2021年广东省佛山市禅城区华英学校中考数学一模试卷

这是一份2021年广东省佛山市禅城区华英学校中考数学一模试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题一，解答题二，解答题三等内容，欢迎下载使用。

2021年广东省佛山市禅城区华英学校中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在2，﹣1.5，0，﹣这四个数中最小的数是（　　）
A．2 B．﹣1.5 C．0 D．﹣
2．（3分）今年11月24日，我国的“嫦娥五号”成功发射，它会将采集的月球样品带回国内，为人类宇宙开拓之路添上重要一笔．月球距离地球的平均距离为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（　　）
A．384×103 B．38.4×104 C．3.84×105 D．0.384×106
3．（3分）如图是一个正方体盒子的展开图，把展开图折叠成小正方体后，和“考”字一面的相对面上的字是（　　）

A．祝 B．你 C．顺 D．利
4．（3分）下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2a4+3a4＝5a8 B．（3a2）3＝9a6
C．5a2•4a2＝20a2 D．a2•a3＝a5
6．（3分）甲袋中装有2张相同的卡片，颜色分别为红色和黄色；乙袋中装有3张相同的卡片，颜色分别为红色、黄色、绿色．从这两个口袋中各随机抽取1张卡片，取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，D、E分别为△ABC中AB、AC边上的中点，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．
8．（3分）如图，直线y1＝k1x+b和直线y2＝k2x+b分别与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，则不等式组的解集为（　　）

A．﹣1＜x＜3 B．0＜x＜3 C．﹣1＜x＜0 D．x＞3或x＜﹣1
9．（3分）如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA＝3，OC＝1，分别连接AC、BD，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π B．π C．2π D．4π
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
下列结论：①该抛物线的开口向下；②该抛物线的顶点坐标为（1，5）；③当x＞2时，y随x的增大而减少；④3是方程ax2+bx+c＝x的一个根．其中正确的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）化简＝　 　．
12．（4分）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少180°，则这个多边形的边数是　 　．
13．（4分）当x＝3时，px3+qx+1＝2020，则当x＝﹣3时，px3+qx+1的值为　 　．
14．（4分）如图，直线a，b，a∥b，点C在直线b上，∠DCB＝90°，若∠1＝70°，则∠2的度数为　 　．

15．（4分）如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD．测得BC＝9m，CD＝6m，斜坡CD的坡度i＝1：，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，则电线杆AB的高度为　 　．

16．（4分）如图，在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，反比例函数y＝﹣的图象与斜边OA相交于点C，且与边AB相交于点D．已知OC＝2AC，则△AOD的面积为　 　．

17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．点M1，N1，P1分别在AC，BC，AB上，且四边形M1CN1P1是正方形，点M2，N2，P2分别在P1N1，BN1，BP1上，且四边形M2N1N2P2是正方形，…，点Mn，Nn，Pn分别在Pn﹣1Nn﹣1，BNn﹣1，BPn﹣1上，且四边形MnNn﹣1NnPn是正方形，则线段MnPn的长度是　 　．

三、解答题一（本大题共3题，每题6分，共18分）
18．（6分）先化简（1﹣）÷，再从0，2，﹣1，1中选择一个合适的数代入并求值．
19．（6分）（1）如图：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，根据图中的作图痕迹可知AD为△ABC的　 　；
（2）在第（1）问的条件下，请完善以下求tan∠BAD的过程：作DE⊥AB于点E，设DE为x，则列方程得：　 　，
解得：x＝　 　．
∴tan∠BAD＝　 　．

20．（6分）为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，某学校举行了一次“垃圾分类”的知小测试，现随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，学生成绩均为整数）进行整理，绘制成统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请直接写出该组数据的中位数　 　分，众数　 　分，并计算这组数据的平均数；
（2）你认为（1）中的三个统计量，　 　更能反映学生测试成绩的“平均水平”；
（3）该校共2000名学生参加了本次测试，试估计参加此次测试成绩不低于“平均水平”的学生人数约有多少人？

四、解答题二（本大题共3题，每题8分，共24分）
21．（8分）为积极响应政府提出的“绿色发展•低碳出行”号召，某社区决定购置一批共享单车．经市场调查得知，购买3辆男式单车与4辆女式单车费用相同，购买5辆男式单车与4辆女式单车共需6400元．
（1）求男式单车和女式单车的单价；
（2）该社区要求男式单车比女式单车多4辆，购置两种单车的费用不超过20000元，该社区至多购置女式单车多少辆？
22．（8分）如图，一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为（1，2），点B的纵坐标为﹣1．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）点C为反比例函数图象上的一点，且点C在点A的上方，当S△CAB＝S△AOB时，求点C的坐标．

23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）当BC＝4，AC＝6时，求线段BG的长．

五、解答题三（本大题共2题，每题10分，共20分）
24．（10分）如图，在矩形ABCD中，BC＝1，∠CBD＝60°，点E是AB边上一动点（不与点A，B重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G
（1）求证：△ADE∽△CDF；
（2）设AE的长为x，△DEF的面积为y．求y关于x的函数关系式；
（3）当△BEF的面积S取得最大值时，连接BG，请判断此时四边形BGDE的形状，并说明理由．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；
（3）已知E，F分别是x轴和抛物线上的动点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的F点的坐标．


2021年广东省佛山市禅城区华英学校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在2，﹣1.5，0，﹣这四个数中最小的数是（　　）
A．2 B．﹣1.5 C．0 D．﹣
【分析】根据有理数的大小比较的法则负数都小于0，正数都大于0，正数大于一切负数进行比较即可．
【解答】解：∵2＞0，0＞﹣1.5，0＞﹣，
又∵|﹣1.5|＝，|﹣|＝，
∴＞，
∴﹣1.5＜﹣，
综上所述，﹣1.5＜﹣＜0＜2．
故选：B．
2．（3分）今年11月24日，我国的“嫦娥五号”成功发射，它会将采集的月球样品带回国内，为人类宇宙开拓之路添上重要一笔．月球距离地球的平均距离为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（　　）
A．384×103 B．38.4×104 C．3.84×105 D．0.384×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：384000＝3.84×105．
故选：C．
3．（3分）如图是一个正方体盒子的展开图，把展开图折叠成小正方体后，和“考”字一面的相对面上的字是（　　）

A．祝 B．你 C．顺 D．利
【分析】根据正方体的表面展开图的特征进行判断即可．
【解答】解：由正方体的表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“祝”与“利”是对面，
“你”与“试”是对面，
“考”与“顺”是对面，
故选：C．
4．（3分）下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2a4+3a4＝5a8 B．（3a2）3＝9a6
C．5a2•4a2＝20a2 D．a2•a3＝a5
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的除法，幂的乘方运算法则进行谋算，可得答案．
【解答】解：A、2a4+3a4＝5a4，故A不符合题意；
B、（3a2）3＝27a6，故B不符合题意；
C、5a2•4a2＝20a4，故C不符合题意；
D、a2•a3＝a5，故D符合题意；
故选：D．
6．（3分）甲袋中装有2张相同的卡片，颜色分别为红色和黄色；乙袋中装有3张相同的卡片，颜色分别为红色、黄色、绿色．从这两个口袋中各随机抽取1张卡片，取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，取出的两张卡片中至少有一张是红色的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：

共有6个等可能的结果，取出的两张卡片中至少有一张是红色的结果有4个，
∴取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率为＝，
故选：A．
7．（3分）如图，D、E分别为△ABC中AB、AC边上的中点，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．
【分析】根据勾股定理求出DE，根据直角三角形的性质求出DF，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵D、E分别为△ABC中AB、AC边上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝4，
在Rt△AFB中，D是AB的中点，
∴DF＝AB＝，
∴EF＝DE﹣DF＝，
故选：B．
8．（3分）如图，直线y1＝k1x+b和直线y2＝k2x+b分别与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，则不等式组的解集为（　　）

A．﹣1＜x＜3 B．0＜x＜3 C．﹣1＜x＜0 D．x＞3或x＜﹣1
【分析】观察函数图象，写出直线y1＝k1x+b在x轴上方和直线y2＝k2x+b在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：当x＝﹣1时，y1＝k1x+b＝0，则x＞﹣1时，y1＝k1x+b＞0，
当x＝3时，y2＝k2x+b＝0，则x＜3时，y2＝k2x+b＞0，
所以当﹣1＜x＜3时，k1x+b＞0，k2x+b＞0，
即不等式组的解集为﹣1＜x＜3．
故选：A．
9．（3分）如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA＝3，OC＝1，分别连接AC、BD，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π B．π C．2π D．4π
【分析】通过分析图可知：△ODB经过旋转90°后能够和△OCA重合（证全等也可），因此图中阴影部分的面积＝扇形AOB的面积﹣扇形COD的面积，所以S阴＝π×（9﹣1）＝2π．
【解答】解：由图可知，将△OAC顺时针旋转90°后可与△ODB重合，
∴S△OAC＝S△OBD；
因此S阴影＝S扇形OAB+S△OBD﹣S△OAC﹣S扇形OCD＝S扇形OAB﹣S扇形OCD＝π×（9﹣1）＝2π．
故选：C．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
下列结论：①该抛物线的开口向下；②该抛物线的顶点坐标为（1，5）；③当x＞2时，y随x的增大而减少；④3是方程ax2+bx+c＝x的一个根．其中正确的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据表格数据确定抛物线的对称轴和开口方向，进而求解．
【解答】解：①由表格数据可知，x＝0和x＝3的函数值都是3，
∵二次函数的对称轴为直线x＝（0+3）＝1.5，
从表格看，对称轴右侧，y随x的增大而减小，故抛物线开口向下，
故①正确，符合题意；

②抛物线的对称轴为x＝1.5，
故②错误，不符合题意；

③由①知，x＞1.5时，y随x的增大而减少，
故当x＞2时，y随x的增大而减少，正确，符合题意；

④方程ax2+（b﹣1）x+c＝0可化为方程ax2+bx+c＝x，
由表格数据可知，x＝3时，y＝3，则3是方程ax2+bx+c＝x的一个根，从而也是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，
故本选项正确，符合题意；
故选：B．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）化简＝　4　．
【分析】根据二次根式的定义直接解答即可．
【解答】解：∵﹣4＜0，
∴＝4．
12．（4分）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少180°，则这个多边形的边数是　5　．
【分析】根据多边形的内角和、外角和的求法列方程求解即可．
【解答】解：设这个多边形为n边形，由题意得，
（n﹣2）×180°＝360°×2﹣180°，
解得n＝5，
即这个多边形为五边形，
故答案为：5．
13．（4分）当x＝3时，px3+qx+1＝2020，则当x＝﹣3时，px3+qx+1的值为　﹣2018　．
【分析】把x＝3代入代数式得27p+3q＝2019，再把x＝﹣3代入，可得到含有27p+3q的式子，直接解答即可．
【解答】解：当x＝3时，代数式px3+qx+1＝27p+3q+1＝2020，即27p+3q＝2019，
所以当x＝﹣3时，代数式px3+qx+1＝﹣27p﹣3q+1＝﹣（27p+3q）+1＝﹣2019+1＝﹣2018．
故答案为：﹣2018．
14．（4分）如图，直线a，b，a∥b，点C在直线b上，∠DCB＝90°，若∠1＝70°，则∠2的度数为　20°　．

【分析】先根据对顶角的定义求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠1＝70°，∠1与∠3是对顶角，
∴∠3＝∠1＝70°．
∵a∥b，点C在直线b上，∠DCB＝90°，
∴∠2+∠DCB+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠DCB＝180°﹣70°﹣90°＝20°．
故答案为：20°．

15．（4分）如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD．测得BC＝9m，CD＝6m，斜坡CD的坡度i＝1：，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，则电线杆AB的高度为　（6+3）m　．

【分析】延长AD交BC的延长线于F，作DG⊥BF于G，根据直角三角形的性质和勾股定理求出DC、CG的长，根据正切的定义解答即可．
【解答】解：如图，延长AD交BC的延长线于F，作DG⊥BF于G，

∵∠ADE＝30°，
∴∠AFB＝30°，
∵CD＝6m，斜坡CD的坡度i＝1：，
∴tan∠DCG＝＝＝，
∴∠DCG＝30°，
∴DF＝3m，CG＝3m，
∴∠DFC＝∠DCF＝30°，
∴DF＝DC，
∵DG⊥BF，
∴FG＝CG＝3（m），
∴FC＝6m，
∴FB＝FC+BC＝（6+9）m，
∴AB＝BF×tan∠AFB＝（6+9）×＝（6+3）m．
故答案为：（6+3）m．
16．（4分）如图，在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，反比例函数y＝﹣的图象与斜边OA相交于点C，且与边AB相交于点D．已知OC＝2AC，则△AOD的面积为　　．

【分析】过点C作CE⊥OB于点E，设出C，D的坐标，求出△OBD和△OCE的面积，利用平行线的性质得出△OEC～△OAB，利用相似三角形的性质求出△OAB的面积，用△OAB的面积减去△OBD的面积，结论可得．
【解答】解：过点C作CE⊥OB于点E，如图：

设D（a，b），C（m，n），
∵C，D在第二象限，
∴a＜0，b＞0，m＜0，n＞0．
∴OB＝﹣a，BD＝b，OE＝﹣m，CE＝n．
∵C，D在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴ab＝mn＝﹣2．
∴，．
∵CE⊥OB，AB⊥OB，
∴CE∥AB．
∴△OCE～△OAB．
∴．
∵OC＝2AC，
∴．
∴．
∴．
∴．
故答案为：．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．点M1，N1，P1分别在AC，BC，AB上，且四边形M1CN1P1是正方形，点M2，N2，P2分别在P1N1，BN1，BP1上，且四边形M2N1N2P2是正方形，…，点Mn，Nn，Pn分别在Pn﹣1Nn﹣1，BNn﹣1，BPn﹣1上，且四边形MnNn﹣1NnPn是正方形，则线段MnPn的长度是　　．

【分析】根据相似三角形的性质求出M1P1，M2P2，M3P3的值，找出规律即可求出MnPn的长度．
【解答】解：∵M1P1∥BC，
∴△AM1P1∽△ACB，
∴，
设M1P1＝x，则，
解得：x＝，
∴BN1＝BC﹣x＝4﹣＝＝2M1P1，
同理，M2P2＝＝，
M3P3＝＝×2×＝×22×（）2，
⋯，
∴MnPn的长度是＝×2n﹣1×（）n﹣1＝．
故答案为：．
三、解答题一（本大题共3题，每题6分，共18分）
18．（6分）先化简（1﹣）÷，再从0，2，﹣1，1中选择一个合适的数代入并求值．
【分析】先把分式的分子和分母因式分解，并且把除法运算转化为乘法运算，由于x不能取±1，2，所以可以把x＝0代入计算．
【解答】解：原式＝×＝．
因为x不能取±1，2，
所以把x＝0代入，原式＝＝﹣．
19．（6分）（1）如图：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，根据图中的作图痕迹可知AD为△ABC的　角平分线　；
（2）在第（1）问的条件下，请完善以下求tan∠BAD的过程：作DE⊥AB于点E，设DE为x，则列方程得：　x+x＝1　，
解得：x＝　﹣1　．
∴tan∠BAD＝　﹣1　．

【分析】（1）根据角平分线的作法判断即可．
（2）证明BD＝DE，根据BC＝1，构建方程求解即可．
【解答】解：（1）由作图可知，AD平分∠CAB，
故答案为：角平分线．

（2）∵DE⊥AB，DC⊥AC，AD是角平分线，
∴DC＝DE，
∴∠AED＝90°，
∵CA＝CB＝1，∠C＝90°，
∴∠B＝45°，
∴BD＝DE，
∴x+x＝1，
∴x＝﹣1，
∴tan∠BAD＝tan∠CAD＝﹣1，
故答案为：x+x＝1，﹣1，﹣1．
20．（6分）为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，某学校举行了一次“垃圾分类”的知小测试，现随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，学生成绩均为整数）进行整理，绘制成统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请直接写出该组数据的中位数　7.5　分，众数　8　分，并计算这组数据的平均数；
（2）你认为（1）中的三个统计量，　平均数（或中位数）　更能反映学生测试成绩的“平均水平”；
（3）该校共2000名学生参加了本次测试，试估计参加此次测试成绩不低于“平均水平”的学生人数约有多少人？

【分析】（1）由中位数，众数，平均数的定义可求解；
（2）平均数（或中位数）更能反映学生测试成绩的“平均水平”；
（3）由总的学生数×样本中测试成绩不低于“平均水平”的学生的百分比，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得：20名学生的测试成绩为5，5，6，6，6，6，7，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，10，10，10，
∴中位数为＝7.5，众数为8，平均数＝＝7.5；
故答案为：7.5，8；
（2）平均数（或中位数）更能反映学生测试成绩的“平均水平”，
故答案为平均数（或中位数）；
（3）2000×＝1000（人），
答：估计参加此次测试成绩不低于“平均水平”的学生人数约有1000人．
四、解答题二（本大题共3题，每题8分，共24分）
21．（8分）为积极响应政府提出的“绿色发展•低碳出行”号召，某社区决定购置一批共享单车．经市场调查得知，购买3辆男式单车与4辆女式单车费用相同，购买5辆男式单车与4辆女式单车共需6400元．
（1）求男式单车和女式单车的单价；
（2）该社区要求男式单车比女式单车多4辆，购置两种单车的费用不超过20000元，该社区至多购置女式单车多少辆？
【分析】（1）设男式单车的单价为x元，女式单车的单价为y元，根据“购买3辆男式单车与4辆女式单车费用相同，购买5辆男式单车与4辆女式单车共需6400元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该社区购置女式单车m辆，则购置男式单车（m+4）辆，根据总价＝单价×数量，结合购置两种单车的费用不超过20000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设男式单车的单价为x元，女式单车的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：男式单车的单价为800元，女式单车的单价为600元．
（2）设该社区购置女式单车m辆，则购置男式单车（m+4）辆，
依题意得：600m+800（m+4）≤20000，
解得：m≤12．
答：该社区至多购置女式单车12辆．
22．（8分）如图，一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为（1，2），点B的纵坐标为﹣1．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）点C为反比例函数图象上的一点，且点C在点A的上方，当S△CAB＝S△AOB时，求点C的坐标．

【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k2的值，把点B的纵坐标代入求得横坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）根据题意点C就是直线y＝x+1向上平移1个单位后与反比例函数的交点，求得平移后的直线解析式，与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得C的坐标．
【解答】解：（1）把点A（1，2）代入反比例函数y2＝得，k2＝1×2＝2，
∴反比例函数的解析式为y2＝，
将y＝﹣1代入y2＝得，﹣1＝，交点x＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣1），
将A、B的坐标代入y1＝k1x+b得，
解得，
∴一次函数的解析式为y1＝x+1；
（2）∵y1＝x+1，
∴直线与y轴的交点为（0，1），
∵点C为反比例函数图象上的一点，且点C在点A的上方，S△CAB＝S△AOB，
∴点C就是直线y＝x+1向上平移1个单位后与反比例函数的交点，
将直线y＝x+1向上平移1个单位后得到y＝x+2，
解得或，
∴C点的坐标为（﹣1+，1+）．
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）当BC＝4，AC＝6时，求线段BG的长．

【分析】（1）连接OM，证明OM∥BC即可；
（2）连接GF，先求⊙O半径从而得到BF，再用＝sin∠GFB＝sin∠BAE即可得到答案．
【解答】解：（1）连接OM，如图：

∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM，
∵OM＝OB，
∴∠ABM＝∠BMO，
∴∠BMO＝∠CBM，
∴BC∥OM，
∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE为⊙O的切线；
（2）连接GF，如图：

∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴BE＝CE＝BC，∠AEB＝90°，
∵BC＝4，AC＝6，
∴BE＝2，AB＝6，
∴sin∠EAB＝，
设OB＝OM＝r，则OA＝6﹣r，
∵AE是⊙O切线，
∴∠AMO＝90°，
∴sin∠EAB＝＝，
∴＝，解得r＝1.5，
∴OB＝OM＝1.5，BF＝3，
∵BF为⊙O直径，
∴∠BGF＝90°，
∴GF∥AE，
∴∠BFG＝∠EAB，
∴tan∠BFG＝，即＝，
∴BG＝1．
五、解答题三（本大题共2题，每题10分，共20分）
24．（10分）如图，在矩形ABCD中，BC＝1，∠CBD＝60°，点E是AB边上一动点（不与点A，B重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G
（1）求证：△ADE∽△CDF；
（2）设AE的长为x，△DEF的面积为y．求y关于x的函数关系式；
（3）当△BEF的面积S取得最大值时，连接BG，请判断此时四边形BGDE的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠A＝∠ADC＝∠DCB＝90°，根据余角的性质得到∠ADE＝∠CDF，由相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）由（1）中相似三角形的对应边成比例求得DF＝DE；在Rt△ADE中，由勾股定理得到：DE2＝AD2+AE2＝1+x2，所以根据三角形的面积公式写出函数关系式；
（3）根据相似三角形的性质得到CF＝x，根据三角形的面积公式得到函数的解析式，根据二次函数的顶点坐标即可得到结论；根据当x为时，S有最大值，得到BE＝﹣x，CF＝x，BF＝2，根据相似三角形的性质得到CG＝，于是得到BE＝DG，由于BE∥DG，即可得到结论．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，
∵∠A＝∠ADC＝∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠DCF＝90°，
∵DF⊥DE，
∴∠A＝∠EDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE∽△CDF；

（2）解：∵BC＝1，∠CBD＝60°，∠DCB＝90°，
∴CD＝．
∵△ADE∽△CDF，
∴＝＝＝＝，即DF＝DE．
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝1+x2．
则S△DEF＝DF•DE＝DE2＝（1+x2）＝x2+；

（3）解：当△BEF的面积S取得最大值时，四边形BGDE是菱形，理由如下：
由（2）知，CD＝．
则在矩形ABCD中，AD＝BC＝1，AB＝CD＝．
∵AE＝x，
∴BE＝﹣x．
∵△ADE∽△CDF，
∴＝＝．
∴CF＝x．
∴S＝＝（﹣x）（1+x）＝﹣（x﹣）2+．
∴当x＝时，S有最大值．
此时BE＝，CF＝1，BF＝2．
∵CG∥BE，
∴△CFG∽△BFE，
∴＝．
∴CG＝．
∴DG＝．
∴BE＝DG，且BE∥DG．
∴四边形BGDE是平行四边形．
又∵BE＝BG．
∴平行四边形BGDE是菱形．

25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；
（3）已知E，F分别是x轴和抛物线上的动点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的F点的坐标．

【分析】（1）求得A、B两点坐标，代入抛物线解析式，获得b、c的值，获得抛物线的解析式；
（2）通过平行线分割2倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标；
（3）A，B，E，F四点作平行四边形，分当AB为边时与AB为对角线进行讨论，当AB为边时，利用BF∥AE求点F的坐标；当AB为对角线时，同样可利用BF∥AE求点F的坐标．
【解答】解：（1）在y＝﹣x+2中，
令y＝0，得x＝4；令x＝0，得y＝2，
∴A（4，0），B（0，2），
把A（4，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）如图，过点B作BE∥x轴，交抛物线于点E，过点D作BE的垂线，垂足为F，

∵BE∥x轴，
∴∠BAC＝∠ABE，
∵∠ABD＝2∠BAC，
∴∠ABD＝2∠ABE，
即∠DBE+∠ABE＝2∠ABE，
∴∠DBE＝∠ABE，
∴∠DBE＝∠BAC，
设D点的坐标为（x，﹣x2+x+2），则BF＝x，DF＝﹣x2+x，
∵tan∠DBE＝，tan∠BAC＝，
∴＝＝，
即＝，
解得x1＝0（舍去），x2＝2，
当x＝2时，﹣x2+x+2＝3，
∴点D的坐标为（2，3）；
（3）A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形分以下两种情况：
①AB为边，如图：

∴AE∥BF，
∵点E在x轴上，
∴F的纵坐标与点B纵坐标相等，
设点F（x，2），将其代入y＝﹣x2+x+2，
解得：x＝3或0，
∵点F在点B右边
∴x＝3，
∴F（3，0）；
②AB为对角线，如图：

可知BF∥EA，
∵点E在x轴上，
∴F的纵坐标与点B纵坐标相等，
设点F（x，2），将其代入y＝﹣x2+x+2，
解得：x＝3或0，
∵点F在点B右边
∴x＝3，
∴F（3，0），
综上，点F的坐标为（3，0）．