选择性必修 第三册6.3 利用导数解决实际问题获奖ppt课件

课程目标

学科素养

A. 了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用.

B.能利用导数求出某些实际问题的最大值(最小值).

1.数学抽象：分析抽象出实际问题中的数量关系

2.逻辑推理：最值在生活中的价值

3.数学运算：运用导数求函数的最值

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    情景导学

 在生活中，人们经常会遇到最优化的问题.例如，在铺设管道或者公路时，怎样使得花费最少？在制作容器时，怎样使得用料最少？在经济活动中，怎样使得经营成本最小？等等。这些问题都需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，因此数学上都成为最优化问题.因为利用导数可以求得最值.所以可以利用导数来求解最优化问题，下面我们举例说明．

问题1.  如图所示，海中有一座油井A,其离岸的距离AC=1.2 km，岸是笔直的，岸上有一座炼油厂B，且BC=1.6 km ，现要用输油管将油井A与炼油厂B连接起来，且输油管既可以铺设在水下，也可以铺设在陆地上，还可以一部分铺设在水下另一部分铺设在陆地上.已知水下的铺设成本为每千米50万元，陆地的铺设成本为每千米30万元，那么铺设输油管的最少花费是多少？

探究1.分别计算下列两种算法的铺设成本，然后尝试给出最优的铺设方案
（1）先沿AC铺设，再沿CB铺设；
（2）直接沿着线段AB铺设.

如果先沿AC铺设，再沿CB铺设，则成本为万元.

又因为

所以直接沿线段AB铺设,成本为 2×50=100万元，

如图所示，在岸上取一点D，设计其距离C的距离为则

, 1.6

记先沿AD铺设再沿DB铺设输油管时成本为万元，则

1.6

因此,当 时,

令 可解得

因此可知在上递减，在上递增，从而在时取得最小值，而且最小值为

1.6 最少花费是96万元.

一、最优化问题

生活中,经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等实际问题,这些问题通常称为最优化问题.

二、利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤

1.分析实际问题中各量之间的关系.列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x),根据实际意义确定定义域.

2.求函数y=f(x)的导数f'(x).解方程f'(x)=0得出定义域内的实根,确定极值点.

3.比较函数在区间端点和极值点处的函数值,获得所求的最大(小)值.

4.还原到原实际问题中作答.

二、典例解析

例1.如图所示，某海岛码头O离岸边最近点B的距离是150 km，岸边的医药公司A与点B的距离为300km,现有一批药品要尽快送达海岛码头，已知A与B之间有一条公路,现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车的时速为130km，快艇时速为50km。试在岸边选一点C，先将药品用汽车从A送到C，再用快艇从C运到海岛码头，则点C选在何处可使运输时间最短？

解：设点C与点B的距离为km,运输时间为T()小时，则

因为

因此令可解得，因此可知在上递减,

在上递增,从而在最小值.

这就是说，点C选在离点B点为时可使运输时间最短.

例2. 如图所示，先有一块边长为1.2 m的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，然后做成一个长方形的五盖容器，则容器的容积V m3 立方是结下的小正方形变成x m的函数，

(1)写出函数解析式，
(2)为了使容器的容积最大截距的小正方形，边长应为多少？

分析:当截去的正方形边长较短时，容器的底面积就会较大，高较小；反之，当截去的正方形边长较长时，容器的底面积就会较小，高较大。但是容器的容积等于底面积乘以高，因此，为了使得容器的容积最大，必须寻找合适的x值。

解：（1）根据题意可知，容器底面的边长为1.2m，高为m ，于是

又因为显然的长度必须小于原有正方形铁板的一半，因此所以.

（2）由题意有

令

因此可知在上递增,

在上递减,从而在取得极大值，而且在此时取得最大值.即截去的正方形边长为m时，容器的容积最大。

用导数解决实际问题的基本过程

     解应用题时,首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题——就是从实际问题出发,抽象概括,利用数学知识建立相应的数学模型——再利用数学知识对数学模型进行分析、研究,得到数学结论;然后再把数学结论返回到实际问题中进行检验.其思路如下:

归纳总结

(1)审题:阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,找出问题的主要关系.

(2)建模:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识建立相应的数学模型.

(3)解模:把数学问题化归为常规问题,选择合适的数学方法求解.

(4)对结果进行验证评估,定性、定量分析,作出正确的判断,确定其答案.

值得注意的是,在实际问题中,有时会遇到函数在定义区间内只有一个点使f'(x)=0的情形,如果函数在这个点有极大(小)值,那么不与端点值比较也可以确定这就是最大(小)值.这也适用于开区间或无穷区间.

例3. 某种退烧药能够降低的温度R是血液中该药含量M的函数，而且

其中C是一个常数，试求这种退烧药在血液中的含量M为多少时，能够降低的温度最大。

解：因为

        因此可知在上递增,在上递减,从而V在

时取得极大值，而且此时取得最大值

例4. 已知某型号手机总成本C元是产量Q万件的函数，且

    将Q看成能取区间内的每一个值，求月产量Q为多少时，才能使每件产品的平均成本最低?最低平均成本为多少？

解：记平均成本为元，则

=

因为

可解得

因此可知在上递减,在，从而在 Q=10时取得极小值，而且在此事取得最小值

=

及当月产量为10万件，是每件产品的平均成本最低最低为400元.

通过具体问题的思考和分析，提出生活中的最优化问题。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。

通过典型例题，加深学生对运用导数求解生活中的优化问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素。

通过典型例题，加深学生对运用导数求解生活中的优化问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素。

三、达标检测

1.一个箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)=x2 (0<x<60),则当箱子的容积最大时,x的值为(　　)

A.30   B.40        C.50 D.60

解析:V(x)=-x3+30x2,V'(x)=-x2+60x,令V'(x)=0,得x=40(x=0舍去),且当0<x<40时,V'(x)>0,当40<x<60时,V'(x)<0,故V(x)在x=40时取得最大值.

答案:B

2.做一个容积为256 cm3的方底无盖水箱,要使用料最省,水箱的底面边长为(　　)

A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm

解析:设水箱的底面边长为x cm,容积为256 cm3,

所以水箱的高为,

于是水箱表面积f(x)=x2+4x·,

即f(x)=x2+,f'(x)=2x-.

令f'(x)=0,得x=8,所以当底面边长为8 cm时用料最省.

答案:D

3.已知某厂生产某种商品x(百件)的总成本函数为C(x)=x3-6x2+29x+15(万元),总收益函数为R(x)=20x-x2(万元),则生产这种商品所获利润的最大值为　　　　　万元. 

解析:设利润为P(x),则P(x)=R(x)-C(x)=20x-x2-x3+6x2-29x-15=-x3+5x2-9x-15,

所以P'(x)=-x2+10x-9,由P'(x)=0,得x=9或x=1,所以当1<x<9时,P(x)单调递增;当x>9时,P(x)单调递减.所以当x=9时,P(x)有极大值,也即最大值P(9)=66.

答案:66

4.某生产厂家生产一种产品的固定成本为1万元,并且每生产1百台产品需增加投入0.5万元.已知销售收入R(x)(万元)满足R(x)=-x3+x2+x(其中x是该产品的月产量,单位:百台,0<x<8),假定生产的产品都能卖掉,则当公司每月产量为　　　　　百台时,公司所获利润最大. 

解析:设销售利润为g(x),依题意,可得

g(x)=-x3+x2+x-1-x=-x3+x2-1,x∈(0,8),

g'(x)=-x2+x=-x(x-6),

当x∈(0,6)时,g'(x)>0,当x∈(6,8)时,g'(x)<0,

所以g(x)在(0,6)上单调递增;在(6,8)上单调递减.

所以x=6时,g(x)取得极大值,也是最大值,

所以当公司每月生产6百台时,获得利润最大.

答案:6

5.某工厂生产某种产品,已知该产品的月产量x(吨)与产品的价格P(元/吨)之间的关系为P=24 200- x2,且生产x吨的成本为R=50 000+200x元.问每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入-成本)

解:每月生产x吨时的利润为

f(x)=(24 200-x2)x-(50 000+200x)=-x3+24 000x-50 000(x≥0).

由f'(x)=-x2+24 000=0,

解得x1=200,x2=-200(舍去).

因为f(x)在[0,+∞)内只有一个极大值点x=200使f'(x)=0,故它就是

最大值点,且最大值为f(200)=-×2003+24 000×200-50 000

=3 150 000(元).

答:每月生产200吨产品时利润达到最大,最大利润为315万元.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

四、小结

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。