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2021年广东省佛山市高明区中考数学二模试卷
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这是一份2021年广东省佛山市高明区中考数学二模试卷，共25页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年广东省佛山市高明区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A． B．﹣3 C．3 D．±3
2．（3分）下列几何体由5个相同的小正方体搭成，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣a3）2＝﹣a6 B．（a+b）2＝a2+b2
C．3a2+2a3＝5a5 D．a6÷a3＝a3
4．（3分）一组数据3、2、1、2的方差是（ ）
A．0.25 B．0.5 C．1 D．2
5．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x＞﹣1且x≠0 C．x≠0 D．x≥﹣1且x≠0
6．（3分）将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2（x﹣6）2 B．y＝2（x﹣6）2+4
C．y＝2x2 D．y＝2x2+4
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝15°，则∠BAD的度数为（ ）
A．15° B．30° C．60° D．75°
8．（3分）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则cos∠ECF的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，正方形ADEF的边长为2，F、A、B在同一直线上，正方形ADEF向右平移到点F与B重合，点F的平移距离为x，平移过程中两图重叠部分的面积为y，则y与x的关系的函数图象表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11．（4分）分解因式：4a2﹣4a+1＝ ．
12．（4分）一个n边形的每一个内角都是150°，则n等于 ．
13．（4分）20210+（﹣）﹣2﹣＝ ．
14．（4分）若单项式2xm﹣1y3与单项式x2yn+1是同类项，则m+n＝ ．
15．（4分）如图，已知平行四边形ABCD，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠DAB的内部相交于点G，画射线AG交DC于H．若∠B＝140°，则∠DHA＝ ．
16．（4分）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是12米，那么该建筑物的高度BC为 米（结果保留根号）．
17．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°，＝ ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）先化简，再求值：﹣，其中x＝﹣2．
19．（6分）2021年4月23日是第26个“世界读书日”，高明区某校组织读书征文比赛活动，评出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）本次比赛获奖的总人数共有 人；扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数是 ；
（2）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．
20．（6分）如图，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA．求证：OA＝OB．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，把△ABC绕着点A按逆时针方向旋转到△AB'C'．
（1）求∠BAC的正切值．
（2）求扇形CAC'的面积．
22．（8分）如图，△ABC中，∠C＝45°，过B、C两点作⊙O交AC于点D，连接OD，与BC交于点E．
（1）若OD∥AB，求证：AB是⊙O的切线．
（2）若OD＝2，求BE•BC的值．
23．（8分）荷城街道某学校饭堂为改善学生的就餐环境，拟购进甲、乙两种规格的餐台，已知每张甲种餐台的进价比每张乙种餐台的进价高20%，用5400元购进的甲种餐台的数量比用6300元购进乙种餐台的数量少6张．
（1）求甲、乙两种餐台每张的进价各是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的餐台共60张，其中乙种餐台的数量不大于甲种餐台数量的2倍．该校应如何进货使得购进两种餐台所需总费用最少？
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D、E，BD＝．
（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）如图2，平移直线AC，当AC与反比例函数只有一个交点时，求此交点坐标；
（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．
25．（10分）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接PC、PE、CE，当△CEP的面积为30时，求点P的坐标．
2021年广东省佛山市高明区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A． B．﹣3 C．3 D．±3
【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．
【解答】解：﹣3的绝对值是3．
故选：C．
2．（3分）下列几何体由5个相同的小正方体搭成，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看，是一列两个小正方形．
故选：A．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣a3）2＝﹣a6 B．（a+b）2＝a2+b2
C．3a2+2a3＝5a5 D．a6÷a3＝a3
【分析】根据积的乘方，完全平方公式，合并同类项，同底数幂的除法的计算法则进行计算即可求解．
【解答】解：A、（﹣a3）2＝a6，故A错误；
B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故B错误；
C、不是同类项，不能合并，故C错误；
D、a6÷a3＝a3，故D正确．
故选：D．
4．（3分）一组数据3、2、1、2的方差是（ ）
A．0.25 B．0.5 C．1 D．2
【分析】先求出这组数据的平均数，然后代入方差公式求出即可．
【解答】解：这组数据的平均数为：（3+2+1+2）÷4＝2；
则方差为：S2＝＝，
故选：B．
5．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x＞﹣1且x≠0 C．x≠0 D．x≥﹣1且x≠0
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出答案．
【解答】解：要使二次根式有意义，
则x+1≥0，且x≠0，
故x的取值范围是：x≥﹣1且x≠0．
故选：D．
6．（3分）将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2（x﹣6）2 B．y＝2（x﹣6）2+4
C．y＝2x2 D．y＝2x2+4
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y＝2（x﹣3+3）2+2，即y＝2x2+2；
再向下平移2个单位为：y＝2x2+2﹣2，即y＝2x2．
故选：C．
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝15°，则∠BAD的度数为（ ）
A．15° B．30° C．60° D．75°
【分析】由AB是圆的直径，则∠ADB＝90°，由圆周角定理知，∠ABD＝∠ACD＝15°，即可求∠BAD＝90°﹣∠B＝75°．
【解答】解：连接BD，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠ACD＝15°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝75°．
故选：D．
8．（3分）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先求出不等式组的解集，然后根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式组的解集在数轴上表示出来，再进行比较可得到答案．
【解答】解：
第一个不等式的解集为：x＞﹣3；
第二个不等式的解集为：x≤2；
所以不等式组的解集为：﹣3＜x≤2．
在数轴上表示不等式组的解集为：
．
故选：C．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则cos∠ECF的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由矩形的性质得出∠B＝90°，由勾股定理求出AE，由翻折变换的性质得出△AFE≌△ABE，得出∠AEF＝∠AEB，EF＝BE＝，因此EF＝CE，由等腰三角形的性质得出∠EFC＝∠ECF，由三角形的外角性质得出∠AEB＝∠ECF，cos∠ECF＝cos∠AEB＝，即可得出结果．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵E是BC的中点，BC＝2，
∴BE＝CE＝BC＝，
∴AE＝＝＝3，
由翻折变换的性质得：△AFE≌△ABE，
∴∠AEF＝∠AEB，EF＝BE＝，
∴EF＝CE，
∴∠EFC＝∠ECF，
∵∠BEF＝∠EFC+∠ECF，
∴∠AEB＝∠ECF，
∴cos∠ECF＝cos∠AEB＝＝．
故选：C．
10．（3分）如图，Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，正方形ADEF的边长为2，F、A、B在同一直线上，正方形ADEF向右平移到点F与B重合，点F的平移距离为x，平移过程中两图重叠部分的面积为y，则y与x的关系的函数图象表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分三种情况分析：当0＜x≤2时，平移过程中两图重叠部分为Rt△AA'M；当2＜x≤4时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'A'MN；当4＜x≤6时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'BCN．分别写出每一部分的函数解析式，结合排除法，问题可解．
【解答】解：当0＜x≤2时，平移过程中两图重叠部分为Rt△AA'M，
∵Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，正方形ADEF的边长为2
∴tan∠CAB＝＝
∴A'M＝x
其面积y＝x•x＝x2
故此时y为x的二次函数，排除选项D．
当2＜x≤4时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'A'MN
其面积y＝x•x﹣（x﹣2）•（x﹣2）＝x﹣1
故此时y为x的一次函数，故排除选项C．
当4＜x≤6时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'BCN
AF'＝x﹣2，F'N＝（x﹣2），F'B＝4﹣（x﹣2）＝6﹣x，BC＝2
其面积y＝[（x﹣2）+2]×（6﹣x）＝﹣x2+x+3
故此时y为x的二次函数，其开口方向向下，故排除A
综上，只有B符合题意．
故选：B．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11．（4分）分解因式：4a2﹣4a+1＝ （2a﹣1）2 ．
【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，本题可用完全平方公式分解因式．
【解答】解：4a2﹣4a+1＝（2a﹣1）2．
故答案为：（2a﹣1）2．
12．（4分）一个n边形的每一个内角都是150°，则n等于 12 ．
【分析】先求出这个多边形的每一个外角的度数，再用360°除即可得到边数．
【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于150°，
∴多边形的每一个外角都等于180°﹣150°＝30°，
∴边数n＝360°÷30°＝12．
故答案为：12．
13．（4分）20210+（﹣）﹣2﹣＝ 2 ．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：20210+（﹣）﹣2﹣
＝1+4﹣3
＝2．
故答案为：2．
14．（4分）若单项式2xm﹣1y3与单项式x2yn+1是同类项，则m+n＝ 5 ．
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）求出m，n的值，再代入代数式计算即可．
【解答】解：根据题意得：m﹣1＝2，n+1＝3，
解得m＝3，n＝2，
则m+n＝3+2＝5．
故答案是：5．
15．（4分）如图，已知平行四边形ABCD，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠DAB的内部相交于点G，画射线AG交DC于H．若∠B＝140°，则∠DHA＝ 20° ．
【分析】先利用平行四边形的性质得到AB∥CD，AD∥BC，则利用平行线的性质可计算出∠BAD＝40°，再由作法得AH平分∠BAD，所以∠BAD＝∠BAD＝20°，然后根据平行线的性质得到∠DHA的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣140°＝40°，
由作法得：AH平分∠BAD，
∴∠BAH＝∠DAH，
∴∠BAD＝∠BAD＝20°，
∵AB∥CD，
∴∠DHA＝∠BAH＝20°．
故答案为20°．
16．（4分）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是12米，那么该建筑物的高度BC为 米（结果保留根号）．
【分析】根据题意可得在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝12米，在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，AD＝12米，再根据特殊角三角函数即可分别求出CD和BD的长，进而可得该建筑物的高度BC．
【解答】解：根据题意可知：
在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝12米，
∴CD＝AD•tan30°＝12×＝4（米），
在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，AD＝12米，
∴BD＝AD•tan60°＝12（米），
∴BC＝CD+BD＝4+12＝16（米）．
答；该建筑物的高度BC为16米．
故答案为：16．
17．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°，＝ ．
【分析】过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，由（1）可知EF＝AE+DF，由等腰直角三角形的性质可得BE＝AE，CF＝DF，AB＝AE，CD＝DF，即可求解．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，
由（1）可知，EF＝AE+DF，
∵∠B＝∠C＝45°，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠B＝∠BAE＝45°，∠C＝∠CDF＝45°，
∴BE＝AE，CF＝DF，AB＝AE，CD＝DF，
∴BC＝BE+EF+CF＝2（AE+DF），
∴＝＝．
故答案为：．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）先化简，再求值：﹣，其中x＝﹣2．
【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝﹣
＝．
当时，
原式＝．
19．（6分）2021年4月23日是第26个“世界读书日”，高明区某校组织读书征文比赛活动，评出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）本次比赛获奖的总人数共有 40 人；扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数是 108° ；
（2）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．
【分析】（1）由一等奖人数及其所占百分比可得被调查的总人数，用360°乘以二等奖人数所占比例即可；
（2）列表得出所有等可能结果数，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次比赛获奖的总人数共有4÷10%＝40（人），
扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数是360°×＝108°，
故答案为：40、108°；
（2）画树形图得：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好抽到甲和乙的有2种结果，
∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是．
20．（6分）如图，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA．求证：OA＝OB．
【分析】利用SAS可证明△ABD≌△BAC，即可得∠ABD＝∠BAC，进而可证明结论．
【解答】证明：在△ABD和△BAC中，
∵，
∴△ABD≌△BAC（SAS），
∴∠ABD＝∠BAC，
∴OA＝OB．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，把△ABC绕着点A按逆时针方向旋转到△AB'C'．
（1）求∠BAC的正切值．
（2）求扇形CAC'的面积．
【分析】（1）过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于D，如图，根据正切的定义求解；
（2）连接CC'，如图，先利用勾股定理的逆定理证明△ACC'为直角三角形，则∠CAC'＝90°，然后根据扇形的面积公式计算．
【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于D，如图，则CD＝2，AD＝6，
在Rt△ACD中，tan∠CAB＝＝＝；
（2）连接CC'，如图，
∵C'C2＝42+82＝80，C'A2＝CA2＝22+62＝40，
∵C'A2+CA2＝C'C2＝80，
∴△ACC'为直角三角形，∠CAC'＝90°，
∴扇形CAC'的面积＝＝10π．
22．（8分）如图，△ABC中，∠C＝45°，过B、C两点作⊙O交AC于点D，连接OD，与BC交于点E．
（1）若OD∥AB，求证：AB是⊙O的切线．
（2）若OD＝2，求BE•BC的值．
【分析】（1）连接OB，由直角三角形的性质得出∠OBA＝90°，则可得出结论；
（2）连接BD，由勾股定理可求出BD＝2，证明△EBD∽△DBC，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OB，如图1，
∵∠C＝45°，
∴∠BOD＝90°，
∵OD∥AB，
∴∠BOD+∠OBA＝180°，
∴∠OBA＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．
（2）解：连接BD，如图2，
在Rt△BOD中，OB＝OD＝2，
∴∠BDO＝45°，
由勾股定理得BD＝，
∵∠BDO＝∠C＝45°，∠EBD＝∠DBC，
∴△EBD∽△DBC，
∴，
∴＝8．
23．（8分）荷城街道某学校饭堂为改善学生的就餐环境，拟购进甲、乙两种规格的餐台，已知每张甲种餐台的进价比每张乙种餐台的进价高20%，用5400元购进的甲种餐台的数量比用6300元购进乙种餐台的数量少6张．
（1）求甲、乙两种餐台每张的进价各是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的餐台共60张，其中乙种餐台的数量不大于甲种餐台数量的2倍．该校应如何进货使得购进两种餐台所需总费用最少？
【分析】（1）设每张乙种餐台的进价为x元，根据题意列出方程即可求出答案．
（2）设甲餐台的数量为y个，根据题意列出求出y的范围，再设购进书柜所需费用为z元，求出z与y的函数关系即可求出答案．
【解答】解：（1）设每张乙种餐台的进价为x元，
则每张甲种餐台的进价为（1+20%）x＝1.2x元，
根据题意得（或），
解得x＝300，
经检验，x＝300是原分式方程的解．
∴1.2x＝360．
答：甲、乙两种餐台每张的进价分别是360元，300 元．
（2）设甲餐台的数量为y张，则乙餐台的数量为（60﹣y）张，
根据题意得，
解得20≤y＜60，
设购进餐台所需总费用为z元，
∴z＝360y+360（60﹣y），
∴z＝60y+18000，
∵k＝60＞0，
∴z随y的增大而增大，
∴当y＝20时，z有最小值，此时60﹣y＝40．
答：甲、乙餐台进货数量分别为20张和40张时，所需总费用最少．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D、E，BD＝．
（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）如图2，平移直线AC，当AC与反比例函数只有一个交点时，求此交点坐标；
（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．
【分析】（1）求出再用待定系数法即可求解；
（2）证明＝，即可求解；
（3）①当点F在点C的下方时，求出FH＝1，CH＝，求出点F（1，），则点G（3，），即可求解；
②当点F在点C的上方时，同理可解．
【解答】解：（1）∵，则BC＝2，而，
∴，故点，
将点D的坐标代入反比例函数表达式得，
解得，
故反比例函数表达式为，
当x＝2时，，
故点．
（2）∵矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点，
∴A（2，0），，
设直线AC关系式为y＝ax+b，则，
解得，
∴，
设直线AC平移后关系式为，
联立得，
整理得，
∵直线AC平移后与反比例函数只有一个交点，
∴，
解得m1＝6，m2＝﹣6（不合题意，舍去），
∴，
解得，
∴，
∴此交点坐标为．
（3）①当点F在点C的下方时，当点G在点F的右方时，如下图，
过点F作FH⊥y轴于点H，
∵四边形BCFG为菱形，则BC＝CF＝FG＝BG＝2，
在Rt△OAC中，OA＝BC＝2，，
则，故∠OCA＝30°，
则，，，
故点，则点，
当x＝3时，，故点G在反比例函数图象上．
②当点F在点C的上方时，同理可得，点，
同理可得，点G在反比例函数图象上．
综上，点G的坐标为或都在反比例函数图象上．
25．（10分）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接PC、PE、CE，当△CEP的面积为30时，求点P的坐标．
【分析】（1）将A（2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+3，即可得解析式，配成顶点式得E坐标；
（2）连接CB，CD，设D（4，m），BD的垂直平分线恰好经过点C，可得CD＝BC，据此列出方程即可求解；
（3）设CP交抛物线的对称轴于点M，P（n，n2﹣2n+3），用含n的式子表示直线CP的关系式和M坐标，以及ME长度，根据△CEP的面积为30列方程即可求得n，从而求出P的坐标．
【解答】解：（1）将A（2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，解得，
∴二次函数的解析式为，
∵，
∴顶点坐标E（4，﹣1）；
（2）连接CB，CD，如图：
在二次函数中令x＝0得y＝3，
∴C（0，3），
∵二次函数的对称轴为x＝4，
∴设D（4，m），而B（6，0），
∵点C在线段BD的垂直平分线CN上有CD＝BC，故CD2＝BC2，
∴42+（m﹣3）2＝62+32，
解得，
∴满足条件的点D的坐标为或；
（3）设CP交抛物线的对称轴于点M，如图：
设P（n，n2﹣2n+3），直线CP的解析式为y＝kx+3，
将P坐标代入得，
∴，
∴直线CP的关系式，
当x＝4时，，
∴M（4，n﹣5），ME＝n﹣5﹣（﹣1）＝n﹣4，
∴S△CPE＝S△CEM+S△PEM＝（xP﹣xC）•ME＝n•（n﹣4），
∴n（n﹣4）＝30，
∴n2﹣4n﹣60＝0，解得n＝10或n＝﹣6，
当n＝10时，P（10，8），
当n＝﹣6时，P（﹣6，24）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为（10，8）或（﹣6，24）．
2021年广东省佛山市高明区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A． B．﹣3 C．3 D．±3
2．（3分）下列几何体由5个相同的小正方体搭成，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣a3）2＝﹣a6 B．（a+b）2＝a2+b2
C．3a2+2a3＝5a5 D．a6÷a3＝a3
4．（3分）一组数据3、2、1、2的方差是（ ）
A．0.25 B．0.5 C．1 D．2
5．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x＞﹣1且x≠0 C．x≠0 D．x≥﹣1且x≠0
6．（3分）将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2（x﹣6）2 B．y＝2（x﹣6）2+4
C．y＝2x2 D．y＝2x2+4
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝15°，则∠BAD的度数为（ ）
A．15° B．30° C．60° D．75°
8．（3分）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则cos∠ECF的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，正方形ADEF的边长为2，F、A、B在同一直线上，正方形ADEF向右平移到点F与B重合，点F的平移距离为x，平移过程中两图重叠部分的面积为y，则y与x的关系的函数图象表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11．（4分）分解因式：4a2﹣4a+1＝ ．
12．（4分）一个n边形的每一个内角都是150°，则n等于 ．
13．（4分）20210+（﹣）﹣2﹣＝ ．
14．（4分）若单项式2xm﹣1y3与单项式x2yn+1是同类项，则m+n＝ ．
15．（4分）如图，已知平行四边形ABCD，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠DAB的内部相交于点G，画射线AG交DC于H．若∠B＝140°，则∠DHA＝ ．
16．（4分）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是12米，那么该建筑物的高度BC为 米（结果保留根号）．
17．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°，＝ ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）先化简，再求值：﹣，其中x＝﹣2．
19．（6分）2021年4月23日是第26个“世界读书日”，高明区某校组织读书征文比赛活动，评出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）本次比赛获奖的总人数共有 人；扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数是 ；
（2）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．
20．（6分）如图，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA．求证：OA＝OB．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，把△ABC绕着点A按逆时针方向旋转到△AB'C'．
（1）求∠BAC的正切值．
（2）求扇形CAC'的面积．
22．（8分）如图，△ABC中，∠C＝45°，过B、C两点作⊙O交AC于点D，连接OD，与BC交于点E．
（1）若OD∥AB，求证：AB是⊙O的切线．
（2）若OD＝2，求BE•BC的值．
23．（8分）荷城街道某学校饭堂为改善学生的就餐环境，拟购进甲、乙两种规格的餐台，已知每张甲种餐台的进价比每张乙种餐台的进价高20%，用5400元购进的甲种餐台的数量比用6300元购进乙种餐台的数量少6张．
（1）求甲、乙两种餐台每张的进价各是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的餐台共60张，其中乙种餐台的数量不大于甲种餐台数量的2倍．该校应如何进货使得购进两种餐台所需总费用最少？
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D、E，BD＝．
（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）如图2，平移直线AC，当AC与反比例函数只有一个交点时，求此交点坐标；
（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．
25．（10分）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接PC、PE、CE，当△CEP的面积为30时，求点P的坐标．
2021年广东省佛山市高明区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A． B．﹣3 C．3 D．±3
【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．
【解答】解：﹣3的绝对值是3．
故选：C．
2．（3分）下列几何体由5个相同的小正方体搭成，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看，是一列两个小正方形．
故选：A．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣a3）2＝﹣a6 B．（a+b）2＝a2+b2
C．3a2+2a3＝5a5 D．a6÷a3＝a3
【分析】根据积的乘方，完全平方公式，合并同类项，同底数幂的除法的计算法则进行计算即可求解．
【解答】解：A、（﹣a3）2＝a6，故A错误；
B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故B错误；
C、不是同类项，不能合并，故C错误；
D、a6÷a3＝a3，故D正确．
故选：D．
4．（3分）一组数据3、2、1、2的方差是（ ）
A．0.25 B．0.5 C．1 D．2
【分析】先求出这组数据的平均数，然后代入方差公式求出即可．
【解答】解：这组数据的平均数为：（3+2+1+2）÷4＝2；
则方差为：S2＝＝，
故选：B．
5．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x＞﹣1且x≠0 C．x≠0 D．x≥﹣1且x≠0
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出答案．
【解答】解：要使二次根式有意义，
则x+1≥0，且x≠0，
故x的取值范围是：x≥﹣1且x≠0．
故选：D．
6．（3分）将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2（x﹣6）2 B．y＝2（x﹣6）2+4
C．y＝2x2 D．y＝2x2+4
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y＝2（x﹣3+3）2+2，即y＝2x2+2；
再向下平移2个单位为：y＝2x2+2﹣2，即y＝2x2．
故选：C．
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝15°，则∠BAD的度数为（ ）
A．15° B．30° C．60° D．75°
【分析】由AB是圆的直径，则∠ADB＝90°，由圆周角定理知，∠ABD＝∠ACD＝15°，即可求∠BAD＝90°﹣∠B＝75°．
【解答】解：连接BD，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠ACD＝15°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝75°．
故选：D．
8．（3分）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先求出不等式组的解集，然后根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式组的解集在数轴上表示出来，再进行比较可得到答案．
【解答】解：
第一个不等式的解集为：x＞﹣3；
第二个不等式的解集为：x≤2；
所以不等式组的解集为：﹣3＜x≤2．
在数轴上表示不等式组的解集为：
．
故选：C．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则cos∠ECF的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由矩形的性质得出∠B＝90°，由勾股定理求出AE，由翻折变换的性质得出△AFE≌△ABE，得出∠AEF＝∠AEB，EF＝BE＝，因此EF＝CE，由等腰三角形的性质得出∠EFC＝∠ECF，由三角形的外角性质得出∠AEB＝∠ECF，cos∠ECF＝cos∠AEB＝，即可得出结果．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵E是BC的中点，BC＝2，
∴BE＝CE＝BC＝，
∴AE＝＝＝3，
由翻折变换的性质得：△AFE≌△ABE，
∴∠AEF＝∠AEB，EF＝BE＝，
∴EF＝CE，
∴∠EFC＝∠ECF，
∵∠BEF＝∠EFC+∠ECF，
∴∠AEB＝∠ECF，
∴cos∠ECF＝cos∠AEB＝＝．
故选：C．
10．（3分）如图，Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，正方形ADEF的边长为2，F、A、B在同一直线上，正方形ADEF向右平移到点F与B重合，点F的平移距离为x，平移过程中两图重叠部分的面积为y，则y与x的关系的函数图象表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分三种情况分析：当0＜x≤2时，平移过程中两图重叠部分为Rt△AA'M；当2＜x≤4时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'A'MN；当4＜x≤6时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'BCN．分别写出每一部分的函数解析式，结合排除法，问题可解．
【解答】解：当0＜x≤2时，平移过程中两图重叠部分为Rt△AA'M，
∵Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，正方形ADEF的边长为2
∴tan∠CAB＝＝
∴A'M＝x
其面积y＝x•x＝x2
故此时y为x的二次函数，排除选项D．
当2＜x≤4时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'A'MN
其面积y＝x•x﹣（x﹣2）•（x﹣2）＝x﹣1
故此时y为x的一次函数，故排除选项C．
当4＜x≤6时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'BCN
AF'＝x﹣2，F'N＝（x﹣2），F'B＝4﹣（x﹣2）＝6﹣x，BC＝2
其面积y＝[（x﹣2）+2]×（6﹣x）＝﹣x2+x+3
故此时y为x的二次函数，其开口方向向下，故排除A
综上，只有B符合题意．
故选：B．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11．（4分）分解因式：4a2﹣4a+1＝ （2a﹣1）2 ．
【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，本题可用完全平方公式分解因式．
【解答】解：4a2﹣4a+1＝（2a﹣1）2．
故答案为：（2a﹣1）2．
12．（4分）一个n边形的每一个内角都是150°，则n等于 12 ．
【分析】先求出这个多边形的每一个外角的度数，再用360°除即可得到边数．
【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于150°，
∴多边形的每一个外角都等于180°﹣150°＝30°，
∴边数n＝360°÷30°＝12．
故答案为：12．
13．（4分）20210+（﹣）﹣2﹣＝ 2 ．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：20210+（﹣）﹣2﹣
＝1+4﹣3
＝2．
故答案为：2．
14．（4分）若单项式2xm﹣1y3与单项式x2yn+1是同类项，则m+n＝ 5 ．
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）求出m，n的值，再代入代数式计算即可．
【解答】解：根据题意得：m﹣1＝2，n+1＝3，
解得m＝3，n＝2，
则m+n＝3+2＝5．
故答案是：5．
15．（4分）如图，已知平行四边形ABCD，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠DAB的内部相交于点G，画射线AG交DC于H．若∠B＝140°，则∠DHA＝ 20° ．
【分析】先利用平行四边形的性质得到AB∥CD，AD∥BC，则利用平行线的性质可计算出∠BAD＝40°，再由作法得AH平分∠BAD，所以∠BAD＝∠BAD＝20°，然后根据平行线的性质得到∠DHA的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣140°＝40°，
由作法得：AH平分∠BAD，
∴∠BAH＝∠DAH，
∴∠BAD＝∠BAD＝20°，
∵AB∥CD，
∴∠DHA＝∠BAH＝20°．
故答案为20°．
16．（4分）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是12米，那么该建筑物的高度BC为 米（结果保留根号）．
【分析】根据题意可得在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝12米，在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，AD＝12米，再根据特殊角三角函数即可分别求出CD和BD的长，进而可得该建筑物的高度BC．
【解答】解：根据题意可知：
在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝12米，
∴CD＝AD•tan30°＝12×＝4（米），
在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，AD＝12米，
∴BD＝AD•tan60°＝12（米），
∴BC＝CD+BD＝4+12＝16（米）．
答；该建筑物的高度BC为16米．
故答案为：16．
17．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°，＝ ．
【分析】过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，由（1）可知EF＝AE+DF，由等腰直角三角形的性质可得BE＝AE，CF＝DF，AB＝AE，CD＝DF，即可求解．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，
由（1）可知，EF＝AE+DF，
∵∠B＝∠C＝45°，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠B＝∠BAE＝45°，∠C＝∠CDF＝45°，
∴BE＝AE，CF＝DF，AB＝AE，CD＝DF，
∴BC＝BE+EF+CF＝2（AE+DF），
∴＝＝．
故答案为：．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）先化简，再求值：﹣，其中x＝﹣2．
【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝﹣
＝．
当时，
原式＝．
19．（6分）2021年4月23日是第26个“世界读书日”，高明区某校组织读书征文比赛活动，评出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）本次比赛获奖的总人数共有 40 人；扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数是 108° ；
（2）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．
【分析】（1）由一等奖人数及其所占百分比可得被调查的总人数，用360°乘以二等奖人数所占比例即可；
（2）列表得出所有等可能结果数，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次比赛获奖的总人数共有4÷10%＝40（人），
扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数是360°×＝108°，
故答案为：40、108°；
（2）画树形图得：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好抽到甲和乙的有2种结果，
∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是．
20．（6分）如图，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA．求证：OA＝OB．
【分析】利用SAS可证明△ABD≌△BAC，即可得∠ABD＝∠BAC，进而可证明结论．
【解答】证明：在△ABD和△BAC中，
∵，
∴△ABD≌△BAC（SAS），
∴∠ABD＝∠BAC，
∴OA＝OB．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，把△ABC绕着点A按逆时针方向旋转到△AB'C'．
（1）求∠BAC的正切值．
（2）求扇形CAC'的面积．
【分析】（1）过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于D，如图，根据正切的定义求解；
（2）连接CC'，如图，先利用勾股定理的逆定理证明△ACC'为直角三角形，则∠CAC'＝90°，然后根据扇形的面积公式计算．
【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于D，如图，则CD＝2，AD＝6，
在Rt△ACD中，tan∠CAB＝＝＝；
（2）连接CC'，如图，
∵C'C2＝42+82＝80，C'A2＝CA2＝22+62＝40，
∵C'A2+CA2＝C'C2＝80，
∴△ACC'为直角三角形，∠CAC'＝90°，
∴扇形CAC'的面积＝＝10π．
22．（8分）如图，△ABC中，∠C＝45°，过B、C两点作⊙O交AC于点D，连接OD，与BC交于点E．
（1）若OD∥AB，求证：AB是⊙O的切线．
（2）若OD＝2，求BE•BC的值．
【分析】（1）连接OB，由直角三角形的性质得出∠OBA＝90°，则可得出结论；
（2）连接BD，由勾股定理可求出BD＝2，证明△EBD∽△DBC，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OB，如图1，
∵∠C＝45°，
∴∠BOD＝90°，
∵OD∥AB，
∴∠BOD+∠OBA＝180°，
∴∠OBA＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．
（2）解：连接BD，如图2，
在Rt△BOD中，OB＝OD＝2，
∴∠BDO＝45°，
由勾股定理得BD＝，
∵∠BDO＝∠C＝45°，∠EBD＝∠DBC，
∴△EBD∽△DBC，
∴，
∴＝8．
23．（8分）荷城街道某学校饭堂为改善学生的就餐环境，拟购进甲、乙两种规格的餐台，已知每张甲种餐台的进价比每张乙种餐台的进价高20%，用5400元购进的甲种餐台的数量比用6300元购进乙种餐台的数量少6张．
（1）求甲、乙两种餐台每张的进价各是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的餐台共60张，其中乙种餐台的数量不大于甲种餐台数量的2倍．该校应如何进货使得购进两种餐台所需总费用最少？
【分析】（1）设每张乙种餐台的进价为x元，根据题意列出方程即可求出答案．
（2）设甲餐台的数量为y个，根据题意列出求出y的范围，再设购进书柜所需费用为z元，求出z与y的函数关系即可求出答案．
【解答】解：（1）设每张乙种餐台的进价为x元，
则每张甲种餐台的进价为（1+20%）x＝1.2x元，
根据题意得（或），
解得x＝300，
经检验，x＝300是原分式方程的解．
∴1.2x＝360．
答：甲、乙两种餐台每张的进价分别是360元，300 元．
（2）设甲餐台的数量为y张，则乙餐台的数量为（60﹣y）张，
根据题意得，
解得20≤y＜60，
设购进餐台所需总费用为z元，
∴z＝360y+360（60﹣y），
∴z＝60y+18000，
∵k＝60＞0，
∴z随y的增大而增大，
∴当y＝20时，z有最小值，此时60﹣y＝40．
答：甲、乙餐台进货数量分别为20张和40张时，所需总费用最少．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D、E，BD＝．
（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）如图2，平移直线AC，当AC与反比例函数只有一个交点时，求此交点坐标；
（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．
【分析】（1）求出再用待定系数法即可求解；
（2）证明＝，即可求解；
（3）①当点F在点C的下方时，求出FH＝1，CH＝，求出点F（1，），则点G（3，），即可求解；
②当点F在点C的上方时，同理可解．
【解答】解：（1）∵，则BC＝2，而，
∴，故点，
将点D的坐标代入反比例函数表达式得，
解得，
故反比例函数表达式为，
当x＝2时，，
故点．
（2）∵矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点，
∴A（2，0），，
设直线AC关系式为y＝ax+b，则，
解得，
∴，
设直线AC平移后关系式为，
联立得，
整理得，
∵直线AC平移后与反比例函数只有一个交点，
∴，
解得m1＝6，m2＝﹣6（不合题意，舍去），
∴，
解得，
∴，
∴此交点坐标为．
（3）①当点F在点C的下方时，当点G在点F的右方时，如下图，
过点F作FH⊥y轴于点H，
∵四边形BCFG为菱形，则BC＝CF＝FG＝BG＝2，
在Rt△OAC中，OA＝BC＝2，，
则，故∠OCA＝30°，
则，，，
故点，则点，
当x＝3时，，故点G在反比例函数图象上．
②当点F在点C的上方时，同理可得，点，
同理可得，点G在反比例函数图象上．
综上，点G的坐标为或都在反比例函数图象上．
25．（10分）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接PC、PE、CE，当△CEP的面积为30时，求点P的坐标．
【分析】（1）将A（2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+3，即可得解析式，配成顶点式得E坐标；
（2）连接CB，CD，设D（4，m），BD的垂直平分线恰好经过点C，可得CD＝BC，据此列出方程即可求解；
（3）设CP交抛物线的对称轴于点M，P（n，n2﹣2n+3），用含n的式子表示直线CP的关系式和M坐标，以及ME长度，根据△CEP的面积为30列方程即可求得n，从而求出P的坐标．
【解答】解：（1）将A（2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，解得，
∴二次函数的解析式为，
∵，
∴顶点坐标E（4，﹣1）；
（2）连接CB，CD，如图：
在二次函数中令x＝0得y＝3，
∴C（0，3），
∵二次函数的对称轴为x＝4，
∴设D（4，m），而B（6，0），
∵点C在线段BD的垂直平分线CN上有CD＝BC，故CD2＝BC2，
∴42+（m﹣3）2＝62+32，
解得，
∴满足条件的点D的坐标为或；
（3）设CP交抛物线的对称轴于点M，如图：
设P（n，n2﹣2n+3），直线CP的解析式为y＝kx+3，
将P坐标代入得，
∴，
∴直线CP的关系式，
当x＝4时，，
∴M（4，n﹣5），ME＝n﹣5﹣（﹣1）＝n﹣4，
∴S△CPE＝S△CEM+S△PEM＝（xP﹣xC）•ME＝n•（n﹣4），
∴n（n﹣4）＝30，
∴n2﹣4n﹣60＝0，解得n＝10或n＝﹣6，
当n＝10时，P（10，8），
当n＝﹣6时，P（﹣6，24）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为（10，8）或（﹣6，24）．
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