高中数学人教版新课标A必修13.2.1几类不同增长的函数模型教案设计
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3.2.1 几种函数增长快慢的比较
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）掌握几种常用函数增长快慢的比较方法
（2）熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律
2．过程与方程
利用函数图象，借助计算机列出自变量和函数值的对照表，比较几种常用函数增长的快慢，从而熟知常见函数增长快慢的一般性结论.
3．情感、态度与价值观
通过几种常见函数增长快慢的比较，感受“绝对与相对”的内涵和处延，培养思维的发散性.
（二）教学重点与难点
重点：函数增长快慢比较的常用途径；
难点：了解影响函数增长快慢的因素.
（三）教学方法
合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，体会比较方法，掌握基本结论，从而培养应用基本方法比较函数增长快慢的能力.
教学环节 | 教学内容 | 师生互动 | 设计意图 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
提出问题引入课题 | 观察函数在 [0，+∞）上的图象，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况. 在同一坐标中函数图象如下
结论：若0＜x＜16则 若x＞16则 | 师：增函数的共同特点是函数值y随自变量x的增长而增长，但不同函数在同一区间内的增长快慢是否相同？ 师生合作观察研究函数的增长快慢. ①x∈(0，16)时，的图象在图象上方 可知增长较快 ②时，的图在图象下方， 可知增长较快 | 由问题引入课题，激发学习兴趣. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
幂、指对函数增长快慢比较形成比较方法. | 1．实例探究： 比较函数y=2x，y= x2，y = log2x的增长快慢. 方法：①作图，列表比较、验证 ②应用二分法求2x = x2的根，即y = 2x与y = x2的交点横坐标. 2．规律总结 ①一般地，对于指数函数y=ax(a＞1)和幂函数y=xn(n＞0)，在区间上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn. ②对于对数函数y=logax(a＞1)和幂函数y = xn(n＞0)在区间上，随着x的增大，logax增长得越来越慢.在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn. ③在区间上，尽管函数y = ax(a＞1)，y = logax(a＞1)和y = xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增长，y = ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y = xn(n＞0)的增长速度，而y = logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有logax＜xn＜ax. | 师生合作：借助计算机作图，列表，进行探究 ①列表
②作图 ③结论 x∈R时log2x＜x2，且log2x＜2x. 进一步探究y = x2与y = 2x的增长快慢. ①列表
②作图 ③结论x∈(0，2)时2x＞x2，x∈(2，4)时，2x＜x2，x∈时2x＞x2 | 由特殊到一般探究规律 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
巩固练习 | 在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并比较它们的增长情况： （1）y=0.1ex–100,x∈[1,10]； （2）y=20lnx+100,x∈[1,10]； （3）y=20x, x∈[1,10]. | 三个函数图象如下： 由图象可以看到，函数（1）以“爆炸”式的速度增长；函数（2）增长缓慢，并渐渐趋于稳定；函数（3）以稳定的速率增加. | 进一步熟悉函数增长快慢的比较方法及步骤. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
课后作业 | 3.2 第一课时 习案 | 学生独立完成 | 巩固知识，培养能力 |
备选例题
例1 某人现在一笔资金x万元用于投资，经过市场调查研究，有三种方案：
第一种方案：存入银行，年利润Q1 = 0.018x；
第二种方案：借给朋友投资，年利润Q2 = 0.02x + 0.2；
第三种方案：办工厂，年利润Q3 = 0.2x2 + 2x – 35；
问：(1)投资4万元，选择哪种投资方案.
(2)投资10万元，选择哪种投资方案.
【解析】 (1)投资4万元，则有：
Q1 = 0.072；Q2 = 0.28；Q3 = – 23.8，
∴Q2＞Q1＞Q3
∴选择第二种方案
(2)投资10万元，则有：Q1 = 0.18；Q2 = 0.4；Q3 = 5，
∴Q3＞Q2＞Q1，
∴选择第三种方案.
例2 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月（30天）的通话时间x（分），与通话费y(元)的关系如图所示.
（1）分别求出通话费y1， y2与通话时间x之间的函数关系式；
（2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜.
【分析】（1）由图象可设y1 = k1x +29，y2 = k2x，把点B (30, 35)，C (30, 15)分别代入y1，y2得.
∴.
（2）令y1 = y2，即，则.
当x = 96时，y1 = y2，两种卡收费一致；
当x＜96时，y1＞y2，即如意卡便宜；
当x＞96时，y1＜y2，即便民卡便宜.
【评析】本题中的图形为直线，这就说明变量x，y之间满足一次函数关系，为此可采取待定系数法，求出具体的函数关系式，最后运用方程的思想求出关键点从而使问题得以解决. 图表题目的处理关键就在于正确理解其全部信息，运用合理的方法解决问题.
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