2020年广东省佛山市高明区中考二模数学试卷

这是一份2020年广东省佛山市高明区中考二模数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −2 的倒数是
A. 2B. −2C. 12D. −12

2. 某市 2019 年参加中考的人数约为 52400 人，将 52400 用科学记数法表示为
A. 524×102B. 52.4×103C. 5.24×104D. 0.524×105

3. 如图是由几个相同的小正方体堆砌成的几何体，它的左视图是
A. B.
C. D.

4. 某校九年级一班 6 名同学定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，2，6，4，3，5，则这组数据的中位数，众数分别为
A. 4，4B. 4，5C. 5，4D. 5，5

5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

6. 下列运算正确的是
A. 2a−a=2B. −a23=−a6
C. a6÷a2=a3D. a−b2=a2−b2

7. 实数 m，n 在数轴上的对应点如图所示，则下列各式中正确的是
A. m>nB. −n>∣m∣C. −m>∣n∣D. ∣n∣>∣m∣

8. 如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若 ∠1=40∘，则 ∠2=
A. 35∘B. 40∘C. 45∘D. 50∘

9. 若关于 x 的一元二次方程 kx2−4x+1=0 有实数根，则 k 的取值范围为
A. k≥4B. k≤4
C. k≥−4 且 k≠0D. k≤4 且 k≠0

10. 如图，点 P 是平行四边形 ABCD 边上的一动点，它从点 A 出发沿 A→B→C→D 路径匀速运动到点 D．已知点 E 为 AD 的中点，设 △PED 的面积为 y，P 点的运动时间为 x（当 P，A，D 三点在同一直线上时，不妨设 y=0），则 y 关于 x 的函数图象大致为
A. B.
C. D.

二、填空题（共7小题；共35分）
11. 分解因式：a2−9= ．

12. 八边形的内角和等于 ．

13. 若 m2−3m−1=0，则 3m2−9m+17= ．

14. 如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点，把 △ADE 绕点 A 顺时针旋转 90∘ 到 △ABF 的位置．若四边形 AECF 的面积为 16，DE=1，则 AE= ．

15. 如图，已知 △ABC 内接于 ⊙O，CD 是 ⊙O 的切线，与半径 OB 的延长线交于点 D，若 ∠A=25∘，则 ∠ODC= ．

16. 如图，已知 △ABC 为等边三角形，AB=4，以 O 为圆心、 AB 为直径作半圆分别交 AC，BC 于 D，E 两点，则图中阴影部分的面积为 ．

17. 如图，在平面直角坐标系中，点 A1，A2，A3，⋯，An 在 x 轴上，点 B1，B2，B3，⋯，Bn 在直线 y=33x 上，若 A11,0，且 △A1B1A2，△A2B2A3，⋯，△AnBnAn+1 都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为 S1，S2，S3，⋯，Sn，则 Sn 可表示为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
18. 计算：8+−12020−π−sin60∘0−2cs45∘．

19. 先化简，再求值：x−3x2+4x+4÷1−5x+2，其中 x=3−2．

20. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘．
（1）用直尺和圆规作 ∠BAC 的平分线 AD，并交 BC 于点 D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若 AC=2，AD=3，求点 D 到 AB 的距离．

21. 甘蔗富含大量铁、钙、锌等人体必需的微量元素，素有“补血果”的美称．某水果店第一次用 600 元购进甘蔗若干千克，销售完后，第二次又用 600 元购进该种甘蔗，但这次每千克的进价比第一次的进价提高了 20%，所购进甘蔗的数量比第一次少了 25 千克．
（1）求该水果店第一次购买甘蔗的进价是每千克多少元?
（2）若该水果店两次购进的甘蔗按同一价格销售，要使销售后总获利不低于 1000 元，则每千克甘蔗的售价至少为多少元?

22. 某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：A．机器人，B．围棋，C．羽毛球，D．乒乓球，每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图（1）中D所占扇形的圆心角为 72∘．根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有 1000 名学生加入了社团，请你估计这 1000 名学生中有多少人参加了羽毛球社团；
（4）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙 3 人平时的表现优秀，现决定从这 3 人中任选 2 人参加机器人大赛，用画树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．

23. 如图，抛物线 y=ax2−2ax+c 的图象经过点 C0,−2，与 x 轴交于 A−1,0，B 两点．
（1）求抛物线的解析式及点 B 的坐标；
（2）若 P 为线段 BC 下方抛物线上的一动点，设 △PBC 的面积为 S，求 S 的最大值．

24. 如图，CD 是 ⊙O 的直径，且 CD⊥AB，垂足为 H，连接 BC，过弧 AD 上一点 E 作 EF∥BC，交 BA 的延长线于点 F，连接 CE，其中 CE 交 AB 于点 G，且 FE=FG．
（1）求证：EF 是 ⊙O 的切线；
（2）若 sinF=35，BC=52，
①求 ⊙O 的半径；
②若 CD 的延长线与 FE 的延长线交于点 M，求 DM 的长度．

25. 如图 1，平面直角坐标系 xOy 中，A4,3，反比例函数 y=kxk>0 的图象分别交矩形 ABOC 的两边 AC，AB 于 E，F 两点（E，F 不与 A 重合），沿着 EF 将矩形 ABOC 折叠使 A，D 两点重合．
（1）AE= （用含有 k 的代数式表示）；
（2）如图 2，当点 D 恰好落在矩形 ABOC 的对角线 BC 上时，求 CE 的长度；
（3）若折叠后，△ABD 是等腰三角形，求此时点 D 的坐标．
答案
第一部分
1. D
2. C
3. A
4. A
5. C
6. B
7. C
8. D
9. D
10. B
第二部分
11. a+3a−3
12. 1080∘
13. 20
14. 17
15. 40∘
16. 23−2π3
17. 3⋅22n−3
第三部分
18. 原式=22+1−1−2×22=2.
19. 原式=x−3x+22÷x+2x+2−5x+2=x−3x+22⋅x+2x−3=1x+2.
当 x=3−2 时，
原式=13−2+2=13=33.
20. （1） （作图略）如图，AD 为 ∠BAC 的平分线．
（2） 如图，作 DE⊥AD 于 E，则 DE 是点 D 到 AB 的距离．
∵AD 是 ∠BAC 的平分线且 ∠ACB=90∘，
∴DE=DC．
在 Rt△ACD 中，AC=2，AD=3，
由勾股定理得：CD=AD2−AC2=32−22=5，
∴ 点 D 到 AB 的距离 DE=5．
21. （1） 设该水果店第一次购买甘蔗的进价是每千克 x 元，得：
600x−6001+20%x=25.
解得：
x=4.
经检验：x=4 是原方程的解．
∴ 该水果店第一次购买甘蔗的进价是每千克 4 元．
（2） 第二次进价为：4×1+20%=4.8（元）；
第一次购买的数量：600÷4=150（千克）；
第二次购买的数量：150−25=125（千克）；
设每千克的售价为 y 元，得：
150y−4+125y−4.8≥1000.
解得：
y≥8.
答：甘蔗每千克的售价至少 8 元．
22. （1） 200
（2） 200−20+80+40=60（人），图略．
（3） 估计该校学生中参加羽毛球社团的人有：1000×60200=300（人）．
（4） 根据题意，列表：
共有 6 种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学有 2 种，
∴P恰好选中甲、乙=26=13．
23. （1） 把 C0,−2，A−1,0 分别代入 y=ax2−2ax+c 得：c=−2,a+2a+c=0.
解得：a=23,c=−2.
∴ 抛物线的解析式为：y=23x2−43x−2，
把 y=0 代入解析式得 23x2−43x−2=0，
解得：x1=3，x2=−1，
∴ 点 B 的坐标为 3,0．
（2） 设点 P 的坐标为 m,23m2−43m−2m>0，
连接 OP，
则
S=S△POC+S△POB−S△BOC=12×∣−2∣⋅m+12×3⋅−23m2−43m−2−12×3×∣−2∣=−m2+3m=−m−322+94.
∴ 当 m=32 时，S 取得最大值为 94．
24. （1） 如图，连接 OE，
∵CD⊥AB，
∴∠CHG=90∘，
∴∠1+∠3=90∘，
∵GF=EF，
∴∠4=∠5，
∵∠3=∠4，
∴∠3=∠5，
∵OC=OE，
∴∠1=∠2，
∴∠2+∠5=90∘ 即 ∠OEF=90∘，
∴OE⊥EF，
∴EF 是 ⊙O 的切线．
（2） ① ∵EF∥BC，CD⊥AB，
∴∠F=∠CBH，∠BHC=90∘，
在 Rt△BCH 中，BC=52，sinB=sinF=35，
∴CH=BC⋅sinB=52×35=32，
由勾股定理得：HB=BC2−CH2=522−322=42，
连接 OB，设半径为 r，则在 Rt△OHB 中，由勾股定理得：
OH2+BH2=OB2，
∴r−322+422=r2，
解得：r=2526，
∴⊙O 半径为 2526．
② ∵EF∥BC，
∴∠M=∠BCH，
∴sinM=sin∠BCH=BHBC=4252=45，
在 Rt△OEM 中，OM=OEsinM=252645=125224，
∴DM=OM−OD=125224−2526=25224．
25. （1） 4−k3
（2） 如图 1，
∵A4,3，
∴AC=4，AB=3，
∴ACAB=43，
∵F 在 y=kx 上，
∴F4,k4，
∴AEAF=4−k33−k4=12−k312−k4=43，
∴AEAF=ACAB=43，
又 ∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ACB，
∴∠AEF=∠ACB，
∴EF∥BC，
连接 AD 交 EF 于 M 点，
∵△AEF≌△DEF，
∴AE=DE，AF=DF，
∴EF 垂直平分 AD，
∴AM=DM，AM⊥EF，
∴AE=CE=12AC=2．
（3） 如图 2，过 D 点作 DN⊥AB，
①当 BD=AD 时，有 ∠AND=90∘，AN=BN=12AB=32，
∴∠1+∠3=90∘，
又 ∵∠1+∠2=90∘，
∴∠2=∠3，
∴tan∠3=tan∠2=AEAF=43，
∴ANDN=43，
∵DN=34AN=34×32=98，
∴D 点横坐标为 4−98=238，
∴D238,32．
②当 AB=AD=3 时，在 Rt△ADN 中，sin∠3=sin∠2=AEEF=45，
∴ANAD=45，
∴AN=45AD=45×3=125，
∴BN=3−AN=3−125=35，
又 ∵DN=34AN=34×125=95，
∴D 点横坐标为 4−95=115，
∴D115,35．
③当 AB=BD 时，
∵△AEF≌△DEF，
∴DF=AF，
∴DF+BF=AF+BF，
即 DF+BF=AB，
∴DF+BF=BD，
此时 D，F，B 三点共线且 F 点与 B 点重合，舍去，
∴BA≠BD．
综上所述，所求 D 点坐标为 238,32 或 115,35．