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人教版九年级上册24.2.1 点和圆的位置关系图文课件ppt
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这是一份人教版九年级上册24.2.1 点和圆的位置关系图文课件ppt，共41页。PPT课件主要包含了点和圆的位置关系，要点归纳等内容，欢迎下载使用。
我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉.如图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？
3. 了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.
1. 理解并掌握点和圆的三种位置关系.
2. 理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握作图方法.
4. 了解反证法的证明思想.
问题1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？
点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.
问题2：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？
点P在⊙O内
点P在⊙O上
点P在⊙O外
反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？
例1 如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.
（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？
解：AD=4=r，故D点在⊙A上 AB=3r，故C点在⊙A外
（2）若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围？（直接写出答案）
变式题1 ⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C在 .
变式题2 圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP= ，则点P在（ ）A.大圆内 B.小圆内 C.小圆外 D.大圆内，小圆外
问题1如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？
以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；可作无数个圆.
问题2：如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？
作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可;可作无数个圆.
问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？
经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.
经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.
经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
定理： 不在同一直线上的三个点确定一个圆.
例2 已知：不在同一直线上的三点A、B、C. 求作： ⊙O,使它经过点A、B、C.
作法：1. 连结AB，作线段AB的垂直平分线MN；2. 连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；3. 以O为圆心，OB为半径作圆。 所以⊙O就是所求作的圆.
问题4:现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？
方法:1. 在圆弧上任取三点A、B、C;2. 作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心;3. 以点O为圆心，OC长为半径作圆.⊙O即为所求.
变式题3 如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心．
∵A、B两点在圆上，所以圆心必与A、B两点的距离相等，
又∵和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，
∴圆心在CD所在的直线上，因此可以做任意两条直径，它们的交点为圆心.
已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.
外接圆 经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.⊙O叫做△ABC的________， △ABC叫做⊙O的____________.
到三角形三个顶点的距离相等.
外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.
三角形三边中垂线的交点.
【练一练】 判断下列说法是否正确.(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆.( )(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形.( )(3)经过三点一定可以确定一个圆. ( )(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.( )
画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点,钝角三角形的外心位于三角形外.
例3 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)．(1)求∠DAO的度数；(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°， ∠DOA＝90°， ∴∠DAO＝30°；
圆与平面直角坐标系相结合的问题
(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3.在直角△AOD中，∵∠DOA＝90° ， ∴AD为直径.又∵∠DAO=30°，∴AD＝2OD＝6，因此圆的半径为3．∴△AOB外接圆的面积是9π.
解题妙招：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接圆的直径(或半径)长度．
变式题4 如图,已知直角坐标系中,A(0,4), B(4,4), C(6,2).
(1)写出经过A,B,C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标.(2)判断点D(5,-2)和圆M的位置关系.
解：(1)在方格纸中，线段AB和BC的垂直平分线相交于点(2，0)，所以圆心M的坐标为(2，0).(2)圆的半径线段DM ,所以点D在圆M内.
例4 如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．
解：连接OB，过点O作OD⊥BC.
即△ABC的外接圆的半径为13cm.
考查三角形的外接圆的有关知识
变式题5 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8cm,则它的外心与顶点C的距离为( )A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm解析：AB=10(cm),它的外心是斜边中点,外心与顶点C的距离是斜边的中线长为AB=5cm.
思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
如图，假设过同一条直线l上三点A、B、C可以作一个圆，设这个圆的圆心为P. 那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点. 而l1⊥l，l2⊥l这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾. 所以过同一条直线上的三点不能作圆．
先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
假设命题的结论不成立（提出与结论相反的假设）;从这个假设出发，经过推理，得出矛盾;由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
例5 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知：△ABC求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设 ，则 。因此 这与 矛盾．假设不成立．因此 ．
△ABC中没有一个内角小于或等于60°
∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°
三角形的内角和为180度
△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
∠A+∠B+∠C>180°
变式题6 利用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（ ）A.有一个锐角小于45° B.每一个锐角都小于45°C.有一个锐角大于45° D.每一锐角都大于45°
1.（2018•中考）已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4 +10b，则△ABC的外接圆半径= ．
解：∵a+b2+|c﹣6|+28=4 +10b，∴（a-1-4 +4）+（b2﹣10b+25）+|c﹣6|=0，∴（ ﹣2）2+（b﹣5）2+|c﹣6|=0，∴ ，b﹣5=0，c﹣6=0，解得，a=5，b=5，c=6，∴AC=BC=5，AB=6，作CD⊥AB于点D，则AD=3，CD=4，设△ABC的外接圆的半径为r，则OC=r，OD=4﹣r，OA=r，∴32+（4﹣r）2=r2，解得，r= .
2.（2018•中考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙O的直径为 ．
1. 如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法?
2. 正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A ；点C在⊙A ；点D在⊙A .
3.⊙O的半径r为5㎝，O为原点，点P的坐标为（3,4），则点P与⊙O的位置关系为 （ ）A.在⊙O内 B.在⊙O上 C.在⊙O外 D.在⊙O上或⊙O外
4.判断：（1）经过三点一定可以作圆 （ ）（2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点 （ ）（3）三角形的外心到三边的距离相等 （ ）（4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内 （ ）
5.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则它的外接圆半径= .
6.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C的度数是________．
1. 如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）
A．点P B．点Q C．点R D．点M
2.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）A．第①块 B．第④块 C．第③块 D．第②块
3. 画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.
某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘要确定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．解：(1)在圆形瓷盘的边缘选A、B、C三点；(2)连接AB、BC；(3)分别作出AB、BC的垂直平分线；(4)两垂直平分线的交点就是瓷盘的圆心.
定理：过不在同一直线上的三个点确定一个圆
注意：同一直线上的三个点不能作圆
我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉.如图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？
3. 了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.
1. 理解并掌握点和圆的三种位置关系.
2. 理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握作图方法.
4. 了解反证法的证明思想.
问题1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？
点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.
问题2：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？
点P在⊙O内
点P在⊙O上
点P在⊙O外
反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？
例1 如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.
（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？
解：AD=4=r，故D点在⊙A上 AB=3
（2）若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围？（直接写出答案）
变式题1 ⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C在 .
变式题2 圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP= ，则点P在（ ）A.大圆内 B.小圆内 C.小圆外 D.大圆内，小圆外
问题1如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？
以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；可作无数个圆.
问题2：如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？
作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可;可作无数个圆.
问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？
经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.
经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.
经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
定理： 不在同一直线上的三个点确定一个圆.
例2 已知：不在同一直线上的三点A、B、C. 求作： ⊙O,使它经过点A、B、C.
作法：1. 连结AB，作线段AB的垂直平分线MN；2. 连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；3. 以O为圆心，OB为半径作圆。 所以⊙O就是所求作的圆.
问题4:现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？
方法:1. 在圆弧上任取三点A、B、C;2. 作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心;3. 以点O为圆心，OC长为半径作圆.⊙O即为所求.
变式题3 如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心．
∵A、B两点在圆上，所以圆心必与A、B两点的距离相等，
又∵和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，
∴圆心在CD所在的直线上，因此可以做任意两条直径，它们的交点为圆心.
已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.
外接圆 经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.⊙O叫做△ABC的________， △ABC叫做⊙O的____________.
到三角形三个顶点的距离相等.
外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.
三角形三边中垂线的交点.
【练一练】 判断下列说法是否正确.(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆.( )(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形.( )(3)经过三点一定可以确定一个圆. ( )(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.( )
画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点,钝角三角形的外心位于三角形外.
例3 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)．(1)求∠DAO的度数；(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°， ∠DOA＝90°， ∴∠DAO＝30°；
圆与平面直角坐标系相结合的问题
(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3.在直角△AOD中，∵∠DOA＝90° ， ∴AD为直径.又∵∠DAO=30°，∴AD＝2OD＝6，因此圆的半径为3．∴△AOB外接圆的面积是9π.
解题妙招：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接圆的直径(或半径)长度．
变式题4 如图,已知直角坐标系中,A(0,4), B(4,4), C(6,2).
(1)写出经过A,B,C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标.(2)判断点D(5,-2)和圆M的位置关系.
解：(1)在方格纸中，线段AB和BC的垂直平分线相交于点(2，0)，所以圆心M的坐标为(2，0).(2)圆的半径线段DM ,所以点D在圆M内.
例4 如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．
解：连接OB，过点O作OD⊥BC.
即△ABC的外接圆的半径为13cm.
考查三角形的外接圆的有关知识
变式题5 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8cm,则它的外心与顶点C的距离为( )A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm解析：AB=10(cm),它的外心是斜边中点,外心与顶点C的距离是斜边的中线长为AB=5cm.
思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
如图，假设过同一条直线l上三点A、B、C可以作一个圆，设这个圆的圆心为P. 那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点. 而l1⊥l，l2⊥l这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾. 所以过同一条直线上的三点不能作圆．
先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
假设命题的结论不成立（提出与结论相反的假设）;从这个假设出发，经过推理，得出矛盾;由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
例5 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知：△ABC求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设 ，则 。因此 这与 矛盾．假设不成立．因此 ．
△ABC中没有一个内角小于或等于60°
∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°
三角形的内角和为180度
△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
∠A+∠B+∠C>180°
变式题6 利用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（ ）A.有一个锐角小于45° B.每一个锐角都小于45°C.有一个锐角大于45° D.每一锐角都大于45°
1.（2018•中考）已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4 +10b，则△ABC的外接圆半径= ．
解：∵a+b2+|c﹣6|+28=4 +10b，∴（a-1-4 +4）+（b2﹣10b+25）+|c﹣6|=0，∴（ ﹣2）2+（b﹣5）2+|c﹣6|=0，∴ ，b﹣5=0，c﹣6=0，解得，a=5，b=5，c=6，∴AC=BC=5，AB=6，作CD⊥AB于点D，则AD=3，CD=4，设△ABC的外接圆的半径为r，则OC=r，OD=4﹣r，OA=r，∴32+（4﹣r）2=r2，解得，r= .
2.（2018•中考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙O的直径为 ．
1. 如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法?
2. 正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A ；点C在⊙A ；点D在⊙A .
3.⊙O的半径r为5㎝，O为原点，点P的坐标为（3,4），则点P与⊙O的位置关系为 （ ）A.在⊙O内 B.在⊙O上 C.在⊙O外 D.在⊙O上或⊙O外
4.判断：（1）经过三点一定可以作圆 （ ）（2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点 （ ）（3）三角形的外心到三边的距离相等 （ ）（4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内 （ ）
5.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则它的外接圆半径= .
6.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C的度数是________．
1. 如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）
A．点P B．点Q C．点R D．点M
2.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）A．第①块 B．第④块 C．第③块 D．第②块
3. 画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.
某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘要确定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．解：(1)在圆形瓷盘的边缘选A、B、C三点；(2)连接AB、BC；(3)分别作出AB、BC的垂直平分线；(4)两垂直平分线的交点就是瓷盘的圆心.
定理：过不在同一直线上的三个点确定一个圆
注意：同一直线上的三个点不能作圆
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