人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.5 正态分布测试题

7.5 正态分布

一、选择题

1．（2021·河南高二月考）在如图所示的正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（    ）.

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】根据正态分布的性质，，

. 故选C.

2．（2021·重庆市第十一中学校高二月考）设随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，ξ<1的概率是，则μ等于（    ）

A．1 B．2 C．4 D．不确定

【答案】A

【详解】由题意，ξ < 1的概率是，则ξ > 1的概率也是，∴正态分布的图象关于对称，即.故选：A

3．（2021·全国高二课时练）疫情期间，网课的方式进行授课，某省级示范中学对在家学习的100名同学每天的学习时间(小时)进行统计，服从正态分布，则100名同学中，每天学习时间超过10小时的人数为（    ）(四舍五入保留整数)参考数据：，，.

A．15 B．16 C．31 D．32

【答案】B

【详解】根据题意可得：，故所求人数为100×0.1587≈16.

4．（2021·全国高二专题练）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C．对任意正数， D．对任意正数，

【答案】C

【详解】由正态分布密度曲线的性质可知，，的密度曲线分别关于直线，对称，因此结合题中所给图象可得，，所以，故错误；又得密度曲线较的密度曲线“瘦高”，所以，所以，B错误；对任意正数，，，C正确，D错误，故选：C

5．（多选题）（2021·辽宁丹东市高二月考）已知，，，则（    ）

A．曲线与轴围成的几何图形的面积小于1

B．函数图象关于直线对称

C．

D．函数在上单调递增

【答案】BC

【详解】选项A.  曲线与轴围成的几何图形的面积等于1，  所以A不正确.

选项B. ,

所以，所以函数图象关于直线对称，所以选项B正确.

选项C. 因为

所以

所以选项C正确.选项D. 由正态分布曲线可知，当越大时，其概率越小.

 即函数随的增大而减小，是减函数，所以选项D不正确.故选：BC

6．（多选题）（2021·山东德州市高二期末） “杂交水稻之父”袁隆平致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出杰出贡献．某水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度函数为，则下列说法正确的是（    ）

A．该地水稻的平均株高为

B．该地水稻株高的方差为10

C．该地水稻株高在以上的数量和株高在以下的数量一样多

D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：）的概率一样大

【答案】AC

【详解】因为密度函数为，所以，即均值为100，标准差为10，方差为100，故A正确，B错误；根据正态曲线的特征可知C正确，D错误．故选：AC．

二、填空题

7．（2021·安徽宣城市高二期末）设，若的概率为0.45，则的概率为___________.

【答案】

【详解】∵，

∴，，

∴．

8．（2020·全国高二单元测）已知X～N(μ，σ2)，且P(X>0)＋P(X≥－4)＝1，则μ＝________.

【答案】－2

【详解】因为P(X>0)＋P(X≥－4)＝1，又P(X<－4)＋P(X≥－4)＝1.

所以P(X>0)＝P(X<－4)．因此正态曲线的对称轴为x＝－2,，所以μ＝－2.

9．（2021·江苏连云港市高三开学考试）中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目.在某校的一次中长跑比赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布，已知成绩在90分以上（含90分）的学生有32名.则参赛的学生总数约为_____.

（参考数据：，，）

【答案】202

【详解】由正态分布得：平均值，标准差，设参赛的学生总数约为人，则成绩在的人数为人，成绩在的人数为人，而成绩在分以上的有人，所以成绩在90分以上（含90分）的学生有32名，解得

.

10．（2021·辽宁丹东市高二月考）2012年国家开始实行法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站在统计了2019年清明节前后车辆通行数量，发现该站近几天每天通行车辆的数量服从正态分布，若，，则的最小值为______.

【答案】8

【详解】服从正态分布，则，

又，即且

当且仅当，即时取等号.

三、解答题

11．（2021·江西高二期末）某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布（单位：）.

（1）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于的概率约为多少？

（2）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理巾.

附：，则，，.

【详解】解：（1）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为，由题意可知．

由于，所以根据正态分布的对称性与“原则”可知

.

(2)检测员的判断是合理的.

因为如果生产线不出现异常的话，由（Ⅰ）可知，随机抽取两包检查，质量都小于的概率约为，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的.

12．（2021·全国高二课时练）为了解一种植物的生长情况，抽取一批该植物样本测量高度(单位：)，其频率分布直方图如图所示.

（1）求该植物样本高度的平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

（2）假设该植物的高度服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差，利用该正态分布求.

附：.若，则.

【详解】

（1）由题意可得平均数，

（2）由（1）知，，从而

所以.