人教B版 (2019)必修 第二册4.5 增长速度的比较练习

增长速度的比较

(15分钟　30分)

1.下列函数中函数值随x的增大而增长,且函数值增长速度最快的是 (　　)

A.y=ex   B.y=10ln x3

C.y=x10  D.y=10·2x

【解析】选A.对于C,函数值随x的增大先减小后增大,不符合题意,对于B,可化为y=30ln x,函数值增长速度越来越慢,而A,D中函数值增长速度越来越快,因为e>2,所以ex比10·2x增长速度快.故选A.

2.函数y=x2+1在上的平均变化率是 (　　)

A.2   B.2x

C.2+Δx  D.2+

【解析】选C.依题意,所求平均变化率为=2+Δx.

3.有一组实验数据如表所示:

下列所给函数模型较适合的是 (　　)

A.y=logax(a>1)  B.y=ax+b(a>1)

C.y=ax2+b(a>0)  D.y=logax+b(a>1)

【解析】选C.通过所给数据可知s随t的增大而增大,其增长速度越来越快,而A、D中的函数增长速度越来越慢,而B中的函数增长速度保持不变.

4.某林区的森林蓄积量平均每年比上一年增长10.4%,若经过x年可以增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的大致图像是下图中的              (　　)

【解析】选D.设某林区的森林蓄积量原有1个单位,则经过1年森林的蓄积量为1+10.4%;经过2年森林的蓄积量为(1+10.4%)2;…;经过x年的森林蓄积量为(1+10.4%)x(x≥0),因为底数110.4%大于1,根据指数增长的特征可知选D.

5.若函数f(x)在任意区间内的平均变化率比g(x)=1在同一区间内的平均变化率大,则函数f(x)可以为______,函数f(x)是________函数.(填“单调递增”或“单调递减”) 

【解析】因为函数g(x)=1在任意区间上的变化率为0,所以函数f(x)在任意区间上的变化率为正数,所以函数f(x)可以为f(x)=x,且函数f(x)是单调递增函数.

答案:x(答案不唯一)　单调递增

6.若函数f(x)在任意区间内的平均变化率均为,且函数的图像过(2,2)点,求f(x)的解析式.

【解析】因为函数f(x)在任意区间内的平均变化率均为,

则f(x)为一次函数,设f(x)=x+b,

又函数图像过点(2,2),

所以2=×2+b,

所以b=1,

所以f(x)=x+1.

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分,共20分)

1.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率等于 (　　)

A.-1  B.1  C.-2  D.2

【解析】选A.易知f=3,f=1,

因此=-1.

2.函数f(x)=x3在区间上的平均变化率为 (　　)

A.1   B.9

C.19   D.36

【解析】选C.==19.

3.函数f(x)=在区间[1,a]上的平均变化率为,则实数a的值为 (　　)

A.10  B.9  C.8  D.7

【解析】选B.f(x)=在区间[1,a]上的平均变化率为===,解得实数a的值为9.

4.已知f(x)=2x,g(x)=3x,h(x)=x3,则在区间上函数值增长速度的大小顺序是 (　　)

A.h(x)<f(x)<g(x)

B.h(x)<g(x)<f(x)

C.f(x)<g(x)<h(x)

D.g(x)<f(x)<h(x)

【解析】选C.因为==2,==6,==7,所以函数在区间上的函数值增长速度的大小顺序是f(x)<g(x)<h(x).

二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

5.若函数f(x)=x2由x=1至x=1+Δx的平均变化率的取值范围是(1.975,2.025),则增量Δx的取值可以为              (　　)

A.-0.1  B.0.001  C.0.01  D.0.1

【解析】选BC.==Δx+2 ,

因为函数f(x)=x2由x=1至x=1+Δx的平均变化率的取值范围是,

所以1.975<Δx+2<2.025,-0.025<Δx<0.025,结合选项知,B,C符合题意.

6.若函数f(x)=x,g(x)=x2,h(x)=x3在上的平均变化率分别记为m1,m2,m3,则下面结论不正确的是              (　　)

A.m1=m2=m3   B.m1>m2>m3

C.m2>m1>m3   D.m1<m2<m3

【解析】选BCD.函数f(x)=x在上的平均变化率为m1==1;

函数g(x)=x2在上的平均变化率为m2==1;

函数h(x)=x3在上的平均变化率为m3==1;

所以m1=m2=m3,故选BCD.

【补偿训练】

下面对函数f(x)=x,g(x)=和h(x)=在区间上的说法不正确的是 (　　)

A.f(x)的递减速度越来越慢,g(x)的递减速度越来越快,h(x)的递减速度越来越慢

B.f(x)的递减速度越来越快,g(x)的递减速度越来越慢,h(x)的递减速度越来越快

C.f(x)的递减速度越来越慢,g(x)的递减速度越来越慢,h(x)的递减速度越来越慢

D.f(x)的递减速度越来越快,g(x)的递减速度越来越快,h(x)的递减速度越来越快

【解析】选ABD.观察函数f(x)=x,g(x)=和h(x)=在区间上的图像,由图像(图略)可知:函数f(x)的图像在区间上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在区间上递减较慢,且越来越慢.同样,函数g(x)的图像在区间上递减较慢,且递减速度越来越慢.函数h(x)的图像在区间上递减较快,但递减速度变慢;在区间上递减较慢,且越来越慢.

三、填空题(每小题5分,共10分)

7.已知f(x)=3x+2在任意区间上的平均变化率为________,当自变量每增加1个单位时,函数值增加______个单位. 

【解析】设区间,

则==3,

当自变量每增加1个单位时,函数值增加3个单位.

答案:3　3

8.函数y=x2与函数y=xln x在区间(0,+∞)上增长较快的一个是________. 

【解析】当x变大时,x比ln x增长得快,

所以x2要比xln x增长得快.

答案:y=x2

四、解答题(每小题10分,共20分)

9.已知函数f(x)=3x+1,g(x)=5x-4,

(1)判断f(2),g(2)的相对大小.

(2)求使f(2+Δx)<g(2+Δx)成立的Δx的取值范围.

【解析】(1)因为f(2)=2×3+1=7,g(2)=2×5-4=6,

所以f(2)>g(2).

(2)令f(2+Δx)<g(2+Δx),则3(2+Δx)+1<5(2+Δx)-4,即2Δx>1,解得Δx>.

10.如果函数y=f(x)在区间I上是减函数,而函数在区间I上是增函数,那么称函数y=f(x)是区间I上的“缓减函数”,区间I叫做“缓减区间”.求函数f(x)=x2-2x+1区间的缓减区间.

【解析】对于f(x)=x2-2x+1,对称轴为x=2,

在区间(-∞,2]上是减函数.

对于y==+-2,令g(x)=+,

所以g(x)为奇函数,令0<x1<x2,

则g(x1)-g(x2)=+-=(x1-x2)+-=(x1-x2)+

=(x1-x2)=(x1-x2)·,

当x1,x2∈(0,]上时,x1-x2<0,x1x2-2<0,

所以g(x1)-g(x2)>0,

所以g(x1)>g(x2),g(x)为减函数.

当x1,x2∈[,+∞)时,x1-x2<0,x1x2-2>0,

所以g(x1)-g(x2)<0,g(x)为增函数,

又g(x)为奇函数,所以在[-,0)上是减函数,

在(-∞,-]上是增函数,所以y=在(-∞,-],[,2]上是增函数,故函数f(x)的缓减区间为(-∞,-],[,2].

1.已知函数f(x)=x2,g(x)=3x,h(x)=ln x,这三个函数在区间(a>1)上的平均变化率的大小为________. 

【解析】因为==2a+1,

==3,

==ln,

又因为a>1,所以2a+1>2×1+1=3,

ln<ln=ln 2<ln e=1<3,

因此在区间上,f(x)的平均变化率最大,h(x)的平均变化率最小.

答案:f(x)>g(x)>h(x)

2.比较函数f(x)=4x,g(x)=x+1在区间(a<0)上的平均变化率的相对大小.

【解析】因为==4a-1(4-1)=3×4a-1,

==,

又因为a<0,

所以=3×4a-1<3×40-1=3×4-1=,

所以函数f(x)在区间上的平均变化率比g(x)的小.