数学2.1.2指数函数及其性质教案

 指数函数

一、基础知识

1．指数函数的概念

函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．

形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．

2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质

二、常用结论

指数函数图象的特点

(1)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．

(2)函数y＝ax与y＝x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．

(3)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当0<a<1时，指数函数的图象“下降”．

[典例]　(1)函数f(x)＝21－x的大致图象为(　　)

2．若函数y＝21－x＋m的图象不经过第一象限，求m的取值范围．

考法(一)　比较指数式的大小

[典例]　(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　)

A．b<a<c　　　　　　 　B．a<b<c

C．b<c<a   D．c<a<b

考法(二)　解简单的指数方程或不等式

[典例]　(2019·西安质检)若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．

[解题技法]

简单的指数方程或不等式问题的求解策略

(1)af(x)＝ag(x)⇔f(x)＝g(x)．

(2)af(x)>ag(x)，当a>1时，等价于f(x)>g(x)；当0<a<1时，等价于f(x)<g(x)．

(3)解决简单的指数不等式的问题主要利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．

考法(三)　指数型函数性质的综合问题

[典例]　已知函数f(x)＝.

(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)有最大值3，求a的值．

[解题技法]　与指数函数有关的复合函数的单调性

形如函数y＝af(x)的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：

(1)若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间；

(2)若0<a<1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调减(增)区间．即“同增异减”．

[题组训练]

1．函数y＝的值域是(　　)

A．(－∞，4)   B．(0，＋∞)

C．(0,4]   D．[4，＋∞)

2．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a<b<c   B．a<c<b

C．b<a<c   D．b<c<a

3．(2018·河南八市第一次测评)设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝0.1的大小关系是(　　)

A．M＝N   B．M≤N

C．M<N   D．M>N

4．已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．

A级

1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　)

2．(2019·贵阳监测)已知函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是(　　)

A．(1,6)　　　　　　　 　B．(1,5)

C．(0,5)   D．(5,0)

3．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＞b＞c   B．a＞c＞b

C．c＞a＞b   D．b＞c＞a

4．(2019·南宁调研)函数f(x)＝的单调递增区间是(　　)

A.   B.

C.   D.

5.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A．a>1，b<0　　　 　B．a>1，b>0

C．0<a<1，b>0   D．0<a<1，b<0

6．已知函数f(x)＝则函数f(x)是(　　)

A．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增

B．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减

C．奇函数，且单调递增

D．奇函数，且单调递减

7．(2018·深圳摸底)已知a＝3.3，b＝3.9，则a________b．(填“<”或“>”)

8．函数y＝x－x＋1在[－3,2]上的值域是________．

9．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.

10．已知函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的大小关系是________．

11．已知函数f(x)＝ax，a为常数，且函数的图象过点(－1,2)．

(1)求a的值；

(2)若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值．