雀园和鹿场；（3）猛兽区用（9，7）表示，（7，5）表示鸟类区

【解析】

（1）借助量角器，根据利用方向和距离确定物体位置的方法得出答案．

（2）借助刻度尺，根据动手测量结果可得出答案；

（3）要利用数方格的方法确定猛兽区的位置和鸟类区的位置．

 解：（1）猴园在水族馆东偏北方向，鹿场在水族馆北偏西方向；

（2）根据动手测量结果可得：孔雀园和鹿场与水族馆距离相同；

（3）∵水族馆（5，3）向右平移4个单位，向上平移4个单位到猛兽区，

∴猛兽区用（9，7）表示，

∵水族馆（5，3）到（7，5），水族馆向右平移2个单位，向上平移2各单位到鸟类区，

∴（7，5）表示鸟类区

【点拨】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力，和阅读理解能力，以及学生的动手操作能力．

 4.在平面直角坐标系中，A（1，3）、B（2，1），OA∥BC，OC∥AB，试用平移的知识求C点坐标．

【答案】点B（2，1）向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到点C（1，-2）．

【分析】先根据点A的坐标得到A点向左平移1个单位，再向下平移3个单位可得到原点O（0，0），由于OA∥BC，OC∥AB，所以点B（2，1）向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到点C（1，-2）．

解：∵把A点向左平移1个单位，再向下平移3个单位可得到原点O（0，0），

而OA∥BC，OC∥AB，

∴OC可由AB向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到，

∴点B（2，1）向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到点C（1，-2）．

【点拨】本题考查了坐标与图形变化-平移：向右平移a个单位，坐标P（x，y） （x+a，y）；向左平移a个单位，坐标P（x，y）（x-a，y）；向上平移b个单位，坐标P（x，y）（x，y+b）；向下平移b个单位，坐标P（x，y）（x，y-b）．

5.△ABC三个顶点坐标分别是A(4，3)，B(3，1)，C(1，2)．

 (1)将△ABC向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得△A1B1C1的三个顶点坐标分别是什么?

 (2)将△ABC三个顶点的横坐标都减去5，纵坐标不变，分别得到A2、B2、C2，依次连接A2、B2、C2各点，所得△A2B2C2与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系?

 (3)将△ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到A3、B3、C3，依次连接A3、B3、C3各点，所得△A3B3C3与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系?

【答案与解析】

解：(1)A1(5，1)，B1(4，-1)，C1(2，0)．

    (2)△A2B2C2与△ABC的大小、形状完全相同，在位置上是把△ABC向左平移5个单位得到．

    (3)△A3B3C3与△ABC的大小、形状完全相同，在位置上是把△ABC向下移5个单位得到．

【总结升华】此题揭示了平移的整体性，以及平移前后的坐标关系是一一对应的，在平移中，横坐标减小等价于向左平移；横坐标增大等价于向右平移；纵坐标减小等价于向下平移；纵坐标增大等价于向上平移．

举一反三：

【变式】在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B（﹣3，2）重合，则点A的坐标是（　　）

　 A．（2，5） B．（﹣8，5） C．（﹣8，﹣1） D．（2，﹣1）

【答案】D．

解：在坐标系中，点（﹣3，2）先向右平移5个单位得（2，2），再把（2，2）向下平移3个单位后的坐标为（2，﹣1），则A点的坐标为（2，﹣1）．

故选：D．

类型四、综合应用

6.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（8，0），C（8，6）三点．

（1）求△ABC的面积；   

（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），且四边形ABOP的面积是△ABC的面积的两倍；求满足条件的P点的坐标．

【答案】（1）24；（2）P（﹣16，1）

【解析】

【试题分析】（1）把BC看成底，高为6,直接求出面积即可.

（2）四边形ABOP的面积是△ABC的面积的两倍列方程得：S四边形ABOP=2S△ABC=48，

∴16﹣2m=48，得：m=-16,得解.

解：（1）∵B（8，0），C（8，6），

∴BC=6，

∴S△ABC= ×6×8=24；

（2）∵A（0，4）（8，0），

∴OA=4，OB=8，

∴S四边形ABOP=S△AOB+S△AOP

= ×4×8+ ×4（﹣m）=16﹣2m，

又∵S四边形ABOP=2S△ABC=48，

∴16﹣2m=48，

解得：m=﹣16，

∴P（﹣16，1）． 

举一反三：

【变式】如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(a，0)，B(b，0)，且a，b满足，点C的坐标为(0，3).

(1)求a，b的值及S三角形ABC；

(2)若点M在x轴上，且S三角形ACM＝S三角形ABC，试求点M的坐标.

【答案】（1）9（2）(0，0)或(－4，0)

【解析】

（1）先根据非负数的性质求出a，b的值，再求出AB，OC的长，得到三角形的面积；

（2）设点M的坐标为(x，0)，用含x的式子表示出AM的长，再用含x的式子表示出△ACM的面积，得到关于x的方程.

解：(1)∵＝0，∴a＋2＝0，b－4＝0.

∴a＝－2，b＝4.

∴点A(－2，0)，点B(4，0)．

又∵点C(0，3)，∴AB＝|－2－4|＝6，CO＝3.

∴S三角形ABC＝AB·CO＝×6×3＝9.

(2)设点M的坐标为(x，0)，

则AM＝|x－(－2)|＝|x＋2|.

又∵S△ACM＝S△ABC，

∴AM·OC＝×9，∴|x＋2|×3＝3.

∴|x＋2|＝2.即x＋2＝±2，

解得x＝0或－4，

故点M的坐标为(0，0)或(－4，0)．

点睛：本题主要考查了非负数的性质，同一坐标轴上两点间的距离及三角形的面积公式，在直角坐标系中求三角形的面积时，如果三角形有一条边在坐标轴上或有一条边平行于坐标轴，那么一般以这条边为三角形的底边，求出这条边上的高即可根据三角形的面积公式求解.