资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩27页未读，
继续阅读
高中数学人教版新课标A必修13.2.1几类不同增长的函数模型课堂教学ppt课件
展开
这是一份高中数学人教版新课标A必修13.2.1几类不同增长的函数模型课堂教学ppt课件，文件包含321ppt、321doc等2份课件配套教学资源，其中PPT共35页， 欢迎下载使用。
3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型
1．四种函数模型的性质
2. 三种增长函数模型的比较(1)指数函数和幂函数．一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长______于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax______xn.(2)对数函数和幂函数．对于对数函数y＝lgax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，lgax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，lgax可能会大于xn，但由于lgax的增长______于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有lgax______xn.
(3)指数函数、对数函数和幂函数．在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝lgax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是______函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越______，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝lgax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有____________＜xn＜______.
1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是( )A．y＝100x B．y＝lg100xC．y＝x100D．y＝100x[解析] 由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝100x的增长速度最快．
2．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来的价格相比，变化情况是( )A．增加了7.84% B．减少了7.84%C．减少了9.5%D．不增不减[解析] 设该商品原价为a，则四年后的价格为a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921 6a，所以a－0.921 6a＝0.078 4a＝7.84%a，故变化的情况是减少了7.84%.
3．专家预测，在我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( )[解析] 由题意可知y＝(1＋10.4%)x，故选D．
4．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图，给出下列四种说法：①前三年中产量增长的速度越来越快；②前三年中产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的是________.[解析] 由t∈[0,3]的图象，联想到幂函数y＝xa(0
四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：关于x呈指数函数变化的变量是______.
[思路分析] (1)从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．[解析] 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速率不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．
『规律方法』 三种函数模型的增长规律：(1)对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快．(2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝lgax增长越快，一般来说，ax＞lgax(x＞0，a＞1)．(3)指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax＞xn.
〔跟踪练习1〕下面是f(x)随x的增大而得到的函数值表：
试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长速度快慢有什么不同？[解析] (1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大．(2)由图表可以看出：各函数增长速度快慢不同，其中f(x)＝2x的增长速度最快，而且越来越快；其次为f(x)＝x2，增长的幅度也在变大；而f(x)＝2x＋7增长速度不变；增长速度最慢的是f(x)＝lg2x，而且增长的幅度越来越小．
命题方向2 ⇨巧用图象比较大小
已知函数f(x)＝2x和g(x)＝x3，在同一坐标系下作出了它们的图象，结合图象比较f(8)，g(8)，f(2 016)，g(2 016)的大小．[思路分析] 已知条件：指数函数解析式f(x)＝2x和幂函数解析式g(x)＝x3.条件分析：由函数解析式列表、描点、连线，可得函数图象，由两函数图象的交点，分析函数值的大小情况．
描点、连线，得如图所示图象：则函数f(x)＝2x对应的图象为C2，函数g(x)＝x3对应的图象为C1.∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，∴f(1)>g(1)，f(2)g(10)，∴1x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(2 016)>g(2 016)>g(8)>f(8)．
〔跟踪练习2〕函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．[解析] (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.(2)当0f(x)；当x1g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)．
某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一个函数用于根据当月评价分数x(正常情况0≤x≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y元，要求绩效工资不低于500元，不设上限且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低、越高的人数要越少，则下列函数最符合要求的是( )
[错解] 由条件知绩效工资不低于500元，且平均分在50分左右，故选A．
[错因分析] 错误的根本原因是忽视了绩效分数越高，则绩效工资越高这个条件，实际上本题中的函数应是增函数，且先慢后快，在x＝50左右增长缓慢．
[警示] 实际应用问题中，要结合问题的实际意义和函数的性质来确定拟合函数．
建模思想——函数模型的选择
某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份x，产量为y给出三种函数模型：y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝abx＋c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？[思路分析] 本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型．
结论为：当把x＝4代入得y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数y＝－0.8×0.5x＋1.4模拟比较接近客观实际．
『规律方法』 本题是对数据进行函数模拟，选择最符合客观实际的模拟函数．一般思路为：先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适当的几种函数模型后，再加以验证．函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，须借助计算器或计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须符合实际．
1．下列函数中，增长速度最慢的是( )A．y＝6x B．y＝lg6xC．y＝x6D．y＝6x[解析] 由函数的特征可知，对数函数y＝lg6x增长速度最慢．
2．如图，△ABC为等腰直角三角形，直线l与AB相交且l⊥AB，直线l截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y，点A到直线l的距离为x，则y＝f(x)的图象大致为四个选项中的( )
3．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是__________元．
4．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型
1．四种函数模型的性质
2. 三种增长函数模型的比较(1)指数函数和幂函数．一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长______于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax______xn.(2)对数函数和幂函数．对于对数函数y＝lgax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，lgax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，lgax可能会大于xn，但由于lgax的增长______于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有lgax______xn.
(3)指数函数、对数函数和幂函数．在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝lgax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是______函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越______，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝lgax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有____________＜xn＜______.
1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是( )A．y＝100x B．y＝lg100xC．y＝x100D．y＝100x[解析] 由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝100x的增长速度最快．
2．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来的价格相比，变化情况是( )A．增加了7.84% B．减少了7.84%C．减少了9.5%D．不增不减[解析] 设该商品原价为a，则四年后的价格为a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921 6a，所以a－0.921 6a＝0.078 4a＝7.84%a，故变化的情况是减少了7.84%.
3．专家预测，在我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( )[解析] 由题意可知y＝(1＋10.4%)x，故选D．
4．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图，给出下列四种说法：①前三年中产量增长的速度越来越快；②前三年中产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的是________.[解析] 由t∈[0,3]的图象，联想到幂函数y＝xa(0
四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：关于x呈指数函数变化的变量是______.
[思路分析] (1)从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．[解析] 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速率不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．
『规律方法』 三种函数模型的增长规律：(1)对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快．(2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝lgax增长越快，一般来说，ax＞lgax(x＞0，a＞1)．(3)指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax＞xn.
〔跟踪练习1〕下面是f(x)随x的增大而得到的函数值表：
试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长速度快慢有什么不同？[解析] (1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大．(2)由图表可以看出：各函数增长速度快慢不同，其中f(x)＝2x的增长速度最快，而且越来越快；其次为f(x)＝x2，增长的幅度也在变大；而f(x)＝2x＋7增长速度不变；增长速度最慢的是f(x)＝lg2x，而且增长的幅度越来越小．
命题方向2 ⇨巧用图象比较大小
已知函数f(x)＝2x和g(x)＝x3，在同一坐标系下作出了它们的图象，结合图象比较f(8)，g(8)，f(2 016)，g(2 016)的大小．[思路分析] 已知条件：指数函数解析式f(x)＝2x和幂函数解析式g(x)＝x3.条件分析：由函数解析式列表、描点、连线，可得函数图象，由两函数图象的交点，分析函数值的大小情况．
描点、连线，得如图所示图象：则函数f(x)＝2x对应的图象为C2，函数g(x)＝x3对应的图象为C1.∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，∴f(1)>g(1)，f(2)
〔跟踪练习2〕函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．[解析] (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.(2)当0
某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一个函数用于根据当月评价分数x(正常情况0≤x≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y元，要求绩效工资不低于500元，不设上限且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低、越高的人数要越少，则下列函数最符合要求的是( )
[错解] 由条件知绩效工资不低于500元，且平均分在50分左右，故选A．
[错因分析] 错误的根本原因是忽视了绩效分数越高，则绩效工资越高这个条件，实际上本题中的函数应是增函数，且先慢后快，在x＝50左右增长缓慢．
[警示] 实际应用问题中，要结合问题的实际意义和函数的性质来确定拟合函数．
建模思想——函数模型的选择
某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份x，产量为y给出三种函数模型：y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝abx＋c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？[思路分析] 本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型．
结论为：当把x＝4代入得y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数y＝－0.8×0.5x＋1.4模拟比较接近客观实际．
『规律方法』 本题是对数据进行函数模拟，选择最符合客观实际的模拟函数．一般思路为：先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适当的几种函数模型后，再加以验证．函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，须借助计算器或计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须符合实际．
1．下列函数中，增长速度最慢的是( )A．y＝6x B．y＝lg6xC．y＝x6D．y＝6x[解析] 由函数的特征可知，对数函数y＝lg6x增长速度最慢．
2．如图，△ABC为等腰直角三角形，直线l与AB相交且l⊥AB，直线l截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y，点A到直线l的距离为x，则y＝f(x)的图象大致为四个选项中的( )
3．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是__________元．
4．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
相关课件
人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）图片ppt课件： 这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）图片ppt课件，共26页。
2020-2021学年3.2.1几类不同增长的函数模型教学ppt课件： 这是一份2020-2021学年3.2.1几类不同增长的函数模型教学ppt课件，共52页。PPT课件主要包含了0＋∞，增函数，越来越快，越来越慢，轴平行，与x轴平，增长速，相对平稳等内容，欢迎下载使用。
高中数学人教版新课标A必修13.2.1几类不同增长的函数模型评课课件ppt： 这是一份高中数学人教版新课标A必修13.2.1几类不同增长的函数模型评课课件ppt，共16页。PPT课件主要包含了创设情境，存钱罐C，分析探究，一次函数模型均匀增长，直线上升，指数爆炸，常数函数模型没有增长，建立数学函数模型，课堂小结，课堂练习等内容，欢迎下载使用。
