人教版九年级上册24.1.4 圆周角背景图ppt课件

这是一份人教版九年级上册24.1.4 圆周角背景图ppt课件，共43页。PPT课件主要包含了导入新知，素养目标，探究新知，测量与猜想，推导与论证，OAOC，∠A∠C，圆周角定理，互动探究，圆周角定理的推论等内容，欢迎下载使用。

问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角, ∠BOC.
问题2 如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点?
∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点.
思考： 图中过球门A、C两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B、D、E有关（张开的角度大小）、仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点的位置射门更有利？
1. 理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
3. 理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程.
2. 掌握圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.
4. 掌握圆内接多边形的概念及内接四边形的性质并能运用其性质进行计算.
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
练一练：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
如图，连接BO、CO，得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.
圆心O 在∠BAC 的 内部
圆心O在∠BAC的一边上
圆心O在∠BAC的外部
圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
∠BOC= ∠ A+ ∠C
圆心O在∠BAC的内部
证明：连接AO并延长交⊙O于D.
圆心O在∠BAC的外部
证明：连接AO并延长交⊙O于点O.
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
问题1 如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ,D 是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由.
(2)若CD是直径，你能求出∠A的度数吗？
证明：连接OC，OE，OD，OF
试一试 如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35º.
(1)∠BOC= º，理由是 ;(2)∠BDC= º，理由是 .
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
如图，线段AB是☉O的直径，点C是 ☉O上的任意一点（除点A、B外），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？
解：∵OA=OB=OC，∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.
∴ ∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.
又∵ ∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.
∴ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.
例1 如图，AB是☉O的直径，∠A=80°.求∠ABC的大小.
解： ①∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB=90°
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB =180°-90°-80°=10°.
利用圆周角定理及推论求角的度数
　变式题1 如图，AB是⊙O的直径，∠A＝10°，则∠ABC＝______．
例2 如图，分别求出图中∠x的大小.
解：(1)∵同弧所对圆周角相等，∴∠x=60°.
∵同弧所对圆周角相等，
∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.
∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.
变式题2 如图,正方形ABCD的顶点都在☉O上,P是弧DC上的一点,则∠BPC=_____.
解析：连接BD,则BD是直径,∴△BCD是等腰直角三角形,∴∠BDC=45°,∴∠BPC=∠BDC=45°.
例3：如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.（1）求DC的长；
（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B, 求AB、BC的长．
利用圆周角定理及推论进行计算及证明线段相等
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
(2) ∵ AC是直径, ∴ ∠ABC=90°. ∵BD平分∠ADC, ∴∠ADB=∠CDB.又∵∠ACB=∠ADB ,∠BAC=∠BDC . ∴ ∠BAC=∠ACB, ∴AB=BC.
解题妙招在圆周角问题中，若题干中出现“直径”这个条件，则找直径所对的圆周角，通过构造直角三角形来解决。
变式题3 如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(　　)A．30° B．45° C．60° D．75°
解析：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为：
∠A+ ∠C=180º，∠B+ ∠D=180º
想一想：如何证明你的猜想呢？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°，
推论：圆内接四边形的对角互补.
∠BCD＋∠DCE＝180°.
想一想：图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
练习：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C= ，∠D= .
例4：如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O， ∴∠FGD＝∠ACD. 又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E， ∴AB垂直平分CD， ∴AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴∠FGD＝∠ADC.
圆内接四边形性质的应用
变式题4 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是(　　)A．120° B．100°C．80° D．60°
解析：∵∠BOD＝120°， ∴∠A＝60°， ∴∠C＝180°－60°＝120°.
1.（2018•中考）如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（　　）A．25° B．27.5°C．30° D．35°
2.（2018•中考）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（ ）A．50°B．60°C．80°D．100°
解析：圆上取一点A，连接AB，AD， ∵点A、B、C、D在⊙O上∠BCD=130°， ∴∠BAD=50°， ∴∠BOD=100°
1.判断（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ）（2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ）（3）同弦所对的圆周角相等 （ ）
2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°, 则∠AOB= ．
3. 如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（ ） A.30° B.40° C.50° D.60°
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O,如∠BOD=130°则∠BCD的度数是（ ） A. 115° B. 130° C. 65° D. 50°
∴∠ACB=2∠BAC
如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
∠AOB=2∠BOC，
船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？
解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即⊙O外） ，与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”.
即：在⊙O中，∠ACB=∠AEB在△PEB中，∠AEB=∠α