高中数学人教版新课标A必修1第一章 集合与函数概念1.1 集合1.1.2集合间的基本关系图文课件ppt

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1.1.2　集合间的基本关系
学习目标　1.理解子集、真子集、空集的概念.2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法．

知识点一　子集
对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A含于B”(或“B包含A”)．
子集的有关性质：
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.
(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.
(3)若A⊆B，B⊆A，则A＝B.
知识点二　真子集
如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)，读作A真含于B(或B真包含A)．
知识点三　空集
思考　集合{x∈R|x2＜0}中有几个元素？
答案　0个．
梳理　
定义
不含任何元素的集合叫做空集
符号
用符号表示为∅
规定
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

知识点四　Venn图
思考　图中集合A，B，C的关系用符号可表示为__________．

答案　A⊆B⊆C
梳理　一般地，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．Venn图可以直观地表达集合间的关系．

1．若用“≤”类比“⊆”，则“”相当于“<”．(√)
2．空集可以用表示．(×)
3．若a∈A，则⊆A.(√)
4．若a∈A，则A.(×)

类型一　求集合的子集
例1　(1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论．
考点　子集及其运算
题点　求集合的子集
解　(1)∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}．
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集．如∅，有20即一个子集，20－1即0个真子集．
反思与感悟　为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等．
跟踪训练1　适合条件{1}⊆A{1,2,3,4,5}的集合A的个数是(　　)
A．15 B．16 C．31 D．32
考点　子集及其运算
题点　求集合的子集
答案　A
解析　集合A中必有元素1，其余元素从中取，但A≠.这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}，共15个，等于真子集的个数24－1.
类型二　判断集合间的关系
命题角度1　概念间的包含关系
例2　设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为(　　)
A．P⊆N⊆M⊆Q B．Q⊆M⊆N⊆P
C．P⊆M⊆N⊆Q D．Q⊆N⊆M⊆P
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　B
解析　正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，故选B.
反思与感悟　一个概念通常就是一个集合，要判断概念间的关系首先得准确理解概念的定义．
跟踪训练2　我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N，Z，Q，R表示，用符号表示N，Z，Q，R的关系为________．
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　NZQR
命题角度2　数集间的包含关系
例3　设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为(　　)
A．A∈B B．B∈A C．A⊆B D．B⊆A
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　C
解析　∵0<2，∴0∈B.
又∵1<2，∴1∈B.
∴A⊆B.
反思与感悟　判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察．
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
(3)数形结合法：利用数轴、坐标系、Venn图表示集合，再直观判断两集合的关系．
跟踪训练3　已知集合A＝{x|－1 A．A∈B B．AB C．BA D．B⊆A
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　B
解析　由数轴易知A中元素都属于B，B中至少有一个元素如－2∉A，故有AB.




类型三　由集合间的关系求参数(或参数范围)
例4　已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|ax＝1}，且A⊇B，求实数a的值．
考点　子集及其运算
题点　根据子集关系求参数的值
解　A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}．
(1)当a＝0时，B＝∅⊆A，符合题意．
(2)当a≠0时，B＝{x|ax＝1}＝，
∵≠0，要使A⊇B，只有＝1，即a＝1.
综上，a＝0或a＝1.
反思与感悟　集合A的子集可分三类：∅、A本身，A的非空真子集，解题中易忽略∅.
跟踪训练4　已知集合A＝{x|1 考点　子集及其运算
题点　根据子集关系求参数的取值范围
解　(1)当2a－3≥a－2，即a≥1时，B＝∅⊆A，符合题意．
(2)当a<1时，要使A⊇B，需满足
这样的实数a不存在．
综上，实数a的取值范围是{a|a≥1}.

1．下列集合中，等于空集的是(　　)
A．{x∈R|x2－1＝0} B．{x|x＞6或x＜1}
C．{(x，y)|x2＋y2＝0} D．{x|x＞6且x＜1}
考点　空集的定义、性质及运算
题点　空集的定义
答案　D
2．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是(　　)


考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　B
3．若A＝，下列关系错误的是(　　)
A．∅⊆∅ B．A⊆A
C．∅⊆A D．∅∈A
考点　空集的定义、性质及运算
题点　空集的性质
答案　D
4．已知集合A＝，B＝，则集合A，B之间的关系为________．
考点　集合的关系
题点　集合关系的判定
答案　A＝B
解析　A＝
＝，
B＝
＝，故A＝B.
5．若A＝{x|x>a}，B＝{x|x>6}，且A⊆B，则实数a的取值范围是________．
考点　子集及其运算
题点　根据子集关系求参数的取值范围
答案　[6，＋∞)

1．对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法．
(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
(3)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个元素x满足x∈B，但x∉A.
2．集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．
集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身不要漏掉．
3．由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
(1)注意点：①不能忽视集合为∅的情形；
②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．
(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．

一、选择题
1．在下列关系中错误的个数是(　　)
①1∈{0,1,2}；
②{1}∈{0,1,2}；
③{0,1,2}⊆{0,1,2}；
④{0,1,2}＝{2,0,1}；
⑤{0,1}⊆{(0,1)}．
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　B
解析　①正确；因为集合{1}是集合{0,1,2}的真子集，而不能用∈来表示，所以②错误；③正确，因为任何集合都是它本身的子集；④正确，因为集合元素具有无序性；因为集合{0,1}表示数集，它有两个元素，而集合{(0,1)}表示点集，它只有一个元素，所以⑤错误，所以错误的个数是2.故选B.
2．若＝，则(　　)
A．b＝－3，c＝2 B．b＝3，c＝－2
C．b＝－2，c＝3 D．b＝2，c＝－3
考点　集合相等的概念
题点　由集合相等求参数的值
答案　A
解析　依题意知，1,2是方程x2＋bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系得，b＝－(x1＋x2)＝－3，c＝x1x2＝2.
3．已知集合U，S，T，F的关系如图所示，则下列关系正确的是(　　)

①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U.
A．①③ B．②③ C．③④ D．③⑥
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　D
解析　元素与集合之间的关系才用∈，故①⑤错；子集的区域要被全部涵盖，故②④错．
4．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则(　　)
A．A⊆B B．C⊆B C．D⊆C D．A⊆D
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　B
解析　∵等腰三角形包括等腰直角三角形，∴C⊆B.
5．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠∅，B⊆A，则(a，b)不能是(　　)
A．(－1,1) B．(－1,0)
C．(0，－1) D．(1,1)
考点　子集及其运算
题点　根据子集关系求参数的值
答案　B
解析　当a＝－1，b＝1时，B＝{x|x2＋2x＋1＝0}＝{－1}，符合；
当a＝b＝1时，B＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，符合；
当a＝0，b＝－1时，B＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，符合；
当a＝－1，b＝0时，B＝{x|x2＋2x＝0}＝{0，－2}，不符合．
6．已知集合A⊆，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
考点　子集及其运算
题点　求集合的子集
答案　A
解析　方法一　集合的子集为∅，，，，，，，，其中含有偶数的集合有6个．
方法二　共有23＝8(个)子集，其中不含偶数的有∅，.
故符合题意的A共有8－2＝6(个)．
7．已知∅，则实数a的取值范围是(　　)
A．a< B．a≤
C．a≥ D．a>
考点　空集的定义、性质及运算
题点　与空集有关的参数问题
答案　B
解析　∵∅，
∴方程x2－x＋a＝0有实根，
∴Δ＝(－1)2－4a≥0，故a≤.
8．若M⊆P，M⊆Q，P＝{0,1,2}，Q＝{0,2,4}，则满足上述条件的集合M的个数是(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
考点　子集个数
题点　附加条件的子集个数
答案　C
解析　P，Q中的公共元素组成集合C＝{0,2}，M⊆C，这样的集合M共有22＝4个．
二、填空题
9．已知{0,1}A⊆{－1,0,1}，则集合A＝________.
考点　子集及其运算
题点　求集合的子集
答案　{－1,0,1}
解析　由题意知集合A中一定含有元素0,1，并且A中至少含三个元素，又因为A⊆{－1,0,1}，
所以A＝{－1,0,1}．
10．若集合A＝{x|2≤x≤3}，集合B＝{x|ax－2＝0，a∈Z}，且B⊆A，则实数a＝________.
考点　子集及其运算
题点　根据子集关系求参数的值
答案　0或1
解析　当B＝∅时，a＝0，满足B⊆A；
当B≠∅时，a≠0，B＝，又B⊆A，∴2≤≤3，
即≤a≤1，又a∈Z，
∴a＝1.综上知a的值为0或1.
11．设集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为________．
考点　集合相等的概念
题点　判断集合的相等关系
答案　M＝P
解析　∵xy>0，∴x，y同号，又x＋y<0，∴x<0，y<0，
即集合M表示第三象限内的点，
而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.
三、解答题
12．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0 考点　子集及其运算
题点　求集合的子集
解　先用列举法表示集合A，B.
由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．
由题意知B＝{1,2,3,4}，
∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
13．已知集合A＝{1,3，－x3}，B＝{x＋2,1}，是否存在实数x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由．
考点　子集及其运算
题点　根据子集关系求参数的值
解　因为B是A的子集，
所以B中元素必是A中的元素．
若x＋2＝3，则x＝1，符合题意；
若x＋2＝－x3，则x3＋x＋2＝0，
所以(x＋1)(x2－x＋2)＝0.
因为x2－x＋2≠0，所以x＋1＝0，所以x＝－1，
此时x＋2＝1，集合B中的元素不满足互异性．
综上所述，存在实数x＝1，使得B是A的子集，
此时A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}．
四、探究与拓展
14．设B＝{1,2}，A＝{x|x⊆B}，则A与B的关系是(　　)
A．A⊆B B．B⊆A C．B∈A D．A＝B
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　C
解析　∵A＝{x|x⊆B}，∴A＝{∅，{1}，{2}，{1,2}}，∴B∈A.
15．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A⊆B，求实数m的取值范围．
考点　子集及其运算
题点　根据子集关系求参数的取值范围
解　∵A⊆B，
∴当A＝∅时，即方程x2－4mx＋2m＋6＝0无实根，
故Δ＝16m2－8(m＋3)<0，解得－1 当A≠∅时，方程x2－4mx＋2m＋6＝0的根为负，
则即
所以
解得－3 综上，实数m的取值范围是.