高中人教B版 (2019)4.1.2 指数函数的性质与图像达标测试

指数函数的性质与图像

(15分钟　30分)

1.若函数f(x)=·ax是指数函数,则f的值为 (　　)

A.2　  B.2　  C.-2　   D.-2

【解析】选B.因为函数f(x)=·ax是指数函数,所以a-3=1,a>0,a≠1,

解得a=8,所以f(x)=8x,所以f==2.

2.(2020·邢台高一检测)设y1=40.9,y2=80.48,y3=,则 (　　)

A.y1>y2>y3   B.y1>y3>y2

C.y2>y1>y3   D.y3>y1>y2

【解析】选B.y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3==21.5,因为y=2x是增函数,所以y1>y3>y2.

3.(2020·嘉兴高一检测)当x>0时,指数函数(a-1)x<1恒成立,则实数a的取值范围是 (　　)

A.(2,+∞)　　　　　　B.(1,2)

C.(1,+∞)    D.R

【解析】选B.因为当x>0时,(a-1)x<1恒成立,所以0<a-1<1,即1<a<2.

4.已知函数f(x)=+2,则f(1)与f(-1)的大小关系是 (　　)

A.f(1)>f(-1)   B.f(1)<f(-1)

C.f(1)=f(-1)   D.不确定

【解析】选B.因为f(x)=+2是减函数,所以f(1)<f(-1).

5.已知函数f(x)满足f(x)=则f(-7.5)的值为________. 

【解析】由题意,得f(-7.5)=f(-5.5)=f(-3.5)=f(-1.5)=f(0.5)=20.5=.

答案:

6.求不等式a4x+5>a2x-1(a>0且a≠1)中x的取值范围.

【解析】对于a4x+5>a2x-1(a>0,且a≠1),

当a>1时,有4x+5>2x-1,解得x>-3;

当0<a<1时,有4x+5<2x-1,解得x<-3.

故当a>1时,x的取值范围为{x|x>-3};

当0<a<1时,x的取值范围为{x|x<-3}.

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分,共20分)

1.设x>0,且1<bx<ax,则 (　　)

A.0<b<a<1   B.0<a<b<1

C.1<b<a     D.1<a<b

【解析】选C.因为1<bx,所以b0<bx,

因为x>0,所以b>1,

因为bx<ax,所以>1,

因为x>0,所以>1⇒a>b,所以1<b<a.

2.函数f(x)=的定义域为 (　　)

A.(-∞,0)   B.[0,+∞)

C.[2,+∞)   D.(-∞,2)

【解析】选C.由x-2≥0,得x≥2.

3.全集U=R,集合A={x|y=},则UA= (　　)

A.[0,+∞)   B.(-∞,0)

C.(0,+∞)   D.(-∞,0]

【解析】选B.因为 2x-1≥0,所以 2x≥1,所以 x≥0,A={x|x≥0}.所以UA={x|x<0}.

4.(2020·衡水高一检测)设f(x)是定义在实数集R上的函数,满足条件:y=f(x+1)是偶函数,且当x≥1时f(x)=5x, 则f,f,f的大小关系是(　　)

A.f<f<f

B.f<f<f

C.f<f<f

D.f<f<f

【解析】选D.因为y=f(x+1)是偶函数,所以y=f(x+1)的对称轴为x=0,所以y=f(x)的对称轴为x=1.

又x≥1时,f(x)=5x,所以f(x)=5x在[1,+∞)上是增函数,所以f(x)在(-∞,1]上是减函数.因为f=f,且>>,

所以f<f<f,

即f<f<f.

二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

5.以x为自变量的四个函数中,是指数函数的为 (　　)

A.y=(e-1)x　  B.y=(1-e)x

C.y=3x+1   D.y=πx

【解析】选AD.由指数函数的定义可知选A,D.

6.设f(x)=,x∈R,则f(x)是 (　　)

A.奇函数且在(-∞,0)上是增函数

B.偶函数且在(-∞,0)上是增函数

C.奇函数且在(0,+∞)上是减函数

D.偶函数且在(0,+∞)上是减函数

【解析】选BD.依题意,得f(-x)===f(x),所以 f(x)是偶函数.当x>0时,f(x)==,该指数函数是减函数;当x<0时, f(x)===2x,该指数函数是增函数,故选BD.

三、填空题(每小题5分,共10分)

7.已知函数f(x)=a-x(a>0且a≠1),且f(-2)>f(-3),则a的取值范围是________. 

【解析】由题意可得,函数f(x)=a-x =(a>0且a≠1)在R上是增函数,故>1,解得 0<a<1.

答案:(0,1)

8.若函数y=ax(a>0,a≠1)在区间[1,2]上的最大值和最小值之和为12,则实数a=________. 

【解析】无论函数y=ax是增函数,还是减函数,最大值和最小值的和总为a+a2=12,

解得a=3或a=-4(舍去).

答案:3

【补偿训练】

(2020·阜阳高一检测)已知函数y=在[-2,-1]上的最小值是m,最大值是n,则m+n的值为________. 

【解析】因为y=在[-2,-1]上为减函数,

所以m==3,n==9,

所以m+n=12.

答案:12

四、解答题(每小题10分,共20分)

9.已知函数f(x)=ax-1(x≥0),其中a>0且a≠1.

(1)若f(x)的图像经过点,求a的值;

(2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域.

【解析】(1)函数图像过点,

所以a2-1=,则a=.

(2)f(x)=ax-1(x≥0),由x≥0得x-1≥-1,

当0<a<1时,ax-1≤a-1,

所以f(x)的值域为(0,a-1];

当a>1时,ax-1≥a-1,

所以f(x)的值域为[a-1,+∞).

10.已知指数函数f(x)的图像经过点P(3,8),且函数g(x)的图像与f(x)的图像关于y轴对称.

(1)求函数g(x)的解析式;

(2)若g(2x2-3x+1)>g(x2+2x-5),求x的取值范围.

【解析】(1)设指数函数f(x)=ax,

因为指数函数f(x)的图像过点(3,8),

所以8=a3,所以a=2,所求指数函数为f(x)=2x.

因为函数g(x)的图像与f(x)的图像关于y轴对称,

所以g(x)=2-x.

(2)由(1)得g(x)为减函数,

因为g(2x2-3x+1)>g(x2+2x-5),

所以2x2-3x+1<x2+2x-5,

即x2-5x+6<0,

解得2<x<3,

所以x的取值范围为(2,3).

1.若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)x2在[0,+∞)上是增函数,则a=________. 

【解析】当a>1时,有a2=4,a-1=m,

所以a=2,m=.

此时g(x)=-x2在[0,+∞)上是减函数,不合题意.

当0<a<1时,有a-1=4,a2=m,

所以a=,m=.检验知符合题意.

答案:

2.已知函数f(x)=b·ax(a,b为常数且a>0,a≠1)的图像经过点A(1,8),B(3,32).

(1)试求a,b的值.

(2)若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,求实数m的取值范围.

【解析】(1)因为函数f(x)=b·ax的图像经过点A(1,8),B(3,32),

所以

解得a=2,b=4.

(2)设g(x)=+=+,

y=g(x)在R上是减函数,

所以当x≤1时,g(x)min=g(1)=.

若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,即m≤.

【补偿训练】

(2020·贵阳高一检测)函数f(x)=2x-是奇函数.

(1)求f(x)的解析式;

(2)当x∈(0,+∞)时,f(x)>m·2-x+4恒成立,求m的取值范围.

【解析】(1)因为函数f(x)=2x-是奇函数,

所以f(-x)=2-x-=-a·2x+=-2x+=-f(x),故a=1,故f(x)=2x-.

(2)当x∈(0,+∞)时,f(x)>m·2-x+4恒成立,即m+1<(2x)2-4·2x在x∈(0,+∞)恒成立,

令h(x)=(2x)2-4·2x(x>0),显然h(x)在(0,+∞)上的最小值是h(1)=-4,

故m+1<-4,解得:m<-5.