人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.5 正态分布优秀课后复习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.5 正态分布优秀课后复习题，共4页。试卷主要包含了已知随机变量X～N，且P＝0等内容，欢迎下载使用。

1．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是( )
A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件
B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件
C．随机变量落在[－3σ，3σ]之外是一个小概率事件
D．随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件
答案 D
解析 ∵P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0．997 3，∴P(X>μ＋3σ或X<μ－3σ)＝1－P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈1－0．997 3＝0．002 7，∴随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件．
2．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，P(ξ<4)＝0．84，则P(ξ≤0)等于( )
A．0．16 B．0．32
C．0．68 D．0．84
答案 A
解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，
∵P(ξ<4)＝0．84，
∴P(ξ≥4)＝1－0．84＝0．16，
∴P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0．16．
3．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10，\f(1,2)))，则该随机变量的方差等于( )
A．10 B．100 C．eq \f(2,π) D．eq \r(\f(2,π))
答案 C
解析 由正态分布密度曲线上的最高点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10，\f(1,2)))知eq \f(1,\r(2π)·σ)＝eq \f(1,2)，∴D(X)＝σ2＝eq \f(2,π)．
4．如图所示是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )
A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3
C．σ1>σ2>1>σ3>0D．0<σ1<σ2＝1<σ3
答案 D
解析 当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝eq \f(1,\r(2π))在x＝0处取最大值eq \f(1,\r(2π))，故σ2＝1．由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”．故选D．
5．已知随机变量X服从正态分布N(a，4)，且P(X≤1)＝0．5，则实数a的值为 ．
答案 1
解析 ∵X服从正态分布N(a，4)，
∴正态曲线关于直线x＝a对称，
又P(X≤1)＝0．5，故a＝1．
6．已知随机变量X～N(2，σ2)，如图所示，若P(X答案 0.36
解析 ∵随机变量X～N(2，σ2)，∴μ＝2，由正态分布图象的对称性可得曲线关于直线x＝2对称，∴P(X>4－a)＝P(X4－a)＝1－2P(X7．已知X～N(4，σ2)，且P(2答案 2 0.84
解析 ∵X～N(4，σ2)，∴μ＝4．
∵P(2∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(μ＋σ＝6，,μ－σ＝2，))∴σ＝2．
∴P(|X－2|<4)＝P(－2＝P(－2＝eq \f(1,2)[P(－2＝eq \f(1,2)P(－28．已知随机变量X～N(3，σ2)，且P(2≤X≤4)＝0．68，求P(X>4)的值．
解 ∵随机变量X～N(3，σ2)，
∴正态曲线关于直线x＝3对称，
又P(2≤X≤4)＝0.68，可得P(X>4)＝eq \f(1,2)×[1－P(2≤X≤4)]＝eq \f(1,2)×(1－0.68)＝0.16．
9．一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润X(万元)分别服从正态分布N(8，32)和N(7，12)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应该选择哪一个方案？
解 对于第一个方案有X～N(8，32)，其中μ＝8，σ＝3，P(X>5)＝eq \f(1－P5对于第二个方案有X～N(7，12)，其中μ＝7，σ＝1，
P(X>5)＝eq \f(1＋P5显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大，故他应该选择第二个方案．
能力提升
1．在某市2020年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(98，100)．已知参加本次考试的全市学生有9 455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第( )
A．1 500名 B．1 700名 C．4 500名 D．8 000名
答案 A
解析 因为学生的数学成绩X服从正态分布N(98，100)，所以P(X>108)＝eq \f(1,2)[1－P(88≤X≤108)]＝eq \f(1,2)[1－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈eq \f(1,2)×(1－0．682 7)＝0．158 65．所以0．158 65×9 455≈1 500．
2．一批电阻的电阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1 000，52)，现从甲、乙两箱出厂的成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1 011 Ω和982 Ω，可以认为( )
A．甲、乙两箱电阻均可出厂
B．甲、乙两箱电阻均不可出厂
C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂
D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂
答案 C
解析 ∵X～N(1 000，52)，∴μ＝1 000，σ＝5，
∴μ－3σ＝1 000－3×5＝985，
μ＋3σ＝1 000＋3×5＝1 015．
∵1 011∈(985，1 015)，982∉(985，1 015)，
∴甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂．
3．某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X(单位：mm)服从正态分布X～N(100，1)．现加工10个螺栓的尺寸(单位：mm)如下：101.7，100.3，99.6，102.4，98.2，103.2，101.1，98.8，100.4，100.0．X～N(μ，σ2)，有P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997．根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，工人随机将其中的8个交与质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为( )
A．eq \f(44,45) B．eq \f(4,5) C．eq \f(3,5) D．eq \f(41,45)
答案 B
解析 10个螺栓的尺寸，只有103.2不在区间[97，103]内，∴工人随机将其中的8个交与质检员检验，质检员认为设备需检修的概率为eq \f(C\\al(7,9),C\\al(8,10))＝eq \f(4,5)，故选B．
4．已知随机变量X～N(2，22)，且aX＋b(a>0)服从标准正态分布N(0，1)，则a＝ ，b＝ ．
答案 eq \f(1,2) －1
解析 ∵随机变量X～N(2，22)，
∴E(X)＝2，D(X)＝22＝4．
∴E(aX＋b)＝aE(X)＋b＝2a＋b＝0，
D(aX＋b)＝a2D(X)＝4a2＝1，
又a>0，∴a＝eq \f(1,2)，b＝－1．