人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.2.1 等差数列教课ppt课件

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.2.1 等差数列教课ppt课件，共34页。PPT课件主要包含了新知初探·自主学习，课堂探究·素养提升，等差中项，ap＋aq，pd1＋qd2，答案B，答案180，答案C，答案35等内容，欢迎下载使用。

1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．2．体会等差数列与一元一次函数的关系．
状元随笔　任意两数都有等差中项吗？在一个等差数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等差中项吗？[提示]　(1)是，任意两个实数都有等差中项，且唯一．(2)是，利用等差中项可以判定给定数列是否为等差数列，即若2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)，则{an}为等差数列． 
知识点二　等差数列的性质(1){an}是等差数列，若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝________．①特别地，当p＋q＝2s(p，q，s∈N＋)时，2as＝ap＋aq.②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的________，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为________数列．
(3)若{an}是公差为d的等差数列，则①{c＋an}(c为任一常数)是公差为________的等差数列；②{can}(c为任一常数)是公差为________的等差数列；③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为________的等差数列．(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为________的等差数列．
基 础 自 测 1．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝(　　)A．12 B．16 C．20 D．24
解析：在等差数列中，由性质可得a2＋a10＝a4＋a8＝16.
3．在等差数列{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________．
解析：因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450.所以a5＝90，a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.
4．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝(　　)A．0 B．37 C．100 D．－37
解析：设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以{an＋bn}为等差数列．又a1＋b1＝a2＋b2＝100，所以{an＋bn}为常数列，所以a37＋b37＝100.
等差中项及其应用例1　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
跟踪训练1　若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．
等差数列的性质【思考探究】1．数列1，2，3，4，5，6，7，8，…是等差数列吗？1，3，5，7，…是等差数列吗？2，4，6，8，…是等差数列吗，它们有什么关系？这说明了什么？
[提示]　这三个数列均是等差数列，后两个数列是从第一个数列中每隔相同的项数抽取一项，按原来顺序组成的新数列，这说明从一个等差数列中每隔相同的项数取一项，按原来的顺序排列，还是一个等差数列．
2．在等差数列{an}中，若an＝3n＋1.那么a1＋a5＝a2＋a4吗？a2＋a5＝a3＋a4成立吗？由此你能得到什么结论？该结论对任意等差数列都适用吗？为什么？ 
[提示]　由an＝3n＋1可知a1＋a5＝a2＋a4与a2＋a5＝a3＋a4均成立，由此有若s，t，p，q∈N＋且s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq.对于任意等差数列{an}，设其公差为d.则as＋at＝a1＋(s－1)d＋a1＋(t－1)d＝2a1＋(s＋t－2)d，ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d＝2a1＋(p＋q－2)d，因s＋t＝p＋q，故as＋at＝ap＋aq对任意等差数列都适用．
3．在等差数列{an}中，2an＝an＋1＋an－1(n≥2)成立吗？2an＝an＋k＋an－k(n＞k＞0)是否成立？
[提示]　在2的结论中令s＝t，p＝n＋1，q＝n－1，可知2an＝an＋1＋an－1成立；s＝t，p＝n＋k，q＝n－k，可知2an＝an＋k＋an－k也成立．
例2　(1)等差数列{an}，若a1＋a17为一确定常数，则下列各式也为确定常数的是(　　)A．a2＋a15 B．a2·a15C．a2＋a9＋a16 D．a2·a9·a16
【解析】因为a1＋a17为一确定常数，又a1＋a17＝a2＋a16＝2a9，所以a2＋a16＋a9＝3a9为一确定常数，故选C.
(2)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________． 
【解析】方法一　设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.方法二　∵数列{an}，{bn}都是等差数列，∴数列{an＋bn}也构成等差数列，∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，∴2×21＝7＋a5＋b5，∴a5＋b5＝35.
 方法归纳1．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．2．应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项数之间的关系，但要注意性质运用的条件，如若s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq(s，t，p，q∈N＋)，需要当序号之和相等、项数相同时才成立．
跟踪训练2　(1)在公差为d的等差数列{an}中．已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13.
解析：方法一　化成a1和d的方程如下：(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48.∴4a13＝48.∴a13＝12.方法二　根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，及a2＋a24＝a3＋a23＝2a13.得4a13＝48，∴a13＝12.
(2)已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于(　　)A．7 B．14 C．21 D．7(n－1)
解析：因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14.
(3)由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是(　　)A．新数列不是等差数列B．新数列是公差为d的等差数列C．新数列是公差为2d的等差数列D．新数列是公差为3d的等差数列
解析：因为(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列．
等差数列及其应用例3　某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
【解析】　设从第一年起，第n年的利润为an万元，则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N＋)，∴每年的利润构成一个等差数列{an}，从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.若an<0，则该公司经销这一产品将亏损．∴由an＝220－20n<0，得n>11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．
跟踪训练3　第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算，你能算出2024年8月在巴黎举行的奥运会是第几届吗？若已知届数，你能确定相应的年份吗？
解析：设第一届的年份为a1，第二届的年份为a2，…，第n届的年份为an，则a1，a2，…，an，…构成一个以a1＝1 896为首项，以d＝4为公差的等差数列，其通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝1 896＋4(n－1)＝4n＋1 892，即an＝4n＋1 892，由an＝2 024，知4n＋1 892＝2 024，所以n＝33.故2024年举行的奥运会为第33届．已知举办的届数也能求出相应的年份，因为在等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d中，知道其中任何三个量，均可求得第四个量．
灵活设元解等差数列例4　已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数． 
方法归纳1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列．2．当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d.3．当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d.
跟踪训练4　三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．